数学人教A版高中必修一（2019新编）2-3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第1课时）（分层作业）

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·陕西汉中·高一期末）若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（

）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞）【答案】A【分析】分和两种情况求解【详解】当时，，得，不合题意，当时，因为关于x的不等式的解集是R，所以，解得，综上，m的取值范围是（1，+∞），故选：A2．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（

）A． B．或 C． D．或【答案】A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.【详解】由二次函数图象知：有.故选：A3．（2021·全国·高一专题练习）一元二次方程的根的情况是（

）．A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程的根是、和【答案】C【分析】把方程整理为一般形式，再用判别式求解即可【详解】∵原方程可化为，∴，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．4．（2022·江苏·高一）已知不等式的解集为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.【详解】由不等式的解集知：和是方程的两根，.故选：A.5．（2022·全国·高一课时练习）若关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m满足（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】一元二次不等式的解集为，即，求解关于实数的不等式即可.【详解】解：由于关于x的一元二次不等式的解集为，所以，解得．故选：B．6．（2022·广东珠海·高一期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．，或【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由，解得，即不等式的解集为；故选：C7．（2022·全国·高一单元测试）不等式的解集为（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【分析】解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘，再利用十字相乘法，可得答案，【详解】法一：原不等式即为，即，解得，故原不等式的解集为．法二：当时，不等式不成立，排除A，C；当时，不等式不成立，排除D．故选：B．8．（2021·广东·普宁市华侨中学高一阶段练习）已知不等式的解集是，则（

）A．-10 B．-6 C．0 D．2【答案】A【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果.【详解】因为不等式的解集是,所以的两根为，则，即，所以.故选：A【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题.二、多选题9．（2021·全国·高一课前预习）下列四个不等式中，解集为的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由一元二次不等式的性质，结合各一元二次不等式的判别式、函数开口方向即可判断各选项是否为空集.【详解】A选项，，所以的解集不可能为空集；B选项，，而开口向上，所以解集为空集；C选项，的解集为，所以不为空集；D选项，当且仅当a=2时等号成立，而开口向下，所以为空集；故选：BD10．（2021·全国·高一专题练习）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（

）A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0 D．x2<0【答案】BD【分析】利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.【详解】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.三、填空题11．（2022·全国·高一单元测试）若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．【答案】【分析】由题设条件得到抛物线的图象特点，即可求得不等式的解集【详解】由已知得抛物线的开口向下，与x轴交于点，故不等式的解集为．故答案为：12．（2021·重庆复旦中学高一开学考试）已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．【答案】【分析】由二次项系数非零及两根之积小于0，可得关于m的不等式组，解之即可.【详解】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得，解得.故答案为：13．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是__________.【答案】.【分析】一元二次方程没有实数根，即根的判别式小于0.【详解】∵关于x的一元二次方程没有实数根∴∴解得：.故答案为：.14．（2022·江苏·高一）若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.【答案】3【分析】根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.【详解】由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，故.经检验满足题意故答案为：3.15．（2022·湖南衡阳·高一期末）已知，则关于的不等式的解集是________.（用区间表示）【答案】【分析】对因式分解，再根据，解一元二次不等式即可得到结果.【详解】因为，所以又，所以不等式的解集为.故答案为：.四、解答题16．（2021·浙江·高一期末）已知不等式x²−2x+5−2a0.（1）若不等式对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[4,]使得该不等式成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）a2；（2）x∈(−∞,−1]∪[3,+∞).【分析】（1）根据二次函数的性质，求出a的范围即可；（2）将问题转化为，解不等式即可．【详解】(1)∵x²−2x+5−2a0在R恒成立，∴△0，即4−4(5−2a)0，可得a2；(2)若存在实数a∈[4,]使得该不等式成立，即x²−2x+58，解得：x3或x−1，∴x∈(−∞,−1]∪[3,+∞).【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集是（

）A． B．或C． D．【答案】A【分析】由题知，，进而将不等式转化为，再解不等式即可.【详解】解：由，整理得①．又不等式的解集为，所以，且，即②．将①两边同除以得：③．将②代入③得：，解得．故选：A2．（2022·全国·高一单元测试）已知，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】参变量分离，得到在上恒成立问题.【详解】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故选：D.二、多选题3．（2022·全国·高一单元测试）不等式的解集是，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.【详解】解：因为不等式的解集是，所以，且，所以所以，，，故AC正确，D错误．因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，所以当时，，故B正确．故选：ABC．4．（2021·江苏·苏州中学高一阶段练习）关于x的不等式的解集为，则下列正确的是（

