2022-2023学年吉林省四平市铁东区八年级下期末数学试卷含解析

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列计算正确的是()

A.B.C.D.

2.如图所示，的对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为()

A.B.C.D.

3.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是()

A.，，B.，，C.，，D.，，

4.如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于()

A.B.C.D.

5.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高单位：的平均数与方差为：，：，则麦苗又高又整齐的是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

6.如图，动点从的顶点出发，沿匀速运动到点停止．在动点运动过程中，线段的长度与运动时间的函数关系如图所示，其中点为曲线部分的最低点，若的面积是，则图中的值为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.化简：．

8.小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为______

9.如图，平行四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，，则图中阴影部分的面积是______．

10.如图，已知函数与函数的图象交于点，则方程组的解是______．

11.如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为______．

12.若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是______．

13.在中，，，分别是，，所对的边．若，，，则最长边上的高是______．

14.如图，在菱形中，点是对角线上一点，连接，若，且，，则的长为______．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

计算：．

16.本小题分

如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长．

17.本小题分

在直角坐标系中画出直线：；

将直线向下平移个单位得到直线，请直接写出直线的函数解析式为：______．

18.本小题分

如图，已知四边形是平行四边形，、两点的坐标分别为，．

点的坐标为：______；

求直线的函数解析式．

19.本小题分

如图，的对角线相交于点，是等边三角形，．

求证：是矩形；

求四边形的面积．

20.本小题分

如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．

在轴上存在点，使得，求点的坐标；

在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21.本小题分

如图，四边形的对角线、相交于点，，，且，，．

试判定四边形的形状；

若，，求四边形的面积．

22.本小题分

为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，先从中随机抽取名学生家庭的年收入情况，数据如表：

年收入单位：万元

家庭个数

求这名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数；

你认为用中的哪个数据来代表这名学生家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由．

23.本小题分

如图，在中，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点、运动的时间是秒过点作于点，连接、．

四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；

当为何值时，为直角三角形？请直接写出相应的值为：______．

24.本小题分

甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的价格部分打折．

以单位：元表示商品原价，单位：元表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数解析式；

春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？

25.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，正方形的顶点、分别在轴与轴上，已知正方形边长为，点为轴上一点，其坐标为，连接，点从点出发以每秒个单位的速度沿折线的方向向终点运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．

求线段的函数解析式；

连接、，求的面积关于的函数解析式；

点在运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．

26.本小题分

如图，四边形为菱形，．，，．

点坐标为______，四边形的面积为______；

如图，点在线段上运动，为等边三角形．

求证：，并求的最小值；

点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标若变化，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、无法计算，故此选项错误；

B、，故此选项正确；

C、无法计算，故此选项错误；

D、，故此选项错误．

故选：．

直接利用二次根式混合运算法则分别化简求出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式运算法则是解题关键．

2.【答案】

【解析】解：的对角线、相交于点，

，

点是的中点，

，

是的中位线，

，

．

故选：．

先说明是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．

本题考查了平行四边形的性质：对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理．

3.【答案】

【解析】解：，

以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

B.，

以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

C.，

以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；

D.，

以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．

故选：．

先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．

本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

4.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，

，

四边形是菱形，

，

故选：．

根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质，即可解决问题．

本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．

5.【答案】

【解析】解：，

乙、丁的麦苗比甲、丙要高，

，

甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，

综上，麦苗又高又整齐的是丁，

故选：．

方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．

此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．

6.【答案】

【解析】解：由图象的曲线部分看出直线部分表示点在上，且，

曲线开始，结束时，所以．

当时，在曲线部分最小为．

所以，解得．

所以．

故选：．

根据题意可知图象中的直线部分表示点在上，曲线部分表示点在上，通过曲线分析出，根据等腰三角形的性质可求的值．

本题主要考查了动点问题的函数图象，解决此类问题要清楚横纵轴表示的含义，特别是折点这个关键点的意义．

7.【答案】

【解析】解：．

故答案是：．

二次根式的性质：，根据二次根式的性质可以对上式化简．

本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．

8.【答案】

【解析】解：在直角中，．

设河深，则米．

根据勾股定理得出：

解得：米．

故答案为：．

河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．

本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决．

9.【答案】

【解析】解：平行四边形中，对角线、相交于点，

，

阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，

过点作于点，

，，

，，

，

阴影部分面积为，

故答案为：．

由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．

本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．

10.【答案】

【解析】解：点为函数与函数的图象的交点，

方程组的解为．

故答案为．

利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题．

本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

11.【答案】

【解析】解：一次函数的图象与轴交于点，

的解集即为一次函数的图象轴上方部分的自变量取值范围，

不等式的解集为，

故答案为：．

的解集即为一次函数的图象轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答．

此题考查了一次函数的图象与不等式的关系，正确理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．

12.【答案】

【解析】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，

，

解得：，

的取值范围是．

故答案为：．

首先根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，得，解此不等式组即可得到的取值范围．

此题所考查的知识点是一次函数的图象与系数之间的关系，一般情况下：一次函数，当且时，函数的图象经过第一、二、三象限；当且时，函数的图象经过第一、三、四象限；当且时，函数的图象经过第二、三、四象限；当且时，函数的图象经过第一、二、四象限；反之亦成立．

