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文档简介
Chapter6DeflectionofBeams第六章弯曲变形第六章弯曲变形
(DeflectionofBeams)
§6-1基本概念及工程实例(Basicconceptsandexampleproblems)
§6-4
用叠加法求弯曲变形
(Beamdeflectionsbysuperposition)§6-3
用积分法求弯曲变形(Beamdeflectionbyintegration)§6-2
挠曲线的微分方程(Differentialequationofthedeflectioncurve)§6-5静不定梁的解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)§6-6
提高弯曲刚度的措施(Themeasurestostrengthenrigidity)
§6-1基本概念及工程实例(Basicconceptsandexampleproblems)一、工程实例(Exampleproblem)但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要.例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用.1.挠度(Deflection)二、基本概念(Basicconcepts)w挠度C'CABwx横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.2.转角
(Slope)转角
AC'CwB
xw挠度(横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用
表示3.挠曲宽线(De路fl鞭ec逆ti倍on的c赤ur榨ve)梁变申形后芹的轴稠线称况为挠脂曲线.式中,x为梁鞭变形放前轴粘线上佣任一医点的额横坐品标,w为该容点的叹挠度.挠曲形线wAB
x转角
w挠度(C'C挠曲线方程(equationofdeflectioncurve)为4.挠度笛与转末角的扯关系(Re轿la婶ti摩on培sh倒ip赶b能et涨we壳ende葛fl姥ec村ti号onan裹d妻sl矩op贪e):wABx转角
w挠度C'C挠曲线5.挠度帝和转缎角符拜号的窝规定(Si烤gn雀c给on暖ve旷nt头io内n县fo俘r荒de将fl饥ec翻ti炕onan睡d欢sl惠op冶e)挠度孝向上捏为正,向下舞为负.转角自x转至热切线位方向,逆时磁针转姥为正,顺时雨针转干为负.
wABx转角
w挠度C'C挠曲线§6茧-2挠曲跪线的芹微分积方程(Di爪ff让er卧en席ti优al欢e斑qu隐at激io浪n评of疼t鞭he嫩d沟ef筐le赔ct榆io偶n灯cu堂rv混e)一、砍推导计公式(De卖ri仔va贪ti咸on役o犬f恰th排e转fo哀rm缘瑞ul哗a)1.纯弯钞曲时曲率与弯铲矩的备关系(Re处la息ti铲on刑sh养ip沸b设et普we膏en绞t金he假c毁ur援va醒tu寸re茧o扑f富be闭am雄a区nd考t循he欲b狱en掌di炕ng棚m累om俘en樱t)横力每弯曲床时,M和
都是x的函荡数.略去寺剪力轿对梁等的位昂移的舟影响,则2.由数亭学得姿到平诵面曲苍线的倾曲率(Th乓e额cu时rv量at考ur碍e视fr较om撑t岂he衣m触at昼he厚ma评ti智cs)在规钥定的前坐标敞系中,x轴水宇平向饰右为正,w轴竖奴直向宝上为职正.曲线帝向上牲凸时:OxwxOw因此,与的正负号相同曲线认向下诱凸时:此式清称为梁的贿挠曲采线近李似微吗分方俗程(di大ff权er断en懒ti旺al座e虾qu股at薯io揉n妈of给th与e沫de丛fl智ec平ti停on纹c登ur医ve)(6故.5萍)近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了
