2021年湖南省株洲市高考数学一模试卷理科及答案

2021年湖南省株洲市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.TOC\o"1-5"\h\z〔5分〕集合A={x|xV2},B={x|2x>1}，那么AGB=〔〕A.{x|0VxV2}B.{x|1VxV2}C.{x|x>0}D.{x|xV2}(5分〕，，其中i为虚数单位，a^R,那么a=〔〕a+iA.-1B.1C.2D.-2〔5分〕等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.假设ax+a3=5,axa3=4,那么S6=〔〕A．31B．32C．63D．644．〔5分〕如下图，三国时代数学家赵爽在?周髀算经?中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形〔暗影〕．设直角三角形有一内角为30°，假设向弦图内随机抛掷1000颗米粒〔大小忽略不计〕，那么落在小正方形〔暗影〕内的米粒数大约为〔〕A．134B．866C．300D．500(5分〕f〔X〕是定义在R上的奇函数.当x>0时，f〔X〕=X2-x，那么不等式f〔x〕>0的解集用区间暗示为〔〕1〕U〔0，1〕A.〔-1，1〕B.〔-g，-1〕U1〕U〔0，1〕D.〔-1,0〕U〔1,+*〕〔5分〕〔1+X-X2〕10展开式中X3的系数为〔〕A.10B.30C.45D.210〔5分〕某三棱柱的三视图如图粗线所示,每个单元格的长度为1,那么该三棱柱外接球的概况积为〔〕A.4nB.8nC.12nD.16n&〔5分〕[x]暗示不超过x的最大整数，如[0.5]=0,[1]=1,[2.4]=2.执行如下图的轨范框图,那么输出S的值为〔〕A．450B．460C．495D．550ni9.〔5分〕函数〔m，n为整数〕的图象如下图，那么m，n的值可能为〔〕A.m=2,n=-1B.m=2,n=1C.m=1,n=1D.m=1,n=-1〔5分〕f〔X〕=cos⑴x,〔⑴>0〕的图象关于点°)对称，且f〔X〕在TOC\o"1-5"\h\z区间上单调，那么⑴的值为〔〕3A.1B.2C.，D.Z33〔5分〕抛物线(J】：护二虹和圆c2：(x-l^24y2=l，直线y=k〔x-1〕与q,C2依次相交于Alx】，yj,B(x2，y2〕，C(x3，y3〕，D(x4，y4〕四点〔其中xx<x2<x3<x4L那么|AB|•|CD|的值为〔〕A.1B.2C.D.k2〔5分〕直三棱柱ABC-AXBXCX的侧棱长为6,且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA],BB],Cq，分别交于三点M，N，Q，假设△MNQ为直角三角形，那么该直角三角形斜边长的最小值为〔〕A.2■.迈B.3C^.-;3D.4二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.〔5分〕AABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，那么五■A5=

2TOC\o"1-5"\h\z14.〔5分〕实数x,y满足工沁，那么z=2x+y的最大值为.LV>015．〔5分〕双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，那么双曲线E的离心率为.16．〔5分〕如表给出一个“等差数阵〞：其中每行、每列都是等差数列，aij暗示位于第i行第j列的数.那么112在这"等差数阵〃中泛起的次数为.4710712471071217101724ai1ai2aa1ja2ja3jaij三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕(12分〕在厶ABC中，二別"，睨二殳，5,点D在AB边上，且ZBCD为锐角，CD=2,ABCD的面积为4.〔1〕求cosZBCD的值；〔2〕求边AC的长．(12分〕如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，AB〃CD，平面CBE与平面BDE垂直，且CB丄BE.〔1〕求证：ED丄平面ABCD；

