2024届新高考数学大题训练：数列（30题）（解析版）

裁利俺味劭IU

题目1(2024•江苏南通・二设数列｛期｝的前n项和为S”,若S『-a“=n2+l,nGN,.

(1)求5,a2,并证明：数列｛a.+an+J是等差数列；

⑵求S?。.

【答案】⑴QI=4,电=2,证明见解析；

(2)420.

【分析】(1)直接代入72=1可得。1=4,再代入九=2,结合Q1的值求出电=2；再由Sn—"|~册="2+1仿写出

2

Sn_i—^-an-i=(n—1)+1，作差后得到an-\-an-Y~4n—2,即可证明结果.

(2)由(1)知数列｛Q九+I+M｝为等差数列，然后代入等差数列的前几项和公式求解即可.

【详解】(1)当九二1时，由条件得―1al=2,所以。尸4.

当=2时，由条件得(Qi+电)—｝电=5,所以。2=2.

2

因为Sn―^-an—九2+1,所以Sn-i—-^-an.i=(n—l)+l(n>2),

两式相减得：an-1-anH—^-an-i=2n—1,即an-\-an-i=4n—2,

所以(a九+i+aj—(an+an_!)=[4(n+1)—2]—(4n-2)=4,

从而数列｛QM+Q/为等差数列.

(2)由⑴知an+an_i=4n-2,

所以an+an+1=4(n+l)—2=4n+2,

所以数列｛QM+Q/为等差数列，首项为QI+Q2=6,

10x[(ai+a2)+(6X19+^20)]

所以$20=(Q1+Q2)+(Q3+Q4)H--------l-(a+ao)=

1922

所以$20=(4X2-2)+(4X4-2)+…+(4x20-2)=----三-----=420.

趣白团(2024・福建福州•模拟fit测)已知数列｛aj满足a尸2,a“=a„-1+2n(n>2).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记数列｛f-｝的前几项和为S”,证明：Sn<1.

【答案】⑴Q九二/+九，nGN";

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前九项和公式求解即得.

(2)利用裂项相消法求和即可得证.

【详解】(1)数列｛册｝中，当口>2时，an=。九_1+2"，即an-an-x—2n,

贝Ian—5+(。2-的)+(a3—a2)H---F(an_i—an_2)+(an—an_i)

=2

dn2+4+6+…+(2TZ,-2)+2n=-----——n-\-n,而出=2满足上式，

所以数列｛册｝的通项公式是册=/+?1,nEN*.

2

(2)由(1)知an=n+n=n(n+1),九GN*,则」一=——-=------7—,

ann(n+1)nn+1

因此&=万+5IT+…+7―I-+(

_LxnNXj(n—l)nn(n+1)•••

=一»>»…+HL=一二，而">1，则i——c

所以4V1.

［题目|3］（2024•全国・模拟覆测）已知数列｛册｝满足a“+产1115s手且。尸L

（1）求数列｛册｝的通项公式.

（2）求数列｛册｝的前100项和S100.

71—1

22,也为奇数

【答案】（l）a“=n

2亍一1,九为偶数

（2）3X250-53

【分析】⑴由递推公式得，当％CN*,｛C^LT｝是首项为1,公比为2的等比数列，令既=a2fc+l，｛瓦:｝是首项

为2,公比为2的等比数列，分别求出通项公式即可；

（2）由分组求和，分别计算奇数项和偶数项之和，再根据等比数列前n项和公式计算即可.

【详解】⑴由题意，得当kCN*时，a2k—2a2——1，①

a

2k+l-a2k+1-②

将①代入②，得a2k+i=2a2-1,所以｛C^T｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以a2AT=2-L

又因为a2k+2=2a2fc+l-1，

所以Cb2k+2~2。2k+1,所以a2k+2+1=2(。2k+1)•

令瓦=a2fc+l,则bk+1=2bk,而a2=2©-1=1,b产a2+l=2,

所以｛瓦｝是首项为2,公比为2的等比数列,

k

所以/=2卜,所以a2k=2-l.

