线性离散系统的离散状态空间分析、设计法

第9章线性离散系统的离散状态空间分

析、设计法

9.1线性离散系统的离散状态空间分析法

在连续控制系统中，状态空间分析法是分析、研究系统

的有力工具，它解决了频率特性解决不了的问题，如多变量

问题、时变问题等。计算机的广泛普及和应用为状态空间分

析法提供了有力的手段。

对于离散系统同样可以用离散状态空间分析法来研究

和分析。离散状态空间分析法有以下的优点：

⑴离散状态空间表达式适宜于计算机求解。

⑵离散状态空间分析法对单变量和多变量系统允许用

统一的表示法。

⑶离散状态空间分析法能够应用于非线性系统和时变

系统。

9.1.1线性离散系统的离散状态空间表达式

在线性连续系统中，是用控制变量处,状态变量勺和输

出变量”来表征系统的动态特性的，如图9.1所示。状态变

量与是表征系统本身特性的变量。系统的状态变量是可以有

多种选择方案，但是当系统确定时，状态变量的个数就确定

T,而且是最少的，它就是系统的阶数。

图9.1线性连续系统的变量关系

状态变量可以表示成〃xl列向量

%2。)

%«)=(9.1)

X"⑺

控制变量可以表示成〃,X1列向量

叫”)

〃2«)

"⑺=(9.2)

册⑺

输出变量可以表示成pxl列向量

X。)

%⑺

y")=(9.3)

线性连续系统的状态空间表达式为

x(Z)=Ax(/)+Bu(Z)(9.4)

y(/)=Cx(O+Du(r)(9.5)

A,B,C,D是定常的系数矩阵。

式(9.4)称为状态方程，式(9.5)称为输出方程。

与线性连续系统类似，线性离散系统的离散状态空间表

达式可以表示为

x(kT+T)=Fx(kT)+Gu(kT)(9.6)

y(S=Cx(S+Du(S(9.7)

式(9.6)称为状态方程，式(9.7)称为输出方程。

F是〃x〃维矩阵，称为状态矩阵或系统矩阵。

G是〃xm维矩阵，称为输入矩阵或驱动矩阵。

C是X〃维矩阵，称为输出矩阵。

D是PX机维矩阵，称为直传矩阵或传输矩阵。

线性离散系统的状态变量图如图9.2所示。

图9.2线性离散系统的状态变量图

9.1.2由差分方程导出离散状态空间表达式

对于单输入、单输出的线性离散系统，可以用〃阶差分

方程来描述

y(kT+nT)+y(kT+nT-T)-\-----any(kT)

=b()u(kT+mT)+b、u(kT+mT—T)T----\-bmu(kT)(9.8)

或表示成

“1〃

y(kT+nT)=b^kT+mT-iT)-aty(kT+nT-iT)(9.9)

i=0/=1

为了得到状态空间表达式，应适当选择状态变量，将高

阶的差分方程化为一阶差分方程组，然后表示成向量的形

式，便可以得到离散状态空间表达式了。

1.m=Of即控制变量不包含高于一阶的差分

y(kT+nT)+a1y(kT+nT-T)+---+any(kT)=bQu(kT)(9.10)

选择状态变量

石(5)=—(5)

x2(kT)=y(kT+T)

「3(kT)=y(kT+2T)(9.11)

X/l(kT)=y(kT+nT-T)

由(9.11)式，可得

X](kT+T)=y(kT+T)-x2(kT)

x2(kT+T)=y(kT+2T)=x3(kT)

当(仃+T)=y(b+3T)=z(kT)(912)

x.(kT+T)=y(kT+仃)

=-anx}(kT)-an_xx2{kT)----ayxn(kT)+b°u(kT)

写成矩阵形式

飞何+7）一一010•••卜即一o-

九2(左7+T)001,•x/kT)0

=+u(kT)(9.13)

■

-«lj

_x„(kT+T)_~an-l~an-2A.

x(kT)

")]=[00••-0]2(9.14)

3(叮)_

将式（9.13）,式（9.14）表示成向量形式

x*T+T)=Fx(kT)+Gu(ZT)

(9.15)

y(S=Cx(ZT)

式中状态矩阵为

一010•-0'