）A．B．关于x的不等式的解集为C．D．关于x的不等式的解集为【答案】ACD【解析】根据一元二次不等式解集的特点判断出的正负，然后根据解集可得到与的数量关系，据此分析各个选项是否正确.【详解】A．由已知可得且是方程的两根，A正确，B．由根与系数的关系可得：，解得，则不等式可化为：，即，所以，B错误，C．因为，C正确，D．不等式可化为：，即，解得或，D正确，故选：ACD．【点睛】结论点睛：形如的不等式的解集为或，则为一元二次方程的两个根.三、填空题5．（2022·全国·高一单元测试）“，”是假命题，则实数的取值范围为_________.【答案】【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求的范围.【详解】由题意可知，“，”的否定是真命题，即“，”是真命题，当时，，不等式显然成立，当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，综上，实数的取值范围为.故答案为：.6．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．【答案】或【分析】讨论二次函数对称轴与x=的位置关系，结合已知最大值求参数m.【详解】，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，①当，即时，当时，函数最大值为3，，解得：（舍去）；②当，即时，当时，函数最大值为3，，解得：．③当，即时，当时，函数最大值为3，，解得（舍去）或，综上所述，或.故答案为：或7．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______．【答案】【分析】由题知，且，进而转化为解不等式即可.【详解】解：由不等式的解集是，可知，且，所以，不等式可化为，解得．所以不等式的解集是.故答案为：8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，．设，．记的最小值为A，的最大值为B，则______．【答案】【分析】令，可得或，由题易知的最小值，的最大值，则可求出答案.【详解】，，令，得或．因为，，所以的最小值，的最大值，所以．故答案为：.9．（2021·全国·高一课时练习）若存在实数满足，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】先分离参数将不等式化为，再结合二次函数求最值即可.【详解】解：由题意可得，存在实数时，令，即，对称轴为：所以在单调递增故即所以实数a的取值范围为：故答案为：四、解答题10．（2022·全国·高一单元测试）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式；(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；（2），对，与分类讨论，可分别求得其解集（3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．（1）根据题意，当，即时，，不合题意；

当，即时，的解集为R，即的解集为R，即，故时，或.故

．（2），即，即，当，即时，解集为；当，即时，，，解集为或；当，即时，，，解集为．综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或.（3），即，恒成立，，设则，，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，当时，，．【点睛】本题考察二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.11．（2021·广东·化州市第三中学高一期中）已知二次函数．(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．(2)解关于的不等式（其中．【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）结合分离常数法、基本不等式求得的取值范围；（2）将原不等式转化为，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.(1)不等式即为：，当，时，可变形为：，即，又，当且仅当，即时，等号成立，，即，实数的取值范围是：；(2)不等式，即，等价于，即，

①当时，不等式整理为，解得：；当时，方程的两根为：，，②当时，可得，解不等式得：或；③当时，因为，解不等式得：；④当时，因为，不等式的解集为；⑤当时，因为，解不等式得：；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为.12．（2021·全国·高一专题练习）设a为正数，函数满足且（1）若f(1)=1，求f(x)；（2）设，若对任意实数t，总存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)对所有x3,x4∈都成立，求a的取值范围.【答案】（1），（2）【分析】（1）由题意得，且，，解方程可得，进而得到函数的解析式；（2）求得在上的最值，可得的最大值为1，则对任意的实数，总存在，使得，讨论的对称轴和区间的关系，可得的最值，解不等式可得所求范围【详解】解：（1）函数满足且，所以，且，得，因为，所以，得，所以，（2），当可得的最小值为，最大值为，所以的最大值为，所以对任意的实数，总存在，使得，设在上的最大值为，最小值为，的对称轴为直线，令，则对任意的实数，，①当时，在上递增，可得，则，此时，得，②当时，，，，所以，③当时，，，，所以，④当时，在上递减，可得，，则，此时，得，综上，的取值范围为【点睛】此题考查二次函数的解析式的求法，考查函数恒成立问题的解法，考查转化思想和分类讨论思想，考查计算能