22,?i为奇数

所以an—n

2亏一1,九为偶数

(2)Sioo=(di+a3+■,,+«99)+(a2+a4d---Haioo)

=(2°+21+-+249)+(21-1+22-1+-+250-1)

=(2°+21+…+24,+(2斗22+-+250)-50

2x(1-250)

-50

1-2

=3x25°—53.

题目④（2024•浙江宁波・二W已知等差数列｛4｝的公差为2,记数列｛bn｝的前几项和为Sn,bx=0也=2

且满足bn+1=2Sn+an.

⑴证明:数列®+1｝是等比数列；

（2）求数列｛a1AJ的前n项和T“.

【答案】（1）证明见解析；

>（2n—1）,3n+l

（z2）7；=---------------n（n+1）.

【分析】（1）根据通项与前几项和之间的关系，作差可得鼠+i=3bn+2，即可利用等比数列的定义求解，

（2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解.

【详解】⑴九>2时，bn+1-bn-2｛Sn-Sn.1）+a„-a„_i=2bn+2,即bn+1—3b„+2.

又bi—0,fe2—2,也符合b2—3bi+2,

所以九>1时，bn+1=3bn+2,即bn+i+l=3(6n+l).

又bi+l=l#O所以。+1W0,

所以=3，所以数列｛0+1｝成等比数列.

n-1

⑵由⑴易得bn=3—1.由b2—2瓦+的可得5=2,所以a„=2n.

所以叫工=2n(3n_1-l)=2n-3n-1-2n,

所以£=2(l-30+2・3i+3・32+•••+n-3n-1)-n(n+l).

令M=l-3°+2・3i+3・32+■■■+n-T~\

贝I3M=l-31+2-32+3-33+■■■+n-3n,

所以2A/=—(30+3/32++3n-1)+n-3"=n-3"—［二三’=(2"—?4+1

1—32

所以工=2M—n(n+1)=-^―—?~——n(n+1).

题目回（2024•浙江杭州•二W已知等差数列｛册｝的前几项和为S”,且S4=4S2Q“=2ali+l（nGN*）.

（1）求数列｛aj的通项公式；

nQ

（2）数列出｝满足法=3,令an-bn=an+2-bn+1，求证：汇既</

k=l/

【答案】（1）。九=2n—1（nCN*）

（2）证明见解析

【分析】⑴设等差数列小｝的首项为“4差为d,由题意可得《北;；京^+251川+1，解方

程求出的,d,即可求出数列｛厮｝的通项公式；

（2）由（1）可得卜=等二4,由累乘法可求出｛&„）的通项公式，再由裂项相消法求解即可.

bn2n+6

【详解】（1）设等差数列｛QJ的首项为由,公差为d.

4电+6d=8。什4d

由S=4s2,。2九=2a+l,得

4nQi+(2TI—1)(1=2al+2(72—l)d+1

解得：a产l,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n—1(n6N*).

（2）由（1）知，（2n—1）勾=（2九+3）口+1

日口bn+i_2n—1bn_2n—3^n-i_2n-53_5戾_1

bn2n+3'与t2九+l'b时22"一1‘'87'①5

利用累乘法可得：勾=华•铝与7_2?2—32TZ1—531

篇一2

=----------------------------------------—~i77^-7)(h>2),瓦=3也符合上式,

(2n-l)(2n+l)2V2n-12n+1八

k=l

Eb=61+62+63+—电T+鼠

nk

=发1—»>»>/+一+（五匕—厮匕）］=和—5*）

所以孰制

题目回（2024・浙江・二W欧拉函数鼠n）（neN*）的函数值等于所有不超过正整数九且与九互素的正整

数的个数，例如：9⑴=1,夕（4）=2,0（8）=4,数列｛Q/满足册=0（2"）（7ieN*）.

（1）求的，。2,电，并求数列｛◎｝的通项公式；

（2）记心=（一以陛也,求数歹11｛葭｝的前九和S“.

电九

n1

【答案】⑴。产1,02=2,。3=4,an=2~

⑵S+20…

0sL25+25X（—4）”

【分析】（1）根据题意理解可求的，a2,的,结合与2"互素的个数可求数列｛册｝的通项公式;

（2）求出数列｛葭｝的通项公式，利用错位相减法求和即可.