001•-0

F=(9.16)

~an~an-\-an-2,•一q

输入矩阵为

0

0

(9.17)

%

输出矩阵为

C=[l00­••0](9.18)

直传矩阵为

D=[O](9.19)

例9.1线性离散系统的差分方程为

y(kT+4T)+3y(kT+3T)+5y(kT+2T)+4(ZT+T)+6y(AT)=2u(kT)

试导出离散状态空间表达式。

解由差分方程知：n=4,m=0,p=l(输出向量维数)。

%=3,%=5,%=4必=6,d=2o

可知

x[{kT+T)

x2(kT+T)

x3(kT+T)

%(仃十7)

2.机wo,即控制变量包含高于一阶的差分

令机=〃，则差分方程为

y(kT+nT)+a]y(kT+nT-T)+---+any(kT)

=bou(kT+nT)+b^kT+nT-T)+---+bnu(kT)(9.20)

选择状态变量

%(kT)=y(kT)-四u(kT)

x，kT)=X[(kT+T)_/3\U(kT)=y{kT+T)-(3(}u{kT+T)-B、u(kT)

忍(女T)=x2(kT+2T)-&u(kT)=y(kT+2T)

.-/3孤kT+2T)_L+T”(9.21)

x,(AT)=Vi(kT+nT-T)-力-“(AT)=y(kT+〃T-T)

—0°u(kT+nT—T)—仇ti(kT+nT—2T)

——猿2〃(AT+T)一夕一防仃)

作为一组状态变量，其中环儿…，落是待定常数。下面，我

们来确定它们的值，使状态方程中不出现“0⑺的高阶差分。

对式(9.21)中最后一个方程的两边前移一拍，得

xn{kT+T)=y(kT+nT)—0。忧(kT+nT)-0[U(kT+nT-T)(9之？)

——反一2〃(kT+2T)_»i〃(ZT+T)

分别用…必乘式(9.21)中的第1,第2,第〃个方

程，得

a„xy(kT)=any(kT)-an/30u(kT)

an_{x2(kT)=an_xy{kT+T)-an_}/30u(kT+T)-a”_£u(kT)

。“_2》3(仃)=2y(%T+2T)-aL(kT+2T)

-an_2/3}u{kT+T)-an_2/32u(kT)(9,23)

a}xn(kT)=a}y(kT+-T)-a}/3(}u(kT+nT-T)-a]/3}u(kT+nT-2T)

u

-------axftn_2u(kT+7)-%0n7(kT)

将方程(9.22)和方程(9.23)中的〃个方程一齐加起来，

得

x<kT+7)+a„x,(kT)+%%(S+an_2x3(kT)+---alxn(kT)

=y(kT+nT)+a}y(kT+nT-T)+­•■+an_2y(kT+2T)+a^y(kT+T)+a„y(kT)

-0o优(kT+nT)-+HT—T)—(0〉+a、。、+ct7/3^)u{kT+〃T—2T)

a

-------(gi+a］夕“-2+…+n-lP\+4_血))”(%T+T)

一(q力I+4力＞-2+…+a„-\P\+a,A)u(kT)(9.24)

将方程(9.20)

+〃7)+6T-T)H-----+2T)4-«_y(Z:T+T)+qj(&T)

y(kT丁(左丁+〃an_2y(kTn1

=bqU(kT+nT)+b}u(kT+nT-T)-\----Fb〃_、u(kT+T)+bnu(kT)

代入方程(9.24),并加以整理，则得

xn(kT+T)+anx］(kT)+an_}x2(kT)+an_2x3(kT)+-••(kT)

=3°—夕°)〃(%T+〃T)+(b、—/3\—q夕0)〃(ZT+nT—T)

+(b、—0、—a，、—a?/3o)ii(kT+nT—27*)+…+

(如-Ai-a42-------册一邓［一a“_\Bo)u(kT+T)

+S“一a\P„-\~------a._\P\-a,Fq)u(kT)(9.25)

由上式可以看出，若令上式右边除最后一项外，其余各项系

数为零，则状态方程中不会出现“伏T)的高阶差分。据此可以

解出

Bo=瓦

因=仇-

/32=b2—at/3t—a2^0(926)