项;(3)与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为§6革-3用积坝分法培求弯硬曲变惰形(Be寺am蓄d趴ef悉le陡ct吧io也n盐by捐i歉nt乐eg电ra魔ti易on青)一、握微分膀方程严的积私分(In桂te霉gr叙at确in胀g学th恶e净di筒ff穷er喇en窗ti腥al取e类qu兰at堂io荒n唇)若为赤等截玻面直举梁,其抗哀弯刚额度EI为一贿常量煌上式秆可改泉写成2.再积那分一粒次,得挠威度方辫程(In唯te梯gr压at踩in冲g催ag缴ai杠n远gi撇ve录s逼th会e渴e体qu仅at码io万n丧fo域r绪th饺e芹de干fl恨ec薯ti妻on)二、线积分僻常数娱的确愉定(Ev艇al否ua叼ti缺ng货t窝he乡丰c封on简st疮an尖ts袋o袜f库in核te两gr牲at雀io督n)1.边界捧条件(Bo薄un没da渠ry挖c迅on驴di泻ti啦on丘s)2.连续质条件(Co卸nt梦in砖ue育c今on严di悲ti饥on循s)1.积分宪一次委得转漂角方帐程(Th跑e删fi阳rs推t托in受te富gr笔at尼io康n期gi斑ve欺s辞t铅he崇e留qu序at释io峰n暴fo别r病th置e垄sl贼op跨e)AB在简支梁中,左右两铰支座处的挠度和都等于0.在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角都应等于0.ABABxFw例题1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角(1)阳弯矩将方程开为解:(2)孩挠曲唯线的评近似缝微分榴方程化为xwABxF对挠瓣曲线潜近似锄微分横方程慰进行益积分梁的庄转角始方程淹和挠王曲线虾方程岸分别镰为边界条件将边界条件代入(3)(4)两式中,可得BxyAF()都发生在自由端截面处和()例题2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其和ABql解:由对稍称性傍可知,梁的逢两个拿支反稍力为ABqlFRAFRBx此梁业的弯敏矩方虏程及细挠曲维线微优分方章程分戏别为梁的惯转角神方程占和挠娇曲线轿方程茫分别敏为边界条件x=0和x=l时,
xABqlFRAFRB
A
B在x=0和x=l处转央角的王绝对阵值相五等且斜都是搏最大伞值,最大速转角龙和最够大挠皮度分锹别为wmax在梁跨井中点拘处有最大园挠度款值例题3图示爱一抗戏弯刚肃度为EI的简掏支梁,在D点处大受一形集中茂力F的作漏用.试求恰此梁诉的挠针曲线初方程遥和转徐角方袍程,并求扎其最夜大挠印度和凯最大朽转角.ABFDabl解:梁的狂两个贷支反剃力为FRAFRBABFDabl12xx两段化梁的拍弯矩诸方程艇分别贯为两段尊梁的冷挠曲砌线方酸程分却别为(a)(0
x
a)挠曲线方程转角方程挠度方程挠曲线方程转角方程挠度方程(b)(a
x
l)D点的绘连续圆条件边界糕条件在x=a处在x=0处,在x=l处,代入考方程使可解暂得:ABFDab12FRAFRB(a)(0
x
a)(b)(a
x
l)将x=浸0和x=l分别甲代入菜转角那方程养左右孙两支宿座处侍截面违的转睛角当a>b时,右支谊座处彼截面肿的转雾角绝悄对值脾为最悼大简支梁的最大挠度应在处先研究第一段梁,令得当a>b时,x1<a最大猛挠度疾确实蛙在第房诚一段自梁中梁中常点C处的蚕挠度宁为结论:在简壳支梁乎中,不论孝它受威什么翅荷载娃作用,只要场挠曲汉线上莫无台拐点,其最艇大挠京度值趟都可微用梁棋跨中唐点处颈的挠部度值输来代睬替,其精短确度薪是能肤满足科工程阁要求巷的.(a)对蓬各段故梁,都是显由坐兔标原仙点到坛所研筛究截煌面之昌间的苹梁段湾上的外千力来鸡写弯防矩方隔程的.所以萌后一谦段梁川的弯锡矩方碎程包威含前爷一段挨梁的改弯矩披方程.只增块加了(x-蚂a)的项.(b)对(x-渣a)的项文作积愚分时,应该劈燕将(x-北a)项作李为积祸分变暂量.从而感简化终了确矩定积横分常淡数的帜工作.积分法的原则§6搞–4用叠贫加法没求弯凳曲变氏形(Be观am吗d珍ef炎le涝ct插io荷ns闯b走y沉su剖pe舅rp康os铃it伟io宵n)梁的葱变形谎微小,且梁厘在线柏弹性跟范围疮内工熄作时,梁在蝇几项备荷载(可以口是集逮中力,集中顿力偶绕或分礼布力)同时婚作用除下的灵挠度贴和转倒角,就分狡别等探于每但一荷携载单霸独作胞用下碑该截专面的须挠度错和转碰角的投叠加.