【详解】⑴由题意可知的=<p（2）=1,a2=P⑷=2,a3=p⑻=4,

由题意可知，正偶数与2"不互素，所有正奇数与2"互素，比2"小的正奇数有2”T个，

所以厮=0（2"）=2"T；

21

⑵由⑴知a=3（2"）=2"T,所以a2n=弁2巧=2"-,

所以bn==（T）"写二=（T）"（2九-D1r=（4n-2）（一》"，

Sn=8+b2H-----1■队，

所以Sn=2x（一!?+6X（-j）2+---+（4n-6）x（一十）”—+（4n一2）x（一：）"，①

（T）S“=2x（CJ+6x（-：丫+-••+（4n-6）x（一：）”+（4H—2）x（-j）n+1,®

所以①—②得

为产2X（TM（一丹+…+（一打］-（4九-2）x（-j）n+1

n-1n+1

1।1「1(1\l/A0、、，(1\_320n+6

=一了+了［—(—4)j-(4n-2)x(-z)=—而一5x(—4)”

缶—o6।20n+6

所以&=-函+25x54厂

题目可（2024•重庆•模拟f（测）已知数列｛每｝满足为+2a2+3&3+…+九％=（n+1）!,九CN*.

⑴求｛厮｝的通项公式；

（2）若k<1023且％eN*,记既=01024,讨论数列｛尿｝的单调性.

a

k。1024-4

【答案】⑴％=1,n=1

⑺！,2

⑵当14k《512,〈5吐*时，｛6:｝单调递增；当5124141024,左€左"时，｛.｝单调递减

【分析】（1）分两种情况讨论，n=1和n>2,即可求解；

k

（2）先计算出仇和瓦023，当2&k&1022时，计算出-,令—1,再检验两端点，即可得出｛既｝的单调

^k-l既-1

性.

【详解】(1)由已知得，当n=1时，Q产2!=2,

当九>2时，ai+2a2+3a3+—I-(n—l)an+1=n!①,

ai+2a2+3a3+—\-nan=(n+1)!(2),

②一①得，nan=(n+1)!—n!=n•n！，即an=n\,

2,n—1

所以a=

n几！,2

__a_1_02_4_1024!1024

(2)当a=i时，01=2,既二=512,

araio23—2x1023!—2

01024_1024!_1024

当k=1023时，bk=512,

。1023・。1-2义1023!—2

1024!1024!

,b

当24k&1022时，bk=fc!-(1024-fc)7"L

(fc-I)!-(1025-A;)!

b_1024!(fc-l)!-(1025-A:)!_1025-A;_1025-A:1025

k-1,

既tfc!-(1024-A;)!1024!kkk

显然，当24%《1023,A；eN*时，单调递减,

令卜=1,即工髻-1=1,解得k=512.5,

所以当2Wk4512#eN*时，段」>1,｛瓦｝单调递增,

Ofc-1

又4—咏一

.1023X1024>512=fei,

-2!-(1024-2)!2

所以当14“<512#6"*时，｛既｝单调递增;

当5134k41024,keN*时，#VI,

既—1

q_________1024!________1023x1024

>512=61023

1022-1022!-(1024-1022)!"2~

所以当512&k&1024,kGN*时，｛既｝单调递减.

题目回(2024•河北帝耶•二O已知正项数列｛%｝的前九项和为&,a2=3,且屈3=图+四.

⑴求｛厮｝的通项公式；

(2)若勾=，求数列｛0｝的前几项和黑.

QTIQTZ+I

【答案】⑴册=2rb—1

⑵看

2

【分析】(1)首先求出的=1,可证明数列｛图｝为首项为1,公差为1的等差数列，得到Sn=n,利用an=Sn

—Sn-i得到｛册｝的通项公式；

(2)由(1)知，6“=占」=7^普"工p化简可得勾=1+q(歹\一[7)，利用分组求和以及

anan+1(2n-1)(2n+1)2'2九—12九+1，

裂项相消即可求出数列｛口｝的前几项和黑.

