广西壮族自治区南宁市武鸣县罗波中学高三数学文联考试题含解析

广西壮族自治区南宁市武鸣县罗波中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在透明塑料制成的正方体容器中灌进体积的水，密封后可以任意摆放，那么容器内水面形状可能是：①三角形；②梯形；③长方形；④五边形．其中正确的结果是A．①②③

B．①③④

C．②③④

D．①②③④参考答案：D2.已知集合A={x|log3x＜1}，B={y|y=3x，x≥0}，则A∩B=（）A．? B．{x|1＜x≤3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1≤x＜3}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】分别求解指数不等式与对数不等式化简集合A，B，再利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={x|log3x＜1}={x|0＜x＜3}，B={y|y=3x，x≥0}={y|y≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查指数不等式与对数不等式的解法，是基础题．3.集合的子集的个数为（

）A．4

B．8

C．16

D．无数个参考答案：

B4.设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )A.{Sn}为递减数列

B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列参考答案：B5.函数的定义域为（

）

ABCD参考答案：D略6.直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为()A．2

B．－1

C．1

D．－2参考答案：C7.已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，给出三个结论：①是周期函数；②是图象关于点对称；③是偶函数．其中正确结论的个数为A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：A略8.已知集合，则等于A．

B． C．

D．参考答案：C9.（5分）（2011?安徽）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3参考答案：B圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选B．10.若，，成等差数列，则的值等于（

）A．1

B．0或

C．

D．参考答案：D故选：D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆与直线的位置关系是__________.参考答案：相离化为直角坐标方程得：圆方程为，直线方程为，圆心到直线的距离，填相离12.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线与的位置关系是

．参考答案：垂直13.已知数列的前上，则数列

.参考答案：

由题意可得：14.若的最小值为_________.参考答案：略15.若不等式恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：

由于，则有，即，解得，故实数的取值范围是.16.数列满足且对任意的，都有，则的前项和_____.参考答案：17.已知log7[log3（log2x）]=0，则x=．参考答案：8【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算从外向内求得即可．【解答】解：∵log7[log3（log2x）]=0，∴log3（log2x）=1，∴log2x=3，∴x=8，故答案为：8．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；导数的综合应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，对a分类求解原函数的单调区间；（2）利用分析法证明，把要证的不等式转化为证明成立，即证．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由导数求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），当a=﹣1时，f′（x）=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当时，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当时，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有两根，，当x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞﹣1时，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有两根，，，当x∈（0，x2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．（2）证明：要证f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即证lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是证，即证．令g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，考查逻辑推理能力和运算能力，属难题．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面,,,点是的中点．

（1）求证：；（2）求二面角的大小．参考答案：（1）证明：

平面，,,

（2）取的中点,连结，则∥,平面,平面.取的中点,连结,则∥，,连结,则是二面角的平面角，又二面角大小为

略20.已知抛物线的焦点为，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线相交于M，N两点.（1）求抛物线C的方程；（2）证明：△ABO与△MNO的面积之比为定值.参考答案：（1）由题意知，，∴，∴抛物线的方程为.（2）证明：当直线垂直于轴时，与相似，∴.当直线与轴不垂直时，设直线AB的方程为.，联立，得，∴，且.∵，∴.综上所述，.

21.（本小题12分）已知函数(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试证当时，为“凹函数”.

参考答案：（1）由，得……2分函数为上单调函数.若函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.

………………4分令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求.…………6分（2）证明：由得

………7分

……8分而

①

………………9分又，

∴

②………10分∵

∴，∵

∴

③

……………11分由①、②、③得即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数.

………12分22.某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（Ⅰ）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可得出．（2）（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布列的计算公式及其数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为．所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数