〔2〕假设AB丄AD,AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为丰求AF的长.19.〔12分〕某协会对A，B两家办事机构进展满意度调查，在A，B两家办事机构提供过办事的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家办事机构进展评分，总分值均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10〕，[10，20〕，[20，30〕，[30，40〕，[40，50〕，[50，60]，获得A办事机构分数的频数分布表，B办事机构分数的频率分布直方图：A办事机构分数的频数分布表分数区间频数TOC\o"1-5"\h\z[0，10〕20[10，20〕30[20，30〕50[30，40〕150[40，50〕400[50，60]350定义市民对办事机构评价的“满意度指数〞如下：分数[0，分数[0，30〕[30，50〕[50，60]满意度指数〔1〕在抽样的1000人中，求对B办事机构评价"满意度指数〃为0的人数；〔2〕从在A，B两家办事机构都提供过办事的市民中随机抽取1人进展调查，试估计其对B办事机构评价的“满意度指数"比对A办事机构评价的“满意度指数"高的概率；〔3〕如果从A，B办事机构中选择一家办事机构，你会选择哪一家？说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.［选修44：坐标系与参数方程］〔10分〕曲线C的极坐标方程是p=4cos8.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线丨的参数方程是’〔t为参数〕〔1〕将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕假设直线丨与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=-..;T3，求直线的倾斜角a的值．［选修45：不等式选讲.］函数f〔X〕=12x+11-|x|+a，〔1〕假设a=-1，求不等式f〔x〕±0的解集；2〕假设方程f〔x〕=2x有三个分歧的解，求a的取值范围．2021年湖南省株洲市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题问题要求的.〔5分〕集合A={x|xV2},B={x|2x>1}，那么AGB=〔〕A.{x|0VxV2}B.{x|1VxV2}C.{x|x>0}D.{x|xV2}【解答】解：・・・B={x|2x>l}={x|x>0},・・・AGB={x|0VxV2},应选：A(5分〕.，其中i为虚数单位，a^R,那么a=〔〕a+iA.-1B.1C.2D.-2【解答】解：由=l-i,a+i得2=〔1-i〕〔a+i〕=a+1+〔1-a〕i，・•・，即a=1.U-a=O应选：B.〔5分〕等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.假设ax+a3=5,axa3=4,那么S6=〔〕A．31B．32C．63D．64【解答】解：设公比为q,因为｛an｝是递增的等比数列，所以q>0.an>an-1因为a1+a3=a1+a1q2=5，且a1>0,a3>0,又a1a3=a22=4,所以得a1=1，a2=2，a3=4，q=2，那么S6=〔1-q6〕=q6-1=64-1=63.1—q应选C.〔5分〕如下图,三国时代数学家赵爽在?周髀算经?中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形〔暗影〕.设直角三角形有一内角为30°,假设向弦图内随机抛掷1000颗米粒〔大小忽略不计〕,那么落在小正方形〔暗影〕内的米粒数大约为〔〕A.134B.866C.300D.500【解答】解：设大正方形的边长为2x,那么小正方形的边长为'"x,向弦图内随机抛掷1000颗米粒〔大小忽略不计〕,设落在小正方形〔暗影〕内的米粒数大约为a,那么誌解得a=1000〔耳〕74.应选：A.〔5分〕f〔X〕是定义在R上的奇函数.当x＞0时，f〔X〕=x2-x,那么不等式f〔x〕＞0的解集用区间暗示为〔〕A.(-1,1〕B.〔-r-1〕U〔1,+«〕C.〔-*,-1〕U〔0,1〕D.〔-1,0〕U〔1,+*〕【解答】解：按照题意,当x＞0时,f〔x〕=x2-x,假设f〔X〕＞0,那么有X2-x＞0,解可得X＞1，即在〔1,+x〕上，f〔x〕＞0,反之在〔0,1〕上，f〔x〕V0,又由函数为奇函数，那么在〔0,-1,〕上,f〔x〕＞0,在〔-^,-1〕上，f〔x〕V0,那么不等式f〔x〕＞0的解集为〔-1,0〕U〔1,+«〕；应选：D.(5分〕〔1+X-X2〕10展开式中X3的系数为〔〕A.10B.30C.45D.210【解答】解：〔1+X-X2〕10=[1+〔X-X2〕]10的展开式的通项公式为T_!=cf〔X+丄-X2〕r.对于〔X-X2〕r,通项公式为T=・Xr-m.〔-X2〕m,m+1t令r+m=3，按照OWmWr,r、m为自然数，求得严,或/二\、itpInPO.•.〔1+x-X2〕10展开式中X3项的系数为+□吗=-90+120=30.应选：B.7．〔5分〕某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，那么该三棱柱外接球的概况积为〔〕A.4nB.8nC.12nD.16n【解答】解：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABC-A1B1C1，其中△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2,AB丄AC,AA］丄平面ABC,AA1=2，如图，・••该三棱柱外接球的半径R===主,22・该三棱柱外接球的概况积：S=4nr2=4兀乂（”3）2=12n.应选：C.