【详解】(1)当71=1时，由y/~S^—y/~S[+即=2，^,解得:Q1=1,

所以屈3—煦=1,则数列｛画｝为首项为i,公差为i的等差数列；

2

所以y/~S^="，则Sn=n,

22

当九>2时，an=S^—Sn—Fn—(n—1)=2n—1,

当九二1时，Qi=2x1—1=1满足条件，

所以｛an｝的通项公式为an=2n—l(nGN*)

(2)由(1)知，bn=-%；，

册M+i(2n-l)(2n+l)

所以依S=i+号i=i+侬―J(2九+i)=i+L一击)，

故—和/+U+…+—―3)="+和一3)="+谓P

n

即£=n+

2n+1

题目回（2024•福建三明•三模）已知数列｛册｝满足的g…册.「册=（方产"CN*.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设数列｛册｝的前几项和为&,若不等式（一1）气S,「14WSV对任意的nCN*恒成立，求实数力的取值范

围；

1...^-^±i<V2(ne^).

(3)记b=，求证：会+++

nlog2asR

【答案】（1）斯=2"

⑵［—9号］

（3）证明见解析

【分析】⑴当n=1时求出5,九>2时，用册=，即可求解；

Qi。…a-n-i

（2）由an=2”得出S”，由（T*S.-14WS2得（-1）气w隹臂,根据对勾函数的单调性及兄的值，即可求

出力得范围；

（3）由（1）得勾=上,则与组=-=^—-,根据放缩法得--1一-<

1即可证

2n瓜V2^（n+1）质（九+1）Vn+1

明.

【详解】⑴当？i=1时,ai=（V2）2=2,

(V2)n2+n

、［/、Qn-j-,,a—fc1

当九>2时，a=---------n----rl/皿，=（V2）2n=2。口=1时成立，

n(n-)+n-

a/@2.••a—(V2)

n

所以an=2.

2(1-2n)

n+1

⑵由飙二2日得，Sn=2-2，显然打eN*时，S九单调递增，S余S1=2,

1-2

由(一1)气S相一14WS2得，(T)气4号14，

n口口

又5^+14=s“+导>2714,当且仅当S=会时，即Sn=V14时等号成立，

因为Si=2,Sz=6,$3=14,Si〈UvS2,且Si+m=9,$3+m=15>Si+号,

S2+^~=f

bl>2J*->36

所以当n=1时，(-1)1%《&+普=9,解得t>-9,

bl

当n=2时，(一1人&$2+•=冬，解得tW冬，

$2JJ

所以9,学］

11

111bn-byi+l1

（3）证明：由（1）得b=2n2n+2

nlog<Xnlog22n2nV2n(n+1)

222n

V2

因为1—V2_—<V2

V2n(n+1)2Vn(n+1)Vn(n+1)+Vn(n+1)nVn+1+Vn(n+1)

V2(Vn+1—y/n)1

VnVn+1(Vn+Vn+1)VnVn+1'n+1

&2~^3

所以詈+,।bn—b九+i

A/^2,FT

<+7r餐11

Vn+1•M

…+?^T-卡+卡-

If①）（2024•全国•模拟预测）已知等差数列｛aj的前几项和为&,数列｛6“｝是等比数列，a产瓦=1,

S3=63+2,s4=64+2.

（1）求｛an｝和｛bn｝的通项公式；

（2）设4=亲+屋,求数列｛c„｝的前n项和

n-1

【答案】⑴册="，bn=2

（2）黑=2"+2言

n+1

【分析】⑴根据等差、等比数列的通项公式可得3d+l=q2、6d+2=q3,解之即可求解；

⑵由⑴得C42+2"、结合裂项相消求和法和等比数列前几项和公式计算即可求解

n+1

【详解】⑴设数列｛册｝的公差为d,数列也｝的公比为q(qWO),

由Q产1,S3=b3+2,S4—b+2得3d+1=/,6d+2=q',

两式相除得q=2,

所以3d+1=4,d=1,

xn1

所以an=电+(n—l)d=l+n—l=n,bn=bi(f~—2~.

n(n+1)

（2）由⑴得%=n,Sn=也=2?