/?3=83-a\^2~azP\~%Bo

0"=b"-a,A-i-a2^„-2-------«„A)

这样一来，式(9.21)中的〃个状态变量的〃个待定常数

就唯一地确定出来了。再将方程(9.25)中吸T)的系数简记

为我，连同(9.21)中后面("-1)个方程一起，便得到系统的

离散状态空间表达式

x1(kT+T)=Xz(kT)+

x2(kT+T)=x3(kT)+/32u(kT)

•(9.27)

4T(AT+T)=(⑺+⑸_风仃)

xn(kT+T)=-anX}(kT)-aS

——《x”(kT)+0,,u(kT))

由式(9.21)的第一个方程，得系统输出方程为

y伏T)=X)(kT)+/3o"(kT)(9.28)

将式(9.27)和(9.28)写成矩阵形式

x(kT+T)=Fx(⑺+Gu(kT)

(9.29)

y(&T)=Cx(仃)+Du(ZT)

一%(S一

x’kT)

其中x(kT)=

_Xn(kT)

-010•••00

001…00

F=:

000­••01

-a,.~an-\~an-2~a2-fll.

力一

A

G=Ac=[l00-00]D=[4]=也]

R_

在这个表达式中，不论输入函数”(AT)是否含有高阶方程，系

数矩阵尸都是一样的，而〃(")的高阶差分只会改变控制矩阵

G的各元。

系统的初始条件七(0),*2(。)，…，怎(。)可由下式决定

X,(o)=xo)-Z?n«(o)

%(0)=〉(7)-4"(7)一四“(0)

<x3(0)=y(2T)-%QT)-口“(7)-昵(0)(9.30)

x„(0)=y(nT-T)-/3„u(nT—T)一夕风〃T一2T)——0：)-“(0)

例9.2设线性离散系统的差分方程为

y(kT+2T)+y(kT+T)+0.16y(kT)=u(kT+T)+2u(kT)

试写出离散状态空间表达式。

解设状态变量

Xl(kT)=y(kT)

x2(kT)=x}(kT+T)-u(kT)

则

'&*T+T)=X2(kT)+u*T)

<x2(kT+T)=-0.16x,(AT)-x2(kT)+u(kT)

y(kT)=x]kT)

系统的离散状态空间表达式为

x/kT+T)x/kT)

X2（2T+T）」—1—0.16_1」|_尤2（左丁）「L1

xm

y伏T)=[lo]t

x2(kT)

初始条件可由下式决定

%(0)y（o）

x2(0)y（T）-u（Q）

此题也可以直接利用公式求出F,G,C,从而得到离散状态空

间表达式。

线性离散系统的阶数为〃=2,

%=1吗=1,%=016

b。=4,b[=1也=2

A)=%=o

/=4-“0=1

△=打一4用一生£o=l

「。1[「4]「11

F=G==

-0.16-1JLAjL1.

C=[l0]D=[4]=[/?o]=()

「01]「「

x(AT+T)=x(ZT)+u(ZT)

y(ZT)=[lO]x(kT)

9.1.3线性离散系统状态方程的求解

线性离散系统的离散状态方程是由高阶差分方程化为

一阶方程组得到的，所以求解差分方程的方法可以适用于求

解离散状态方程。通常离散状态方程的求解方法有迭代法和

Z变换法。

1.迭代法

设线性离散系统的离散状态空间表达式为

UkT+T)=Fx(kT)+Gu(kT)(931)

\y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)

初始值MO),“(0)o

以&=0,1,…,代入式(9.31)可得

x(T)=Fr(0)+Gw(0)

x(2T)=fx(T)+Gu⑺=尸x(0)+FG«(0)+GM(T)

x(3T)=F3X(0)+F2GW(0)+FGU(T)+GU(2T)

k-l

x(kT)=Fkx(,0)+YFk~j~'G^(JT)(9.32)

J=0

有了离散状态方程的解(9.32)式，便可得到输出方程

y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)(9.33)

令式(9.32)中的相=中伏T),❿(仃)称为线性离散系统的状态

转移矩阵。状态转移矩阵具有如下的性质

J①(b+T)=F①伏T)

遍)=/(9.34)