8〔5分〕[x]暗示不超过x的最大整数，如[0.5]=0,[1]=1,[2.4]=2.执行如下图的轨范框图，那么输出S的值为〔〕A．450B．460C．495D．550【解答】解：模拟轨范的运行，可得轨范框图的功能是计算并输出S=[]+[]+[]+•••+[]+[]的值，1010101010S=[]+[]+[]+...+[]+[]=10X0+10X1+10X2+...+10X10101010109+10=10+20+30+.+90+10=460．应选：B.9.〔5分〕函数〔m,n为整数〕的图象如下图，那么m,n的值可e能为〔〕A.m=2,n=-1B.m=2,n=1C.m=1,n=1D.m=1,n=-1【解答】解：按照图象可得f〔1〕=丄+ne（i,2〕，当n=-1时，不满足，故排e除A，D；当m=n=1时，f〔X〕=，恒成立，TOC\o"1-5"\h\z盖AJ*.eee故函数f〔X〕无极值点，故不符合题意，应选：B10.〔5分〕f〔X〕=cos⑴x，〔⑴＞0〕的图象关于点0）对称，且f〔X〕在区间上单调，那么⑴的值为〔〕3A.1B.2C.D.Z33【解答】解：f〔X〕的图象关于〔空，0〕对称，4•3JC八•3TT丄||二-7・・cos⑴=0，・・——⑴二+kn，k^Z，442解得⑴冷+普，kez；令knW⑴xWn+kn，解得至EWxW+旦L，kez；00W00•*«f〔X〕在［0,］上是单调减函数，00•・・f&〕在〔0,〕上单调，3.••空LwJL，解得⑴wJ_；3W2又••⑴>0,应选：D.11.(5分〕抛物线C］；/二牡和圆C2:(K_l)2+y2=l，直线y=k〔x-1〕与q,c2依次相交于A〔X］,yj,B(x2，y2〕，C(x3，y3〕，D(x4，y4〕四点〔其中x】<x2<x3<x4L那么|AB|•|CD|的值为〔〕A.1B.2C.导D.k2【解答】解：Ty2=4x，焦点F〔1，0,，准线l0：x=-1.由定义得：|AF|=xA+1，又•・・|af|=|ab|+1，・・.|ab|=Xa，同理：|CD|=xD，由题意可知直线丨的斜率存在且不等于0，那么直线l的方程为：y=k〔x-1,代入抛物线方程，得：k2x2-〔2k2+4,x+k2=0，・・・xAxD=1，那么|ab|・|cd|=1.综上所述，|AB|•|CD|=1，应选：A.

〔5分〕直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为6,且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA],BB],Cq，分别交于三点M，N，Q，假设△MNQ为直角三角形，那么该直角三角形斜边长的最小值为〔〕A.2辽B.3C.2込D.4【解答】解：如图，不妨设N在B处，AM=h，CQ=m，那么有MB2=h2+4，BQ2=m2+4，MQ2=〔h-m〕2+4由MB2=，=BQ2+MQ2~m2-hm+2=0.△=h2-8三Onh2±8该直角三角形斜边MB=j4+h?》2j3・应选：C.二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕〔5分〕AABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，那么忑=3.【解答】解：TE为等边三角形ABCBC的中点，・・・ZBAE=30°,AE=W,F■-1-1-・••址"AB=|AE||AB|cos30°=2XT3Xcos30°=3,故答案为：3．2(5分〕实数x,y满足"工$0，那么z=2x+y的最大值为4Ly>0【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔暗影局部〕.由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大.由，解得C〔2,0〕1y=0将C〔2，0〕的坐标代入方针函数z=2x+y，得z=2X2+0=4.即z=2x+y的最大值为4.故答案为：4.

