线段中点问题

线段中点问题例1：已知线段AB长度为a，点C在AB上，M是AC的中点，N是BC的中点，求MN的长度。解：根据线段中点的定义，MC=1/2AC，NC=1/2BC。因为MN=MC+NC，所以MN=(1/2AC)+(1/2BC)=(AC+BC)/2=AB/2=a/2。例2：已知线段AB长度为10cm，点C在AB上，BC=4cm，M是AC的中点，求AM的长度。解：当C在线段AB上时，根据线段中点的定义，AM=1/2AC。因为AC+BC=AB，所以AC=AB-BC=10-4=6(cm)。所以AM=(1/2)×6=3(cm)。当C在线段AB的延长线上时，同理可得AM=7(cm)。所以线段AM的长度为3cm或7cm。练习1：点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，M、N分别是线段AC、BC的中点。(1)求MN的长度。(2)若AC+CB=k（k为常数），其他条件不变，则MN的长度为多少？练习2：已知线段AB长度为10cm，C是线段AB上的一点，AC=3cm，M是AB的中点，N是AC的中点，求MN的长度。练习3：已知线段AB长度为x，C是线段AB上的一点，BC=y（y<x），M、N分别是AB和CB的中点，求MN的长度。练习4：如图，已知B、C是线段AD上任意两点，M是AB中点，N是CD中点，若MN长度为a，BC长度为b，求AD的长度。练习5：如图，已知线段AB和CD的公共部分BD长度为11，AB=CD，线段AB、CD的中点E、F的距离为12cm，求AB、CD的长度。练习6：已知线段AB长度为23cm，C为线段AB上一点，D为线段CB的中点，求线段AC的长度。改写：已知线段AB长度为23cm，求线段AC的长度，其中C为线段AB上一点，D为线段CB的中点。练习7：在数轴上有两个点A和B，A在原点左侧到原点的距离为6，B在原点右侧到原点的距离为4，M、N分别是线段AO和BO的中点，求线段MN的长度。改写：在数轴上有两个点A和B，其中A到原点的距离为6，B到原点的距离为4，设M、N分别为线段AO和BO的中点，求线段MN的长度。角的计算：1.已知∠1和∠2互为余角，∠2和∠3互为补角，且∠1=63度，求∠3的度数。改写：已知∠1和∠2互为余角，∠2和∠3互为补角，且∠1=63度，求∠3的度数。2.已知∠A和∠B互为补角，并且∠B的一半比∠A小30度，则∠A和∠B的度数分别为多少。改写：已知∠A和∠B互为补角，并且∠B的一半比∠A小30度，求∠A和∠B的度数。3.北京时间6点10分时，时针和分针的夹角为多少度？北京时间4点25分时，时针与分针所成的角的度数为多少度？改写：北京时间6点10分时，求时针和分针的夹角度数；北京时间4点25分时，求时针与分针所成角的度数。4.如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，且∠DOE=1/3∠BOD，∠COE=72°，求∠EOB的度数。改写：如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，且∠DOE=1/3∠BOD，求∠EOB的度数。5.如图，已知∠AOB是∠AOC的余角，∠AOD是∠AOC的补角，且BOC1/2BOD，求∠BOD、∠AOC的度数。改写：如图所示，已知∠AOB是∠AOC的余角，∠AOD是∠AOC的补角，且BOC1/2BOD，求∠BOD、∠AOC的度数。6.一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC的度数。改写：一条射线OA，从点O引两条射线OB、OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC的度数。7.已知∠AOB=100°，∠BOC=20°，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。改写：已知∠AOB=100°，∠BOC=20°，设OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。8.已知如图所示，∠BOC为∠AOC内的一个锐角，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC。（1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON的度数；（2）若∠AOB=，∠BOC=30°，求∠MON的度数；（3）若∠AOB=90°，∠BOC=，还能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。（4）从前三问的结果你发现了什么规律？改写：已知如图所示，∠BOC为∠AOC内的一个锐角，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC。（1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON的度数；（2）若∠AOB=，∠BOC=30°，求∠MON的度数；（3）若∠AOB=90°，∠BOC=，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。（4）从前三问的结果你发现了什么规律？9.如图所示，A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC=4，AB=12，（1）写出数轴上点A、B表示的数；（2）动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CNCQ，设运动时间为t(t0)秒。改写：如图所示，A、B、C是数轴上三点，其中点C表示的数为6，BC=4，AB=12，（1）写出数轴上点A、B表示的数；（2）动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设M为AP的中点，N在线段CQ上，且CNCQ，运动时间为t(t0)秒。求线段MN的长度。O是直线AB上的一点，且∠COD是直角，OE平分∠BOC。现给出以下问题：（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数。（2）在如1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）。（3）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置。解：（1）根据题意，∠COD为直角，OE平分∠BOC，因此∠COE=45°。又∠AOC=40°，因此∠BOC=80°。根据角平分线定理，∠DOE=1/2∠BOC=40°。（2）同理，∠DOE=1/2∠BOC=1/2(180°-∠AOC)=90°-1/2∠AOC。（3）如图2所示，将∠COD按顺时针方向旋转，使其成为∠EOB。此时，∠BOE=∠COE=45°，∠BOC=90°，∠AOC=α。根据角平分线定理，∠DOE=1/2∠BOC=45°。因此，无论∠COD旋转到何处，∠DOE始终为45°。在此基础上，我们可以解决以下问题：（1）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：2∠AOF+∠BOE=(∠AOC-∠AOF)，试求∠DOE的度数。解：根据题意，∠AOF+∠COE=45°，2∠AOF+∠BOE=∠AOC-∠AOF，代入∠BOE=∠COE，得到3∠AOF+45°=∠AOC，即∠AOF=1/3(∠AOC-45°)。根据角平分线定理，∠DOE=1/2∠BOC=1/2(180°-∠AOC)=90°-1/2∠AOC。代入∠AOF的表达式，得到∠DOE=75°-1/6∠AOC。（2）求t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点。解