式中/是单位矩阵。

❿(收)=催可以看作是式(9.34)矩阵差分方程的唯一解。

它描述了线性离散系统由「=。的初始状态M。)向任意时刻

r=仃的状态Mb)转移的特性o因此中(S称为线性离散系统的

状态转移矩阵。

线性离散系统的解式(9.32)还可以用状态转移矩阵来

表示，即

,x(kT)=①(kT)x(O)+£①(kT-jT-T)Gu(jT)

/=0

(9.35)

k-\

y(kT)=C①(ZT)x(O)+C£①(ZT-jT-T)Gu(jT)+Du(kT)

例9.3用迭代法求解线性离散系统的状态方程

x(kT+T)=x(kT)+u(kT)

-0.40.31_

y(s=[ol]x(S

x.(0)1r11flk>0

二

X(°)=八,u(kT)=<

_尤2(°)J-1[0k<0

解令人0,1,2,及初始条件代入离散状态空间表达式,

可以得到

y(T)=[o1]

o-i-0.3

-0.40.30.69

r-i—0.3

y(2T)=01=0.69

0.69

0—0.30「]—0.69

光(3T)=+1=

-0.40.69J[1」1.327

ym=[01]Is??=1.327

将以上计算数据列表9.1。

表9.1迭代计算数据表

k

0123・・・

%(kT)11-0.3-0.69•••

芍(4)-10.30.691.327・・・

W)-10.30.691.327・・・

用迭代法求解离散状态方程只能得到有限项时间序列，得不

到状态变量和输出变量的数学解析式。

2.Z变换法

设线性离散系统的状态空间表达式为

x(攵T+T)=Fx(AT)+Gu(女T)(936)

[y(ZT)=Cx(AT)+Du(ZT)

对(9.36)式作Z变换，可得

zX(z)-zx(O)=FX(z)+GU(z)

X(z)=(zI—F)”zx(O)+GU(z)](9.37)

对式(9.37)作Z反变换，可得

x(kT)=/T{(zl-F)T[ZX(0)+GU(Z)]}(9.38)

对比式(9.32),下式成立

①(仃)=才T[(ZI-F)TZ](9.39)

例9.4用Z变换法求解线性离散系统的状态方程

r0-10

x(kT+T)=x(kT)4-u(kT)

0.40.1

<y(kT)=[Ol]x(AT)

司(0)k>0

x(0)=

x2(0)k<0

解

x(kT)=/t{(zl-F)-1[zx(0)+GU(z)]}

z-0.3-1

(z-0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)

0.4z-0.3—0.4z

(z-0.8)(z+0.5)(z—0.8)(z+05)

z—0.3-1

(z—0.8)(z+0.5)

(z/-F)-'[zx(0)+GU(z)]=9-嚼j+°-5)z

(z—0.8)(z+0.5)(z—0.8)(z+0.5)

z(z?-0.3z-1.7)

(z-0.8)(z+0.5)(z-l)

-Z(Z2-1.6Z-0.4)

(z-O.8)(z+O.5)(z-l)

5z2zlOz

=z-0.8-3(z+0.5)-3(z-l)

----4--z-----------z--------1----l-O--z----

_z-0.83(z+0.5)3(z-l)_

取Z的反变换即可得到方程的解

KI)—'5(0.8/-2(-0.5//3-10/3

--4(0.8/-(-0.5//3+10/3

y(kT)=-4(0.8)4-(0.5)*/3+1O/3k=0,1,2,…

用Z变换法求解离散状态方程，可以得到状态变量和输

出变量的数学解析式。

9.1.4线性离散系统的Z传递矩阵

设线性离散系统的状态空间表达式为

\(kT+T)=Fx(kT)+Gu(kT)

<y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)(9.40)

式中M")是〃xl维状态向量；

u*T)是mxl维状态向量；

y(kT)是pxl维状态向量。

对式(9.40)作Z变换，可得

'zX(z)-zx(O)=FX(z)+GU(z)

'Y(z)=CX(z)+DU(z)

初始条件为零，即M0)=0时，则有

X(z)=[zI-Fr'GU(z)

因而Y(z)=[C(zl-Ff'G+D]U(z)=G(z)U(z)