2

222

所以c=+b=+2n-r+2「

n》71nn(n+1)n71+1

64、/T22,22,.22l-2nn.n—1

所以£=1一了+了一至+…+益一+9

n+11-2n+1

题目□□（2024•全国•模拟fi（测）已知数列｛飙｝满足a1+2a2+3a3+…+九M=伍—1）271.

（1）求数列｛册｝的通项公式；

1

（2）若一=2"%，求数列｛bn｝的前n项和Sn.

n+3n+2

【答案】⑴册=2时】

2n+1

（2）S=-1

n71+2

【分析】（1）利用数列的和与项的关系构造①，②两式，相减即得数列的通项；

（2）求出心，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得.

n

【详解】⑴当几=1时，Q尸1.依题意，Qi+2a2+3Q3+—\-nan=（n—l）2+l①

n

当＞2时，Q1+2Q2+3Q3+—卜（71—l）dn-i=（71—2）21+1②.

①一②得九@=[（九一1）2"+1]—[伍一2）2n1-F1]=,2n

所以册=因口二1时，该式也成立，

故｛册｝的通项公式为。九=T~\

（2）由（1）知册=2"T,由鼠=。,产°可得

n+3n+2

71

n-T2九+1之

b=

n(n+1)(n+2)n+2n+1

则s『（多—等）+（三—专）+（看一方）+…+

2九一i2九一2T2n-12^+12九2。+1

++-1.

nn—1九+1n九+2n+1/TI+2

WtQU（2024•全国•模拟测）已知数列｛册｝满足3二%1+3-2出+...+3册.1+o八=4%n6N*.

（1）求数列｛飙｝的通项公式；

（2）若bn=册-1,证明：J+1+...+y^V

团b2bn9

4,n—1

【答案】（1）厮=

471-1,n>2

（2）证明见解析

【分析】⑴考查每与&的关系，借助an与又的关系的解题步骤①a产&，②an=>2）,③检验

的思想方法进行求解即可.

⑵先求出」，再求和3+3+…+4，当n>2时对」进行放缩变形即可求和证明出不等式.

Onblb2bnbn

【详解】（1）当n=1时，ai=4;

当九>2时，3"—%]+3k2Q?+…+3%_什册=4九①，

3n2a1+3"3a2+…+3。九一2+%-1=4"i②.

n-1

①一3x②得an=4（n>2）,

4,n=1

因为Q尸4不满足上式，所以a=

n4n-1,n*

3,n1

⑵由(l)6=a-l=

nn九>2,

因为4"-1-1=3X4n-2+4,i-2-l>3x4"-2(n>2),所以上<—―(n>2),

n

bn3x4

当九=1时，1-=[■<]；

239

I111111111

当九>2时，:+白+…+4=3++…+H--+...+

1+214九一2

bib2bn34-14-143T/+3\4°4

—Ji*i-/11,4_7

-------X=+1R--------------———

33Tff4-4九一1399

综上，对任意的九6N*,F+[+…

bib2bn9

题目适（2024•全国•模拟fia!）已知数列｛飙｝的各项均不小于1,前几项和为$.,的=1,｛2$”一阅是公差

为1的等差数列.

（1）求数列｛册｝的通项公式.

^2n+l

（2）求数列的前几项和

Si

【答案】（1）Q九=九；

4n2+8n

（）L5+1）2.

【分析】⑴利用前九项和与通项公式之间的关系判定｛QJ是等差数列，再求通项公式即可.

（2）对需要求和的数列先进行化简，再利用裂项相消法求和即可.

【详解】⑴由Q1=1,得2S1—Q；=1.

因为｛2S九一Q，｝是公差为1的等差数列，所以2s九一点=1+（71—1）=71.

当？!>2时，2s『1—Q"I=n—1.两式相减，得2&一Q，+Q，_I=1,

所以(Q九-1)2=ttn-1,又。九＞1,所以an-lQyj—1,贝](tnQ九—i1,

所以｛QJ是首项为1,公差为1的等差数列，所以an=1+（n-1）=n.

