数学人教A版高中必修一（2019新编）5-6 函数y=Asin(ωx+)（分层作业）

5.6函数y=Asin(ωx+ψ)（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）将函数图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍得到的解析式.【详解】将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍，可得到函数的图象，因为，所以．故选：C．2．（2022·河南信阳·高一期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】根据平移变换的定义判断．【详解】，因此将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：C.3．（2022·云南昭通·高一期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】由三角函数图象变换判断．【详解】，因此将函数的图象向右平移个单位．故选：D．4．（2022·全国·高一专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出平移后的函数解析式，利用对称性可得的最小值.【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数解析式为；由函数的图象关于轴对称，所以，即，因为，所以当时，取到最小值.故选：B.5．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】先将两函数转化为的形式，计算两者的差值，利用口诀“左加右减”可知如何平移.【详解】因为，，且，所以由的图像转化为需要向右平移个单位.故选：D.6．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数（）的图像的相邻的两个对称中心之间的距离为，则的值是（

）A． B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】由题意求出，再由，即可求出.【详解】因为函数（）的图像的相邻的两个对称中心之间的距离为，所以，所以，所以.故选：C.7．（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数的部分图象如图所示，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数的部分图象以及五点法作图，求出的解析式，再计算的值．【详解】解：由函数，，的部分图象知，，，解得，再由五点法作图可得，解得；，．故选：A．8．（2022·全国·高一专题练习）把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的图象变换得到，得到，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数的图象，将该图象向左平移个单位长度，得到的图象，所以，对于A中，当时，，故A错误；对于B中，当时，，故B错误；对于C中，当时，，故C错误；对于D中，当时，，故D正确．故选：D．二、多选题9．（2022·湖北宜昌·高一阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图像，则（

）A． B．C．的图像关于点对称 D．在上单调递减【答案】ABD【分析】利用函数图像先把解析式求出来，然后逐项分析即可【详解】由图像可知函数的最大值为2，最小值为，所以，，又又所以又，所以所以，故A正确，将的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得，故B选项正确，由所以的图像关于点对称，故C错误.由即所以选项D正确故选：ABD.10．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】ABC【分析】先通过部分图像求出函数解析式，通过赋值法可知AB错误；根据图像平移的左加右减原则，可知C错误；求出在上的单调区间以及最值，可知D正确.【详解】由题图可得，，故，所以，又，即，所以，又，所以，所以．当时，，故A中说法错误；当时，，故B中说法错误；将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故C中说法错误；当时，，则当，即时，单调递减，当，即时，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，所以D中说法正确．故选：ABC．三、填空题11．（2022·安徽·涡阳县第九中学高一期末）函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为______．【答案】2【分析】观察图像，利用正弦函数图像的性质求解即可.【详解】设函数的最小正周期为，由图像可知，，所以.故答案为：2.12．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）函数，的部分图象如图所示，则函数的解析式为_____________．【答案】【分析】由图可得，，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析式；【详解】解：由图可知，，所以，又，所以，所以，又函数过点，所以，所以，解得，因为，所以，所以；故答案为：13．（2022·江西·景德镇一中高一期中）己知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为______．【答案】##【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，从而得到，，，即可得到答案.【详解】，因为实数，满足，所以.所以，，解得，，，，解得，，所以，，.所以.综上：.故答案为：14．（2022·浙江杭州·高一期中）有下列说法:①函数的最小正周期是;②终边在轴上的角的集合是;③把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图像;④函数在上是减函数.其中，正确的说法是__________.（填序号）【答案】①③【分析】由余弦函数性质判断①，由角的定义判断②，由三角函数的平移变换判断③，由诱导公式和余弦函数性质判断④．【详解】①函数的最小正周期是，正确；;②终边在轴上的角的集合是，错误；;③把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度得到图象的函数解析式为，正确；④，它在上是增函数，错误．故答案为：①③．15．（2022·全国·高一单元测试）有下列说法：①函数的最小正周期是；②终边在轴上的角的集合是；③在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线有三个公共点；④把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象；⑤函数在上是减函数．其中，正确的说法是______．（填序号）【答案】①④【分析】①根据最小正周期的求解公式得到；②举出反例；③由三角函数线可判断；④根据左加右减进行平移得到解析式；⑤根据诱导公式得到，从而求出在上是增函数.【详解】对于①，的最小正周期，故①正确；对于②，当时，，角的终边在轴非负半轴上，故②错误；对于③，当时，在单位圆中，角所对的弧长即为，由三角函数线可得，当时，；同理当时，；所以当且仅当时，，所以函数的图象和直线仅有一个交点，故③错误；对于④，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，故④正确；对于⑤，，其在上为增函数，故⑤错误．故答案为：①④四、解答题16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．(1)求函数的单调递减区间及其图象的对称中心；(2)已知函数的图象经过先平移后伸缩得到的图象，试写出其变换过程．【答案】(1)单调递减区间为，，对称中心为，．(2)答案见解析【分析】（1）整体法求解三角函数的单调区间和对称中心；（2）先通过向右平移个单位长度，再进行伸缩变换得到答案.（1）令，，得，，因此函数的单调递减区间是，．令，，得，，因此函数图象的对称中心是，．（2），先将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，接着把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，最后把图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象．17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是奇函数.(1)求的值；(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到函数的图象，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函数求参数.（2）由（1）得，根据图象平移过程写出解析式.【详解】（1）因为是奇函数，所以，即.又，所以，检验符合.（2）由（1）得：.将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得到的图象.故.18．（2022·河北张家口·高一阶段练习）已知.(1)求的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求的对称轴.【答案】(1)最小正周期为，(2)【分析】（1）根据二倍角公式结合辅助角公式化简可得，进而求得周期，并代入单调递减区间求解即可；（2）根据函数图象平移的性质可得，再代入正弦函数的对称轴方程求解即可.【详解】（1），所以的最小正周期为.由，解得，所以的单调递减区间为.（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以所以函数的对称轴为，解得【能力提升】一、单选题1．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用平移求得，再由三角函数对称性即可求解【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，∵所得函数图象关于轴对称，即=，∴，∵，∴当时，的最小值为故选：C2．（2022·陕西师大附中高一期中）函数，给出下列四个命题：①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；③函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；④若，则的值域是其中，正确的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】将函数进行化简，结合三角函数的图像和性质即可求函数图像的单调区间、对称轴、平移、值域．【详解】，求函数的单调减区间：由，得，时，有在区间上是减函数，①正确；求函数的对称轴：由，得，时，是函数图像的一条对称轴，②正确；由向左平移个单位后得到，③不正确；当时，，有，所以的值域为，④不正确．故正确的是①②，正确的命题个数是2个.故选：B3．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上的零点个数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】先转化原问题转化为求两个函数的图象的交点的个数的问题，然后画出图像，确定图象的交点个数即可.【详解】函数在上零点的个数即方程在上解的个数，方程化简可得，所以方程方程的解的个数为函数与函数的图象交点的个数，其中，在同一坐标系中作出函数与函数的图象如图所示，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点，故函数在区间上的零点个数为4，故选：C．二、多选题4．（2022·浙江·高一期中）函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（