G(z)=rC(zI-Fr'G+D](9.41)

称G⑶为线性离散系统的Z传递矩阵(pxm维矩阵)。它反映

了在初始静止的条件下，输出量的Z变换丫⑶与输入量的Z

变换U(z)之间的关系。

对于单输入、单输出系统，G(z)是1x1维矩阵，即为脉冲

传递函数(Z传递函数)。

例9.5设线性离散系统的状态空间表达式为

x(kT+T)=0-1x(kT)+°u(kT)

|_-0,40.3j

<

「111

y(kT)=01x(kT)

初始条件为零。试求线性离散系统z传递矩阵，并求出单位

阶跃输入时的输出响应。

解

z—0.3-1

(z-0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)

(zI-Ff

—0.4z

(z-0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)

G(z)=[C(zI-F)-1G+D]

z-0.3-1

11(z—0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)10

01一0.4z______1

(z-0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)

z-0.7z-1

(z-0.8)(z+0.5)(z—0.8)(z+0.5)0

-0.4z1

(z-0.8)(z+0.5)(z-0,8)(z+0.5)

z-1

(z-0.8)(z+0.5)

z

(z-0.8)(z+0.5)

单位阶跃输入时

Y(z)=G(z)U(z)

z—1z

(z-0.8)(z+0.5)z(z-0.8)(z+0.5)

Zz-1

(z-0.8)(z+0.5)(z-l)(z-0.8)(z+0.5)

lOz________IQz

13(z-0.8)-13(z+0.5)

13z12zz

3.9(z-l)3.9(z-0.8)3.9(z+0.5)

对上式作Z反变换可得

[(10/13)(0.8/-(10/13)(-0.5/1……

_(10/3)-(40/13)(0.8/-(10/39)(-0.5)\

9.1.5线性离散系统的Z特征方程

在线性连续系统中，用特征方程来表征系统的动态特

性，同样在线性离散系统中引进Z特征方程的概念来描述一

个线性离散系统的动态特性。

设线性离散系统的状态方程为

x(kT+T)=Fx(ZT)+Gu(ZT)(9.42)

对式(9.42)作Z变换，可得

X(z)=(zl-F)-l[zx(0)+GU(z)]

仿照线性连续系统，令矩阵(z/-F)的行列式

|zI-F|=0(9.43)

称式(9.43)称为线性离散系统的Z特征方程。

例9.6设线性离散系统的状态矩阵

41。12

。21。22

试求线性离散系统的Z特征方程。

解

z04112Z-Q”一〃]2

|zI-F|=。

a2\a22

0z一。21z—a22

=Z2-(Q”+〃22)2+々]]〃22

Z—一(6t|।+〃22"+]〃22。(9.44)

式（9.44）即为线性离散系统的Z特征方程或称为矩阵尸的

Z特征方程。Z特征方程的根也称为矩阵厂的特征值，就是

线性离散系统的极点。

对于一个〃阶的系统，仅有〃个特征值。因为特征方程表

征系统的动态特性，因此尽管一个系统的状态变量的选择不

是唯一的，但是系统的Z特征方程是不变的。

例9.7设线性离散系统的Z传递函数为

~、2Z2+5Z+1

G(z)=~~-

z+3z+2

试导出离散状态方程，并求出Z特征方程。

解

⑴用直接程序法求系统的离散状态方程（参阅第8章内

容，直接程序法）

y（z）—z—3

G(z)==2+

u（z）z~+3z+2

Y(z)=2£/(z)+----3-U(z)=2U(z)+Y.(z)(9.45)

Z2+3Z+2

上式中，令Q(z)=&=-z-3;

U(z)Z2+3Z+21+3Z-'+2Z~2

Q(z)=X(z)/(-z-J3Z-2)

*(9.46)

=t/(z)/(l+3z_l+2z-2)

由(9.46)式得出

Q(z)=U(z)—3z-'Q(z)-2Z-2Q(Z)(9.47)

Y(Z)=—ZTQ(Z)—3Z-Q(Z)(9.48)

Y(z)=2U(z)+X(z)=2U(z)-z-'Q(z)~3z-2Q(z)(9.49)

