新课-集合及其表示(学生版)

高中复习资料--集合的含义与表示教学目标：了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；掌握常用数集及其记法；教学重点：掌握集合的基本概念；教学难点：元素与集合的关系；一、问题引入：军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？2、鸟的种类3、我是理科导航暑期初升高班的学员之一，共有学员5人，其中男生2人，女生3人。二、新课教学（一）集合的有关概念康托尔，德国数学家、集合论创始人（1845-1918）一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set），集合中的每一个对象称为该集合的元素（element），简称元。请思考以下问题：我们从概念着手，能发现集合的一些特征特点吗？元素与集合又有什么关系呢？思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：大于3小于11的偶数；我国的小河流；非负奇数；方程的解；某校2007级新生；血压很高的人；著名的数学家；平面直角坐标系内所有第三象限的点全班成绩好的学生。关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belongto）A，记作：a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（notbelongto）A，记作：aA例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A4A，等等。6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。７．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z,（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q，（5）实数集：全体实数的集合记作R，注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+。（二）例题讲解：例1．用“∈”或“”符号填空：（1）8N；（2）0N；（3）-3Z；（4）Q；（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。例2．已知集合P的元素为,若3∈P且-1P，求实数m的值。总结：教学目标：（1）了解集合的表示方法；（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：掌握集合的表示方法；教学难点：选择恰当的表示方法；二、新课教学（一）．集合的表示方法我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。2．各个元素之间要用逗号隔开；3．元素不能重复；4．集合中的元素可以数，点，代数式等；5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为例1．用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；（4）方程组的解组成的集合。思考2：你能用列举法表示不等式x-3<1吗？（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写成形式具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；说明：从上下文来看，一般来说，如果从上下文的关系来看，是确定的时候，可忽略。例如：集合A=2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z。辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；（3）方程组的解。思考3：结合实例，是比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和使用的对象课后练习一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是()A. B.2{xR|x≥} C.|-3|N* D.-3.2Q2.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合；(3)1,,,,0.5这些数字组成的集合有5个元素；(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,yR}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.33.下列集合中表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={1,2},N={2,1}4.已知xN,则方程的解集为()A.{x|x=-2} B.{x|x=1或x=-2} C.{x|x=1} D.5.已知集合M={mN|8-mN},则集合M中元素个数是()A.6 B.7 C.8 D.9二、填空题6.用符号“”或“”填空：0_______N,______N,______N.7.用列举法表示A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,xZ}为_______________.8.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集”为_____________.9.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合？________10.已知集合P={x|2<x<a,xN},已知集合P中恰有3个元素,则整数a=_________.三、解答题11.已知集合A={0,1,2},集合B={x|x=ab,aA,bA}.(1)用列举法写出集合B；(2)判断集合B的元素和集合A的关系.12.已知集合{1,a,b}与{-1,-b,1}是同一集合,求实数a、b的值.13.(探究题)下面三个集合：①,②,③(1)它们是不是相同的集合？(2)试用文字语言叙述各集合的含义.归纳总结课题：集合间的基本关系教学目标：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn图表达集合间的关系；（4）了解空集的含义。教学重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。教学难点：弄清楚属于与包含的关系。一、复习回顾：1.提问：集合的表示方法？如何用适当的方法表示下列集合？（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数2.用适当的符号填空：0N；Q；-1.5R。思考1：实数有相等，大小关系，类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的‘相等’、“大小”关系呢？二、新课教学问题1、比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1），；（2），；（3），（一）.子集、空集等概念子集的定义：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。记作：读作：A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：BABA集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。记作：AB（或BA）规律总结：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1规律总结：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，2n-1个非空子集，n个元素的非空真子集有2n－2个。如：（1）和（2）中AB，CD；空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：。用适当的符号填空：；0；；思考2：包含关系有什么区别几个重要的结论：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；任何一个集合是它本身的子集；对于集合A，B，C，如果，且，那么。说明：注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。（二）例题讲解：例1．填空：（1）．2N；N；A;（2）．已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则AB；AC；{2}C；2C例2．写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集。例3．若集合BA，求m的值。例4．已知集合且，求实数m的取值范围。课题：集合的基本运算㈠教学目标：（1）理解交集与并集的概念；（2）掌握交集与并集的区别与联系；（3）会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。教学重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。教学难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。教学过程：一、复习回顾：1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，则AS；{x|x∈S且xA}=。2．用适当符号填空：0{0}；0Φ；Φ{x|x＋1＝0,x∈R}{0}{x|x<3且x>5}；{x|x>6}{x|x<－2或x>5}；{x|x>－3}{x>2}二、新课教学思考1．考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：（1），；（2），；（一）.交集、并集概念及性质并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集（unionset）。记作：A∪B（读作：“A并B”），即A∪A∪BABA 这样，在问题（1）（2）中，集合A，B的并集是C，即=C说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？A∪A＝,A∪Ф＝,A∪BB∪AA∪B＝A,A∪B＝B.巩固练习（口答）：①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝;②．设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝;③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝。交集的定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersectionset），记作A∩B（读“A交B”）即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）常见的五种交集的情况：AABA(B)ABBABA讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？A∩A＝A∩Ф＝A∩BB∩AA∩B＝AA∩B＝B巩固练习（口答）：①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝;②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝;③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝。（二）例题讲解：例1．设集合，求A∪B．变式：A＝{x|-5≤x≤8}【例2】设，，求：（1）；（2）.例3．已知集合是否存在实数m，同时满足？（m=-2）课题：集合的基本运算㈡教学目标：（1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义，（2）正确理解补集的概念，正确理解符号“”的涵义；（3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。教学重点：补集的有关运算及数轴的应用。教学难点：补集的概念。教学过程：一、复习回顾：1．提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？2．提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表示？3．交集和补集的有关运算结论有哪些？4．讨论：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B与R有何关系？二、新课教学思考1．U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？由学生通过讨论得出结论：集合B是集合U中除去集合A之后余下来的集合。（一）.全集、补集概念及性质的教学：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universeset）,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集（complementaryset），记作：，读作：“A在U中的补集”，即用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）讨论：集合A与之间有什么关系？→借助Venn图分析巩固练习（口答）：①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则=，=；②．设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则＝；③．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则＝。（二）例题讲解：例1．设集，求，．例2．设全集，求，例3．设全集U为R，，若，求。【例3】已知集合，，且，求实数m的取值范围.【课堂练习】１.设集合,则()ＡＢＣＤ２.设Ｕ为全集,集合则()ＡＢＣＤ３.已知集合,则集合是()ＡＢＣＤ4.设,则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5.已知全集＿＿＿＿＿＿＿.【达标检测】一、选择题1.满足的所有集合Ａ的个数()Ａ３Ｂ４Ｃ５Ｄ６2.已知集合,则()ABCD3.设集合,则的取值范围是()ABCD4.第二十届奥运会于２００８年８月８日在北京举行,若集合,,则下列关系正确的是()ＡＢＣＤ5.对于非空集合Ｍ和Ｎ,定义Ｍ与Ｎ的差,那么Ｍ－(Ｍ－Ｎ)总等于()ＡＮＢＭＣＤ二.填空题6.设集合,则＿＿＿＿＿＿＿.7.设,则＿＿＿＿.8