湖南省岳阳市平江县颐华高中2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题含答案

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数学

满分：150时量：120分钟

单选题（40分）

★1、已知集合，，若，则有().

A.B.C.D.

★2、若函数则函数的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

★3、已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的()

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

★4、设等比数列的前n项和为，，则()

A.B.C.D.3

★5、设，则的最小值是().

A.1B.2C.3D.4

★6、已知四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为().

A.B.C.D.

★7、设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为()

A.B.C.D.

8、若函数的定义域为R，且，，则

A.B.C.0D.1

二、多选题（20分）

★9、下列说法正确的是()

A.设随机变量X服从二项分布,则

B.已知随机变量X服从正态分布，且，则

C.甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是

D.

10、已知函数的图象关于点对称，则

A.在单调递减

B.在有两个极值点

C.直线是曲线的一条对称轴

D.直线是曲线的一条切线

★11、正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别是棱BD，CD上的点，且，则()

A.直线AC与直线EF异面B.存在t，使得平面AEF

C.存在t，使得平面平面BCDD.三棱锥体积的最大值为

★12、在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是()

A.抛物线的准线方程为B.

C.的面积为D.

三、填空题（20分）

★13、已知，则的值为.

14、在的展开式中，的系数是__________．

★15、已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为________________.

★16、函数有两个零点，且极大值小于1，则实数a的取值范围是________.

四、解答题（70分）

（满分10分）

★已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

（1）求的值；

（2）若，，求的周长与面积.

18、（满分12分）设数列{an}满足a1=3，．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

★19、（满分12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.

（1）证明：平面平面BMC；

（2）当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值.

★20、（满分12分）由上都电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的列联表.

非常喜欢喜欢合计

A3015

Bxy

合计

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.

（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；

（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望.

附：，，

0.050.0100.001

3.8416.63510.828

★21、（满分12分）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率；

（2）若，求的面积.

（满分12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.颐华高中2023-2024学年高三上学期入学考试

数学答案

单选题（40分）

CBCADCBA

二、多选题（20分）

9、ABC10、AD11、AB12、AD

三、填空题（20分）

13、14、16015、16、

四、解答题

（1）解析：由正弦定理得，

故，而在中，，

故，又，所以，则，

则，，

故.

（2）解析：因为，且，

所以，.由(1)得，，

则，

由正弦定理得，则，.

故的周长为，

的面积为.

18、【解析】（1）猜想由已知可得

，

，

……

.因为，所以

（2）由（1）得，所以

.①

从而.②

得，

所以

19、（1）解析：由题设知，平面平面，交线为.

因为，平面，

所以平面，平面，

故，因为M是上异于C，D的点，且为直径，

所以，又，，平面，

所以平面，而平面，

故平面平面；

（2）解析：以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点.

由题设得，，，，，

，，，

设是平面MAB的法向量，

则即，可取，

又是平面的一个法向量，

因此，，

得，所以，，

所以面与面所成二面角的正切值是2.

20、解析：由题意得，解得，

所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人).

（2）表格见解析，没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系

解析：完成表格如下：

非常喜欢喜欢合计

A301545

B352055

合计6535100

所以的观测值

，

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

（3）解析：从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，，

，.

所以X的分布列为

X0123

P

.

21、（1）解析：由题设得，解得.

所以C的方程为.

设l的斜率为k，，.当时，.

由得，故.

由得，

即.①

由得，即.

同理可得.由得，

即.②

由①②得.因此l的斜率为-1.

（2）由题意，不妨设AP的倾斜角为，且，则为.

C的渐近线的斜率为，由得，得，

所以，.

直线AP的方程为，代入得，

所以，.

直线AQ的方程为，代入得，

所以，.

又易知，

所以的面积为.

22、解析：（1）函数的定义域为，

又，

当时，，当时，，

故的递增区间为，递减区间为.

（2）因为，故，即，

故，

设，由（1）可知不妨设.

因为时，，时，，

故.

先证：，若，必成立.

若，要证：，即证，而，

故即证，即证：，其中.

设，

则，

因为，故，故，

所以，故