⑵由⑴可知,&==,则号14(2n+l)]

n2(n+l)2(n+1)2

1

所以数列的前几项和黑=4

⑺+1)2

/II-I--I―•••—I---------------------------

L222232n25+1)2」

J1114n2+8n

.(九+1)2」m+i)2，

题目H（2024•安徽・模拟预测）已知数列｛飙｝的首项a尸2,且满足an+1+an=3x2".

⑴求｛册｝的通项公式；

（2）已知b=—，求使｛晨｝取得最大项时n的值.（参考值：^2x1.26）

na九

【答案】（1）%=2"

（2）4

【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为a0+i—2"+i=—（册一2"）,即可求出通项；

（2）由已知可设代入k解不等式组求出即可.

1既2仇：+i

【详解】（1）因为飙+1+斯=3x2",

所以a”+i_2"+i=_（a”_2"）,

又Q尸2,

nn

所以的一2=0,所以an-2=0=an=2.

⑵由⑴有口=2n,

力3r）3

所以勾=国=9，

QnT

设口二k时，鼠最大，

因为仇=方也=2>仇,.,.卜>1,

所胎以-Jt瓦>瓦--1

"3（k-1）3

即尸下丁/心2（1）3肚-1）

k3（fc+1）312肥>（k+1）3[^2k>k+l

、2k=2fc+1

人/7g4.85

解得《，2T，又kez,

羽匕-3.85

所以k=4,

所以使｛fen｝取得最大项时n的值为4.

题目逗（2024•辽宁•一模）己知S”为数列｛册｝的前n项和，满足限9鼠+方册—血一）且由必如

a.as成等比数列，当n>5时，an>0.

⑴求证:当n>5时，｛aj成等差数列；

⑵求｛%｝的前m项和％.

【答案】(1)证明见解析；

fl-(-l)n,l<n<4,nG7V*

⑵S"^yn2—|-n+2,n5,nETV*

【分析】（1）利用M+产S九+1—Sn得到Q九+i和册的关系即可证明；

⑵结合⑴中结论得Q九+1+册=0（九<5），求出Qi和公比，得到｛QJ通项公式，从而根据等差和等比数列前

n项和公式即可求解.

【详解】（1）;Sn=-^-an+-^-an—l（nETV*）,

,•2Sndn~\~CLn-2,2Sn+i—Q^+I+Q^+I—2,

两式相减，得2Q九+i=an+1—an+an+1—an,

即（Qn+1+厮）（an+1—an—1）=0.

当n>5时，an>0,an+1—an=1,

/.当n>5时，｛斯｝成等差数列.

⑵由电=1,解得Q产2或Qi=-1,

又alfa2fa3,瓯。5成等比数列，

/.由⑴得册+1+。九=0（九45）,进而q=-1,

而a5>0,/.Qi>0,从而。尸2=小，

_J2x(-l)n-1,

"a""ln-3,n>5'

"Sn=—新+2,n>5,九eN*.

题目口63（2024•湖南岳相•三模）已知等差数列｛%｝满足：的=2,且ai，a2,a4成等比数列.

（1）求数列｛册｝的通项公式；

（2）若等差数列｛aj的公差不为零且数列｛吼｝满足：bn=——驾_「求数列｛fej的前几项和Tn.

（册-1）5+1）

【答案】⑴册=2或an=2n;

n

(2)7；=n4-

2n+l

【分析】⑴设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得;

（2）求出数列｛幻｝的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得

黑.

【详解】（1）设数列｛册｝的公差为d,依题意，2,2+d,2+3d成等比数列，所以（2+d）2=2（2+3d）,

解得d=0或d=2,当d=0时，an=2;当d=2时，an=2+(n—1)X2=2n

所以数列｛Q/的通项公式为an=2或an=2九

4疗

⑵因为等差数列｛aj的公差不为零，由⑴知an=2n（nETV*）,则bn=-----粤-----

（an-l）（an+l）(2n-l)(2n+l)

4n2—1+1［工_______1_______i,1（11A

4n2—1（2n—l）（2n+1）22n—12n+l"

所以卜曲+夕卷一;）+…+/（^T——）,

即黑="+5(1——r)=n+n

2n+1

题目互

(2024•湖南•二M)记S九为数列｛Q/的前n项和，已知nQi+(?i—l)a2H---l-an=2Sn—1.