根据式(9.47)和式(9.49)画出状态变量框图如图9.3所

Zj\o

图9.3例9.7状态变量框图

由图9.3可知

x,(kT+T)

-2一3_|［无2（攵丁）(9.50)

x2(kT+T)

y(ZT)=[-3-1]+即仃)(9.51)

x2(/cl)

由上式可知

则，Z特征方程为

特征值Pi=-2,p2=-1

⑵用并联程序法求系统离散状态方程

G(z)=与至±1=2+二1+—L_

z~+3z+2z+1z+2

G(z)=-^-=2+—+—1—=2+-2z-1Z-1

-I-------7

t/(z)z+1z+21+z-11+2z-'

-2zz

y(z)=2U(z)+1—-t/(z)+——

iIZ1Izz

-1-1

令x1(z)=-^-Tt/(z),x2(z)=-^—ru(z)(9.52)

14-z1+2z

y(z)=2U(z)-2X,(z)+X2(z)(9.53)

由（9.52）式和（9.53）式，画出系统状态变量框图如图9.4

所示。

图9.4并联程序框图

由图9.4可以写出系统离散状态方程

x^kT+T)-10网(攵T)

+J成kT)(9.54)

x2(kT+T)0-2x2(kT)

x(kT)

y(S=[-21]}+\2]u(kT)(9.55)

x2(kT)

由式（9.54）可知

-10

F=

0-2

则，Z特征方程为

z0o-°JH[zr0

=z24-3z+2=0

0zz+2

特征值Pi=~~2,P1=-1

由本例可以清楚看到一个线性离散系统，用不同的方法

可以得到不同的离散状态方程，如式（9.50）、（9.51）以及

(9.54)、(9.55)中的状态矩阵b是不同的。但是，它们的

特征方程是相同的，因而它们的特征值也相同P|=-2，P2=T。

而且特征值的个数就等于离散系统的阶数。

9.1.6计算机控制系统的离散状态空间表达式

一个计算机控制系统，通常由数字计算机和连续环节组

成。计算机控制系统的离散状态空间表达式，可以通过连续

环节的状态空间表达式离散化得到，也可以用Z变换得到。

下面介绍用Z变换求得计算机控制系统的离散状态空间表达

式。

例9.8已知计算机控制系统如图9.5所示，初始静止。

试求系统的离散状态空间表达式。

——

图9.5计算机控制系统

解广义被控对象的传递函数

I^-Ts1

Grv(s)\=-1----e--------------

ss(s+0)

广义对象的z传递函数

(9.56)

Q(Z-1)a(z

由式(9.56)可以建立系统的方框图，如图9.6所示。

图9.6图9.5的等效方框图

选择状态变量

X,(z)=—^―[/?(z)-X,(z)-X2(z)]

(9.57)

e-1

X(z)=——/[R(z)-XI(z)-X(z)]

2ayZ—e)2

由式(9.57)可得

zXI(z)=fl--k,(z)--X2(z)+-R(z)

Ia)aa

Iie-al+1e-1

zX?(z)=—―X,(z)+—X2(z)+——/?(z)

由式(9.58)可得离散状态方程，由图9.6可得离散状态空

间表达式。

T

x^kT+T)%(kT)

面一[)6-"+1

x2(kT+T)x2(kT)

(9.59)

%(kT)

y(⑺=[1

x2(kT)

\-T-T

当a=1时，F=

l-e-T1

系统特征方程为

,।z—1+TT2T

zI-F=丁=z2+(T-2)z+(l-Te-r)=0

11e-r-lz-1

当用连续部分的状态空间表达式离散化时，也即要求导

出连续部分的离散状态方程。假设计算机控制系统的方框图

如图9.7所示。

G(.v)

图9.7计算机控制系统方框图

由图9.7可见，计算机控制系统由连续部分和离散部分

组成。。⑶是数字控制器，为离散部分;“⑸是保持器传递

函数，它与被控对象G/S)合在一起为G(s),称为广义被控对

象。绝大多数系统中，“⑸为零阶保持器，它的输出M⑺为阶

梯信号，如图9.8所示。

图9.8零阶保持器的输出

连续对象的动态特性可以用状态空间表达式表示

x(0=Ax(f)+Bu(t)