一一-II卜||卜||厂r\一一-II卜||卜||厂r\15．〔5分〕双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，那么双曲线E的离心率为仝~2—【解答】解：按照题意，如图：设双曲线E经过的正方形的四个顶点为A、B、C、D，其A在第一象限，双曲线的两个焦点为F］、F2，连接AF1，假设双曲线的焦距等于该正方形的边长，那么有|F1F2|=2c,|AF2|=c，那么有|af」=tEc,那么2a=|AF1|-|AF2|=d1〕c,那么双曲线的离心率e=±==a2故答案为：-

16.〔5分〕如表给出一个"等差数阵〃：其中每行、每列都是等差数列，暗示位于第i行第j列的数.那么112在这"等差数阵〃中泛起的次数为7.4710712471071217101724ai1ai2aa1ja2ja3jaij【解答】解：按照图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列：aXj=4+3〔j-1〕,第二行是首项为7,公差为5的等差数列：a2j=7+5〔j-1〕第i行是首项为4+3〔i-1〕，公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3〔i-1〕+〔2i+1〕〔j-1〕=2ij+i+j，要找112在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i,j,使得2ij+i+j=112,所以j皤,当i=1时，j=37,当i=2时，j=22当i=4时，j=12当i=7时，j=7，当i=12时，j=4当i=22时，j=2，当i=37时，j=1．A112在这"等差数阵"中泛起的次数为7.故答案为：7．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.〔12分〕在厶ABC中，二別"，睨二殳，5,点D在AB边上，且ZBCD为锐角，CD=2,ABCD的面积为4.〔1〕求cosZBCD的值；〔2〕求边AC的长.【解答】解：〔1〕・・・^二「5,CD=2,那么：込md今BLCDviiiNBCEM，•:•:cosz^ECD〔2〕在△BCD中,CD二2由余弦定理得：DB2=CD2+BC2-2CD・BC・cosZBCD=16,即DB=4,VDB2+CD2=BC2,・・.ZBCD=90°,即厶ACD为直角三角形，VA=30°,・AC=2CD=4．18.〔12分〕如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，AB〃CD，平面CBE与平面BDE垂直，且CB丄BE.〔1〕求证：ED丄平面ABCD；〔2〕假设AB丄AD,AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为半，求AF的长.解答】证明：〔1〕因为平面CBE与平面BDE垂直，且CB丄BE，平面CBE与平面BDE的交线为BE，

所以CB丄面BDE,又ED面BDE,所以，CB丄ED,在矩形ADEF中，ED丄AD,又四边形ABCD为梯形，AB〃CD，所以AD与CB相交，故ED丄平面ABCD.解：〔2〕由〔1〕知，ED垂直DA，ED垂直DC，又AD垂直AB，AB平行CD，所以DC垂直DA，如图，以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴建立空间坐标系AD=AB=1?AB1AD：又CB丄BD，ZCDB=45°，所以DC=2，设DE=a，那么B〔1,1，0〕，C〔0,2，0〕，E〔0,0，a〕，BE=（-1,-1,a〕，BC=（-1,1,0〕_工+7=0平面ADEF的法向量为二（0,1,0），_工+7=0平面ADEF的法向量为二（0,1,0），-z-y+az=0,令x=1，那么尸1,z二Z,所以平面BEC的法向量那么二二7Ln^BC=0因为平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为gLo

19.〔12分〕某协会对A,B两家办事机构进展满意度调查，在A,B两家办事机构提供过办事的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家办事机构进展评分，总分值均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：［0，10〕，［10，20〕，［20，30〕，［30，40〕，［40，50〕，［50，60］，获得A办事机构分数的频数分布表，B办事机构分数的频率分布直方图：A办事机构分数的频数分布表分数区间频数[0，10〕20[10，20〕30[20，30〕50[30，40〕150[40，50〕400[50，60]350定义市民对办事机构评价的“满意度指数〞如下：分数[0，30〕[30，50〕[50，60]满意度指数012〔1〕在抽样的1000人中，求对B办事机构评价"满意度指数〃为0的人数；〔2〕从在A，B两家办事机构都提供过办事的市民中随机抽取1人进展调查，试估计其对B办事机构评价的“满意度指数"比对A办事机构评价的“满意度指数"高的概率；〔3〕如果从A，B办事机构中选择一家办事机构，你会选择哪一家？说明理由．频宰B服务机梅分敎葫率好布直咅囲0屮■……………0.02Qaon0.0050.003【解答】解：〔1〕由对B办事机构的频率分布直方图，得：对B办事机构"满意度指数〃为0的频率为〔0.003+0.005+0.012〕X10=0.2,所以，对B办事机构评价"满意度指数〃为0的人数为1000X0.2=200人.⑵设“对B办事机构评价‘满意度指数'比对A办事机构评价‘满意度指数'高"为事件C．记“对B办事机构评价‘满意度指数'为1〃为事件B]；"对B办事机构评价‘满意度指数'为2〞为事件B2；