10

⑴证明:数列｛SJ是等比数列；

(2)求最小的正整数小，使得馆>上+2+…+2对一切九eN*都成立.

flia2an

【答案】(1)证明见解析

⑵7

【分析】(1)用八+1替换已知，再与已知作差，得到S”+产2S”，即可得证；

f2n-2,n>2Ion

(2)由(1)可得a=S—S-i=<，利用错位相减法求出北=---1-----1---1---=7—(n+2)x

nnn［1,71=1ala2an

2?f,进而得到结果.

【详解】(1)由题知72al+(九一1)。2+—Fo-n—2szi—1,

=

用九十1替换上式的n,得(?2+1)。1+71。2+—\-(zn+-[2szi+i—1.

两式作差，©+Q2+—Fan+an+i=Sn+i=2Sn+i—2Sn,即Sn+i=2Sn.

而由1XQI=2$一1,可得51=1。0.

从而｛Sj是首项为1,公比为2的等比数列.

2『n>2

(2)由(1)得S=2-1，于是©=S「SnT=

nn=l

设方=工+2+…+旦，则7]=1,

Qia2an

当心2时，7；=1+2X2°+…+nx22f,故+2X2-耳­••+nX21-",

两式作差,得占方=4+(2-1+2-+…+22-")-nX2一”=+2「一)_nX2f.

2221—2

整理可得7；=7-(n+2)X22f.

故7；V7,又冕=萼>6,因此满足条件的最小正整数m■为7.

O

题目@(2024•河北石家庄・二W已知数列｛4｝满足a尸7,飙+尸［丁一'廿复数'

12amn为偶数.

(1)写出a2,a3,a4;

(2)证明:数列｛a2n--6｝为等比数列；

(3)若bn=a?”,求数列｛九•(fe„—3))的前n项和Sn.

【答案】(1加2=4,a3=8,a4=5

(2)证明见解析

n

(3)Sn=l+(n-l)-2

【分析】(1)由数列的递推式，分别令n=1,2,3,计算可得所求值；

—

(2)推得a2tl+1—6=2(a2n-i6),由等比数列的定义，可得证明；

71-1

(3)求得勾=3+2"T,n-(fen-3)=n-2,由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求

和.

【详解】⑴由a尸7“=［厂34H数，

(2anln为偶数.

可得a2=a-i—3=4;a3=2a2=8;a4=a3—3=5;

(2)证明：由题可得a2n+i-6=2a2n-6=2a271T—6—6=2(a2n-i-6),

则数列｛Q2LI—6｝是首项为1,公比为2的等比数列；

(3)由⑵可得电21—6=2n-,即a2k尸6+T-1,

n1

bn=电/1=^n-i—3—3+2,

•••

九•(&“—3)=n-2"T,

前几项和S0=1•2°+2-243-22+...+n-2"-1,

2S“=l-2+2-22+3-23+...+n-2n,

两式相减可得一S=1+2'+2?+…+2"-'—n"2"=----r—n,2n,

n1—2

化简可得S“=l+(n—1)-2".

题目名(2024・全国•模拟预测)已知数列｛aj的前n项和为S”,且a?=3,2S“=n(a„+2).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若存在九eN*,使得,…+」一>Aan+1成立,求实数4的取值范围.

【答案】(1)0n=n+1；

【分析】(1)当n=1时，求得。尸2,当n>3时，得到2szi_尸(n—l)(an_1+2),两式相减化简得到

刍1=一2(二歹—白丁),结合叠加法，即可求得数列｛册｝的通项公式；

7Tz/TL/ThJ.

(2)由(1)得至U—--=—I-----,求得——I—~—I-------1-------=4-----To-,

anan+xn+1n+2a2a3anan+i2n+2

解法1:根据题意,转化为44--~,结合一--=------\-----，结合基本不等式，即可求解;

2(n+2)22(n+2)22(n+'+4)

解法2:根据题意，转化为---------------J