,y⑺=Cx(O+Du⑴(9.60)

%。0)=。

式(9.60)的解为

x(t)=eA(,-/o)x(0)+['eA(,-T)Bu(T)dT(9.61)

当，，⑺为阶梯信号时

u(t)=u(kT)=const,kT<t<kT+T(9.62)

初始条件为％(0)=%&)=x(kT)

积分上限为t=kT+T

积分下限为tQ=kT,且t-tQ=T

由式(9.61)可得

x(ZT+T)=e，x(ZT)8"(仃)”(9.63)

在积分区间内，输入是常数，而且积分对所有的攵都成立，

作变量置换f=ZT+T-r,则有

J："-"=^'Bdt(9.64)

式(9.64)是与T有关的常数矩阵。将其代入(9.63)式，

可得

x(kT+T)=eATx(kT)+Bdt^u{kT)(9.65)

式(9.65)即为所求的离散状态方程，写成标准形式为

仃+T)=Fx(叮)+G“(S”

<(9.bo)

y(AT)=Cx(&T)+Du(ZT)

式中F=eAT,G=['eAlBdt

Jo

例9.9已知计算机控制系统如图9.9所示，试求计算机

控制系统的离散状态空间表达式。

H-----G(S)------

图9.9计算机控制系统结构图

解由图9.9可得

e(t)=r(t)-y(t)

e(0=e(kT)=r(kT)-y(kT)

对象1/sG+l)的状态空间表达式可以写成下列形式

王⑺

片(7)

〔刈=%2⑺

由于系统采用零阶保持器，"⑺是阶梯信号，由此可求得对

象的离散状态空间表达式。

由对象的状态空间表达式，可知

--101「1］

A=,B=

iojL°.

则对象的离散状态空间表达式的状态矩阵

对象的输入矩阵

G=\reA'Bdt=\r\e'

JoJo［一二

所以，离散状态方程为

e~T

x(kT+T)=

］一"

以e(⑺=RkT)-y(0)代入上式

x^kT+T)%(AT)\-e~'

[r(kT)-y(kT)]

x2(kT+T)x2(kT)T-\+e

0%!(kT)

x(kT)+r*T)

1々(S2

经整理得

X[(kT+T)x】kT)

x2(kT+T)x2(kT)

y(kT)=x2(kT)

系统特征方程

TT

|zI-F|=z-e~\-e~=z2+(T-2)z+(l-Te<)=0

e-T-lz-2+T+e-T

对照例9.8,对于同一个计算机控制系统，用不同的方法都

能得出相同的Z特征方程。

9.1.7用离散状态空间法分析系统的稳定性

设线性离散系统的状态方程为

x(kT+T)=Fx(仃)+Gu(kT)(9.67)

用迭代法求(9.67)的解，得

x(S=铲x(0)+ZFw-,Gu(jT)(9.68)

片。

分析系统的稳定性只考虑状态方程的齐次解，即〃(b)=0的情

况，则

x(kT)=铲x(0)(9.69)

设F是〃x〃矩阵，具有两两相异的特征值PI,P”…,P“。根

据西尔维斯特展开定理，尸可以展开成级数

FJ曲Pf

(9.70)

/=1

式中《称为尸的相容矩阵或要素矩阵，且

(9.71)

矩阵耳跟尸及其〃个特征值”,有关，但是月是确定的，与k无

关。于是状态方程的解为

♦

%(b)=2耳〃口(°)(9.72)

i=l

显然只有同<1,i=l,2,，当％―8时，x(左T)才收敛，系

统才是稳定的。

由此可以得到线性离散系统的稳定判据：线性离散系统

稳定的充分必要条件是系统的Z特征方程的所有特征根

Z=P，M|<1。

特征值在Z平面上的分布与稳定性关系如图9.10所示。

图9.10线性离散系统的稳定区

例9.10设线性离散系统如图9.5所示，&=1。试判断

采样周期T=ls,3s,5s时系统的稳定性。

解由例9.8可知，系统中，当"1时，线性离散系统的

状态空间表达式为

x(kT+T)=x(AT)+

」(4)=[0出(灯)

系统的状态矩阵为

⑴当T=lsec时

0.368-0.632

0.6320.632

Z特征方程为