当每一驻项荷爱载所主引起缠的挠新度为累同一宵方向(如均皆沿w轴方朋向),其转击角是在船同一自平面篇内(如均蝴在xy平面霜内)时,则叠伪加就蹄是代酬数和.这就是叠蜜加原假理.一、携叠加久原理(Su辱pe六rp可os季it滋io摔n)1.载荷解叠加(Su绕pe励rp宣os坏it莫io屑n尊of衡l顾oa焦ds)多个俗载荷饥同时悬作用悲于结患构而冒引起惰的变排形等兽于每竭个载陷荷单勉独作耽用于东结构匆而引调起的梢变形列的代说数和.2.结构吃形式暑叠加旬(逐相段刚先化法驴)按叠漏加原极理求A点转氏角和C点挠观度.解:(a)载荷渗分解陈如图(b)由梁新的简符单载纷荷变闹形表,查简界单载李荷引央起的异变形.BqFACaaF=AB+ABq(c)叠加qFF=+AAABBBCaaq例题4一抗筒弯刚魂度为EI的简欧支梁堡受荷尿载如悉图所蛾示.试按伤叠加希原理幻玉求梁张跨中概点的互挠度wC和支胶座处千横截洽面的把转角
A,
B。ABCqMel解:将梁较上荷绝载分爱为两估项简悲单的往荷载,如图绩所示ABCqMe(a)lBAMe(c)lAq(b)BlCC()()()例题5试利用砌叠加蹈法,求图吧所示擦抗弯打刚度耍为EI的简拦支梁璃跨中算点的左挠度wC和两蝴端截器面的勾转角
A,
B.ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2解:可视贝为正泥对称画荷载桨与反聪对称坏荷载殃两种可情况让的叠册加.(1)正弊对称拘荷载删作用煤下ABCq/2CABq/2q/2(2)反召对称嘉荷载适作用榴下在跨炭中C截面嫂处,挠度wC等于赞零,但拆转角晃不等奴于零服且该金截面浪的屑弯毒矩也泪等于衬零可将AC段和BC段分缴别视科为受肥均布枝线荷病载作立用且酸长度炕为l/2的简京支梁CABq/2q/2可得奇到:Bq/2ACq/2将相啊应的放位移何进行篇叠加,即得()()()例题6一抗央弯刚缸度为EI的外收伸梁齐受荷志载如末图所滋示,试按喷叠加费原理伤并利豪用附锁表,求截细面B的转童角
B以及A端和BC中点D的挠南度wA和wD.ABCDaa2a2qq解:将外提伸梁剧沿B截面取截成施两段,将AB段看库成B端固定肤的悬土臂梁,BC段看医成简融支梁.ABCDaa2a2qqBCDq2qa2qAB2qaB截面筑两侧笨的相街互作炉用为煮:简支概梁BC的受狸力情姥况与崇外伸悔梁AC的BC段的寻受力晌情况陪相同由简糖支梁BC求得陪的
B,wD就是叼外伸虹梁AC的
B,wD2qaBCDqqBCDBCD简支锣梁BC的变芹形就朗是MB和均看布荷煮载q分别访引起碰变形锋的叠秋加.由叠扎加原麻理得:DBC2qaBCDqDBC(1)求
B,wD(2)求wA由于悠简支座梁上B截面垫的转木动,带动AB段一你起作被刚体始运动,使A端产威生挠介度w1悬臂败梁AB本身垮的弯翻曲变义形,使A端产意生挠攀度w2A2qB2qaAC2qaBDq因此,A端的堪总挠态度应炭为由表6-桥1查得二、乱刚度出条件(St弱if遍fn榨es侦s捡co弄nd个it被io心n)1.数学访表达酸式(Ma晚th良em蜻at诉ic潜al延f魔or婶mu咏la)2.刚度呆条件冷的应溜用(Ap稿pl钢ic疑at帮io挑n拆of抽s恒ti子ff用ne筒ss园c详on昏di犹ti养on)(1)校核毛刚度(Ch副ec削k响th党e江st灯if怀fn房诚es冠s毒of稼t找he赏b虹ea躺m)(2)设计彩截面组尺寸(De术te僵rm肤in商e笋th吧e柜al贸lo舅wa域bl刷e虑lo顿ad仙o传n统th奥e望be蚊am)(3)求许腊可载悠荷(De斜te资rm熄in慢e厨th尿e床re耽qu晶ir前ed沈d那im宝en徐si辜on停s这of有t扯he查be沫am)是构件的许可挠度和转角.和例7下图拔为一屿空心胳圆杆,内外蒸径分徐别为:d=4唯0m放m,D=8缝0m蒙m,杆的E=2绩10伸GP劝a,工程芳规定C点的[w/L]=解0.炊00版00外1,B点的[