）A．B．的一个对称中心为C．函数图像向右平移个单位可得图象D．是函数的一条对称轴【答案】AB【分析】利用待定系数法分别求出，注意，从而可求出函数的解析式，再利用代入检验法结合正弦函数的对称性即可判断BD；根据平移变换的原则即可判断C.【详解】解：因为为该图像最高点，所以，又函数的图象与轴交于点，则，又，所以，则，则，所以，由图可知，所以，所以，所以，故A正确；对于B，因为，所以的一个对称中心为，故B正确；对于C，函数图像向右平移个单位可得图象，故C错误；对于D，不是最值，所以不是函数的一条对称轴，故D错误.故选：AB.5．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数，直线和点是的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（

）A．函数为偶函数 B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上为单调函数 D．函数在区间上有23个零点【答案】ABD【分析】根据三角函数的性质结合条件可得，然后根据正弦函数的性质逐项分析即得.【详解】由题可知的最小正周期为，所以，由，，，又，所以，，所以为偶函数，故A正确；因为，为一个对称中心，故B正确；当时，，所以函数区间上不单调，故C错误；由，，可得，所以，，即函数在区间上有23个零点，故D正确．故选：ABD.6．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）下列说法正确的是（

）A．若，则的范围为B．若在第一象限，则在第一、二象限C．要得到函数的图像，只需将函数向右平移个单位D．在中，若，则的形状一定是钝角三角形【答案】ACD【分析】A选项：利用不等式的性质求范围即可；B选项：根据题意将的范围表示出来，再通过的范围得到的范围，即可判断的位置；C选项：根据函数图象平移的结论平移即可；D选项：利用正切的和差公式表示出来，再分类讨论即可.【详解】A选项：因为，所以，又，，所以，所以，故A正确；B选项：因为在第一象限，所以，所以，在第一、二象限或轴正半轴上，故B错；C选项：因为，所以向右平移个单位得到，故C正确；D选项：，因为，所以，由题意知，当时，则或小于零，此时或为钝角，为钝角三角形；当时，，所以为锐角，为钝角，为钝角三角形，故D正确.故选：ACD.7．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习）函数（，，）的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（