"对A办事机构评价‘满意度指数'为0〃为事件A。；“对A办事机构评价‘满意度指数'为1〞为事件A1．所以P〔B」=〔0.02+0.02〕X10=0.4,P〔B2〕=0.4,由用频率估计概率得：P〔A。〕=0.1,P〔AJ=0.55,因为事件Ai与B.彼此独立，其中i=1，2,j=0，1.所以P〔C〕=P〔B1A0+B2A0+B2A1〕=0.3,所以该学生对B办事机构评价的“满意度指数〃比对A办事机构评价的“满意度指数〃高的概率为0.3.〔3〕如果从学生对A,B两办事机构评价的“满意度指数〃的期望角度看：B办事机构“满意度指数〃X的分布列为：0.4P0.20.40.4A办事机构“满意度指数〃Y的分布列为：Y010.10.550.10.550.35因为E〔X〕=0X0.2+1X0.4+2X0.4=1.2；E〔Y〕=0X0.1+1X0.55+2X0.35=1.25,所以E〔X〕VE〔Y〕，会选择A办事机构.

〔1〕求椭圆C的方程;〔2〕证明：△MEF为等腰三角形.【解答】解：〔1〕由直线I：bx-ay=O都经过点川（/2，.2）,那么a=2b,22将.2）代入椭圆方程：，解得：b2=4,a2=16,・•・椭圆c的方程为看+*二1；〔2〕证明：设直线m为：尸丄工+t，A〔X],yj,B（x2，y2〕2联立：｛，整理得X2+2tx+2t2-8=0,・x1+x2=-2t,x1x2=2t2-8,设直线MA,MB的斜率为kMA，kMB，要证AMEF为等腰三角形,V1-/2只需V1-/2只需kMA+kMB=0,由kMA-厂电JkMA+kkMA+kMBKjz2+(t-2V2)(盖1+匕)

(k)(七)2-t2-E+4V2t_2t2-4^2t+3

(ky-2V2)G2)=0,所以△MEF为等腰三角形.21.〔12分〕函数f〔X〕=lnx+a〔x-1〕2〔a>0〕.〔1〕讨论f〔X〕的单调性；〔2〕假设f〔X〕在区间〔0,1〕内有独一的零点x°,证明：「歹＜^＜「1【解答】解：〔1〕F(■■:＜当0VaW2时，f'〔x〕±0,y=f〔X〕在〔0,+d上单调递增，当a＞2时，设2ax2-2ax+1=0的两个根为叶匕〔0＜、＜；寺＜七)，且a-ya2-2a.a+\a2-2aSl=―云—，辺―亦—'y=f〔X〕在〔0,xj,〔x2，+*〕单调递増，在〔X］,x2〕单调递减.〔2〕证明：依题可知f〔1〕=0,假设f〔X〕在区间〔0,1〕内有独一的零点x0,由〔］〕可知a＞2，且迎二：于是：1门工o十且G广1)2=0®2as02-2aKo+l=O②由①②得1门工a—二0设二］ng；1,(xtE(0,1)),那么，因此g〔X〕在上单调递减，2x2又g(e舟)=有鱼＞3，g〔eT)三二_2按照零点存在定理，故请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题记分.［选修44：坐标系与参数方程］

22.〔10分〕曲线C的极坐标方程是p=4cos8.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线丨的参数方程是•〔t为参数〕〔1〕