]=岛0.孤00牵1弧度,试核此梢杆的漆刚度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB解:(1)结构螺变换,查表舍求简健单载记荷变甲形.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB+F2BC图2图3+F2BCDAM=图1F1=1kNDC(2)叠加帅求复掉杂载叨荷下区的变驼形F2=2kN=++图1图2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC图3F2BDAMACCF2(3)校核赚刚度:(rad)一、躲基本层概念(Ba隆si骗c绍co菊nc存ep蚀ts)1.超静特定梁(sta股ti套ca睁ll剃y旁in宾de握te狡rm香in证at侧e宰be锻am雕s)§6彻-5静不萄定梁光的解继法(So舌lu你ti澡on雪m瓜et晃ho疤dsfo争rsta眨ti煎ca屡ll行yin哭de每te聚rm剂in助at兆e拒be里am甚s)单凭投静力饰平衡意方程损不能帮求出精全部差支反拢力的期梁,称为懒超静溜定梁FABABCFFRAFRBFRC2.报“多余雹”约档束(Re枝du愚nd凑an曲t设co缴ns菊tr它ai虾nt)多于貌维持搏其静微力平柔衡所甚必需撑的约束3.梦“多余繁”反凶力(Re耀du谊nd绿an抗t仅re袭ac爱ti佳on)“多躬余”与相应首的支屑座反美力FRBABCFFABFRAFRC4.超静呢定次悼数(De改gr侨ee照o她fst欺at数ic运al仔lyin惜de弹te售rm份in福at并e航pr蝇ob靠le拼m)超静执定梁负的访“多处余”输约梨束的数目算就等元于其丙超静虽定次独数.n=未知呢力的默个数-独立鄙平衡惨方程优的数臭目二、友求解李超静快定梁鄙的步惩骤(p汁ro捉ce谅du词re斧f捞or语s东ol届vi倘ng溜a罪st谢at形ic院al辽ly室i炭nd便et火er刻mi伏na挺te)1.画静叼定基脑建立贷相当纤系统:将可葬动绞毫链支匆座作亚看多余袭约束,解除妖多余强约束弃代之面以约妇束反铜力RB.得到巨原超夺静定蛛梁的救基本紧静定督系.2.列几何雷方程——变形砖协调虹方程超静刚定梁乓在多珠余约盲束处凳的约垦束条脖件,梁的艰变浮形协争调条乱件ABqqABFRB根据勺变形唯协调威条件黑得变栏形几夕何方阶程:变形勾几何斑方程弯为3.列物理却方程—变形拳与力净的关烘系查表的得qAB将力乘与变运形的融关系赠代入变形美几何策方程必得补坊充方杰程4.建立海补充坟方程BAFRBqABFRB补充膝方程饭为由该酷式解巷得5.求解胜其它胞问题侍(反针力,应力,变形煤等)qABFRBFRAMA求出届该梁貌固定迅端的宅两个刘支反箩力qABBAFRB代以帝与其膛相应顾的多菜余反米力偶MA得基屯本静目定系.变形战相容乞条件挽为请同额学们昏自行锅完成艺!方法逢二取支摆座A处阻含止梁植转动野的约卸束为剩多余际约束.ABqlABqlMA例题8梁AC如图餐所示,梁的A端用暗一钢梁杆AD与梁AC铰接,在梁揭受荷饼载作通用前,杆AD内没沫有内冻力,已知岂梁和株杆用塌同样柴的钢莲材制智成,材料剃的弹习性模化量为E,钢梁晚横截萌面的驶惯性薪矩为I,拉杆铺横截即面的晃面积锅为A,其余烟尺寸帖见图,试求胞钢杆AD内的设拉力FN.a2aABCq2qDlCADBq2qAFNFNA点的线变形壤相容王条件改是拉蛋杆和熟梁在固变形应后仍界连结痛于A点.即解:这是同一次傍超静侵定问返题.将AD杆与膜梁AC之间据的连型结绞樱看作砍多余筒约束.拉力FN为多狂余反法力.基本短静定难系如庭图ADBCq2qFNFNA1变形臣几何脸方程联为根据厚叠加晶法A端的眼挠度旋为BCq2qFNBCq2q在例成题海中已廉求得可算屿出:CFNB拉杆AD的伸长为:补充方程为:由此解得:ADBCq2qFNFN例题9求图捏示梁怒的支贱反力,并绘候梁的悟剪力励图和防弯矩跃图.已知EI=配5
竞103kN谱·m3.4m3m2mABDC30饮kN20哪kN忍/m解:这是对一次偏超静妇定问尼题取支赌座B截面叮上的惭相对隔转动秤约束末为多乓余约垦束.基本赖静定惜系为付在B支座木截面瞒上安宾置铰嘉的静负定梁,如图柳所示.4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m多余丘反力冰为分侮别
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