）A．直线是函数图像的一条对称轴B．函数的图像关于点，对称C．函数的单调递增区间为，D．将函数的图像向由右平移个单位得到函数的图像【答案】BCD【分析】根据给定的函数图象结合“五点法”作图，求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】观察图象得：函数的周期，有，即，则，由得：，而，则，因此，对于A，，即直线不是函数图像的一条对称轴，A不正确；对于B，由得：，函数的图像关于点，对称，B正确；对于C，由得：，函数的单调递增区间为，，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD三、填空题8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是______________．【答案】【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间上恰有个零点得到，求得答案.【详解】由已知得：恒成立，则，，由得，由于在区间上恰有3个零点，故，则，，则,只有当时，不等式组有解，此时，故，故答案为：9．（2022·全国·高一专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若是函数的一个零点，则的最小值是______.【答案】【分析】直接利用函数的关系式变换和函数的图象的平移变换的应用求出函数，再利用函数的零点是方程的根和三角函数的性质求出的最小值.【详解】由题意，可知函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象，所以.因为是函数的一个零点，所以，即，所以，因此有或，解得或.因为，所以当时，的最小值是；当时，的最小值是.综上，的最小值是.故答案为：.10．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习）函数（，，）的部分图像如图所示，将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则__________．【答案】【分析】根据最高点求出A,周期求出，代入求出，得到，利用相位变换求出.【详解】由题图可知：，，又，所以．又，，又，所以令，得.所以，所以．故答案为：.11．（2022·湖南·长沙一中高一期末）已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则t的最小值为________．【答案】【分析】由图象可得时，函数的函数值为0，可以解出的表达式，再利用平移的知识可以得出的最小值．【详解】解：由图象可得时，函数的函数值为0，即，，，将此函数向左平移个单位得，，又为奇函数，，，的最小值是．故答案为：.12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为_________.【答案】4【分析】根据为偶函数，可得直线为函数图像的一条对称轴，进而可得，根据在区间内单调，可得，进而可求解.【详解】由于函数为偶函数，则满足，故直线为函数图像的一条对称轴，所以，，则，，又，即，解得，又，当时，在单调递增，满足要求，所以，故的最大值为4.故答案为：4四、解答题13．（2022·湖北·襄阳四中高一阶段练习）已知函数.(1)求函数在区间上的单调减区间；(2)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的性质即可得到答案；（2）先利用题意的图象变换得到，再根据的性质得到不等式即可求解【详解】（1）依题意可得，当时，，则由得，即在上单调递减，所以函数在区间上的单调递减区间是；（2）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为，于是得，因为，，又在轴右侧的第50个最大值点为，在轴左侧的第50个最大值点为，故，解得，所以.所以的取值范围.14．（2022·山东东营·高一期中）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为(1)求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程;(2)先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，对称轴方程为；(2)【分析】(1)由条件可得函数的最小正周期，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据直线函数性质解不等式求x的取值范围.【详解】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，所以，，所以，由，可得，，所以函数的单调递增区间为，由得，所以所求对称轴方程为（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，由得，所以，，所以，，所以x的取值范围为15．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知点，是函数图象上的任意两点，函数f(x)的图象关于直线x=对称，且函数f(x)的图象经过点，当时，的最小值为．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据给定的条件，结合正弦型函数的图象性质求出周期，进而求出作答.（2）由（1）的结论，利用正弦函数的单调性求解作答.（3）求出函数在给定区间上的取值集合，再分离参数求解作答.【详解】（1）由知，函数在处的函数值一个是最大值，另一个是最小值，又的最小值为，于是得函数的周期T=，即=，则，有，又函数f(x)的图象关于直线对称，因此，而，于是有，所以函数f(x)的解析式是．（2）由（1）知，，由，得，所以函数f(x)的单调递增区间为．（3）当时，，有，则，即有，因此，显然，则当时，取得最大值，从而得，所以实数m的取值范围是.16．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．(1)求函数的解析式；(2)若对于恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)，(2).【分析】（1）先根据函数图象求出的解析，再利用图象变换规律可求出的解析式；（2）由，得，从而可得，然后分，和求解即可.【详解】（1）由的图象可得，，所以，所以，得，所以，因为的图象过，所以，所以，所以，得，因为，所以，所以，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得，所以（2）由，得，所以，所以，所以，当时，恒成立，当时，则由，得，因为函数在上为增函数，所以所以，当，则由，得，因为函数在上为增函数，所以所以，综上，即实数m的取值范围为.17．（2022·山东·费县实验中学高一期末）已知函数．(1)若存在，，使得