13.【答案】

【解析】解：由，建立方程组，解得，

，

为直角三角形，为斜边，

设上的高为，由面积公式，

，

，

故答案为：．

求出、的值，根据勾股定理的逆定理得为直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解．

本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键．

14.【答案】

【解析】解：连接交于，

，

，

，，

，

四边形是菱形，

，，

的面积，

，

，

，

．

故答案为：．

连接交于，由勾股定理求出的长，由三角形面积公式求出的长，由勾股定理求出的长，由菱形的性质即可求出的长．

本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，关键是连接，由菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，求出的长．

15.【答案】解：原式

．

【解析】先算二次根式的除法，把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．

本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．

16.【答案】解：四边形为平行四边形，

，

，

平分，

，

，

，

，，

．

故答案为：．

【解析】根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度．

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．

17.【答案】

【解析】解：如图所示；

将直线向下平移个单位得到直线，直线的函数解析式为．

故答案为：．

根据两点法画出图象即可；

根据平移的规律即可求得．

此题考查一次函数图象和性质，一次函数图象与几何变换，关键是根据一次函数的几何变换规律解答．

18.【答案】

【解析】解：过点作于点，过点作轴于点，如图，

、两点的坐标分别为，，

，，，

，

，

为等腰直角三角形，

．

四边形是平行四边形，

，，

．

，轴，

四边形为矩形，

，

，

．

故答案为；

设直线的函数解析式为，

，

，

直线的函数解析式为．

过点作于点，过点作轴于点，利用点的坐标的性质和平行四边形的性质解答即可；

利用待定系数法解答即可．

本题主要考查了平行四边形的性质，点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

19.【答案】证明：是等边三角形，

，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

四边形是矩形；

解：四边形是矩形，

，

，，

，

，

，

．

负根已经舍去，

的面积是．

【解析】根据等边三角形性质求出，根据平行四边形的性质求出，，求出，根据矩形的判定得出即可；

求出、根据勾股定理求出，根据面积公式求出即可．

本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．

20.【答案】解：与轴交于点，与轴交于点，

当时，，则，

当时，，，则，

，，

点是的中点，

，

，

设，

则，

，

当时，，

解得：或，

或；

设轴存在一点，使得是直角三角形，

，，，

根据勾股定理可得：，

，

，，距离公式，

是直角三角形，分两种情况：

时，与原点重合，此时；

时，则，

，

解得：，此时，

综上所述：或．

【解析】根据已知求得、坐标，由重点坐标公式求坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可；

设点坐标，当是直角三角形分两种情况：或时求解即可．

本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

21.【答案】解：四边形是菱形，理由如下：

，，

四边形是平行四边形，

，

平行四边形是矩形，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形；

四边形是矩形，，

，

四边形是菱形，，

，，，

，

，

菱形的面积．

【解析】根据题意推出平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得出，即可判定四边形是菱形；

根据矩形的性质求出，根据菱形的性质求出，，，解直角三角形求出，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”求解即可．

此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】解：这名学生家庭年收入的平均数是：

万元；

将这个数据从小到大排列，最中间的数是，

所以中位数是万元；

在这一组数据中出现次数最多的，

故众数万元；

众数代表这名学生家庭年收入的一般水平较为合适，

因为出现的次数最多，所以能代表家庭年收入的一般水平．

【解析】根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；

在平均数，众数两数中，平均数受到极端值的影响较大，所以众数更能反映家庭年收入的一般水平．

本题考查的是平均数、众数和中位数的概念和其意义．要注意：当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．

23.【答案】或

【解析】解：能；理由如下：

，，

．

又，

四边形为平行四边形．

，，

，，

，

若使能够成为等边三角形，

则平行四边形为菱形，则，

，

；

即当时，为等边三角形；

当或时，为直角三角形；

理由如下：

时，四边形为矩形．

在中，，

即，

；

时，由知，

．

，

．

即，

；

时，

，

点运动到点处，用了秒中，

同时点也运动秒钟，点就和点重合，

点也就和点重合，

点，，不能构成三角形．

此种情况不存在；

综上所述，当或时，为直角三角形．

故答案为：或．

由，，证出；

先证明四边形为平行四边形．得出，，若为等边三角形，则？为菱形，得出，，求出；

分三种情况讨论：时；时；时，此种情况不存在；分别求出的值即可．

本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意中分类讨论三种情况，分别求出的值，避免漏解

24.【答案】解：甲商场：，

乙商场：，

，

即；

答：甲商场：，乙商场：；

，解得，

当购物金额按原价等于元时，在两商场购物花钱一样多；

，解得，

当购物金额按原价小于元时，在甲商场购物省钱；

，解得，

当购物金额按原价大于元时，在乙商场购物省钱．

【解析】根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；

将中两个函数分段讨论比较大小即可．

本题是一次函数