空间圆弧拟合鲁棒优化方法

空间圆弧拟合鲁棒优化方法

在测量圆截面时，空间圆截面的调整是一个重要的一步。传统的空间圆弧拟合方法可以分为3种:第1种是将三维坐标点投影到该点所在的平面,将三维问题转化为二维问题,进而在二维平面上进行圆弧拟合并求得二维平面上的圆弧圆心坐标和半径,最后通过投影变换反算出空间圆的圆心坐标和半径圆弧的拟合多以二维问题进行,空间圆弧拟合方法较少,且传统的空间圆弧拟合方法存在鲁棒性差、拟合精度易受噪声影响等缺点。Sung等人提出利用迭代的方法来增强空间圆弧拟合的鲁棒性及抗噪性,但该方法计算量大,实用性较低1拉格朗日乘数法的空间圆的调整1.1拉格朗日乘数法拉格朗日乘子法(Lagrangemultipliermethod)又称为拉格朗日乘数法,用来求解函数f(x关于单约束条件下二元函数的极值问题针对z=f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的极值问题,其中f与φ在区域D上连续可微,若(x式中:L1.2建立空间条件方程传统方法并非直接对空间圆弧进行拟合,其拟合精度易受噪声影响且鲁棒性差。因此,本文拟在拉格朗日乘子法的基础上,基于平面条件约束建立目标函数,进而推导出空间圆弧拟合方程。基于拉格朗日乘子法的空间圆弧拟合步骤如下:1)建立空间圆方程。首先,建立三维空间圆方程:式中:Ax+By+Cz+D=0表示一个法向量为(A,B,C)的平面方程;(x-x然后,通过三维数据点建立空间平面方程:式中:(x根据式(3),利用最小二乘法拟合得到平面方程的系数A、B、C和D,进而可得出空间圆所在空间的平面方程。将全部点云数据(x2)构建Lagrange目标函数。由解析几何知识可得,投影点(x′进而根据极值条件建立方程组:联立方程进行求解。在解方程组过程中假设式(7)成立:然后消去多项式中的高次项,从而获得计算圆心坐标与半径的参数方程,如式(8)所示:式中:3)求解圆心和半径。将式(4)中的投影点(x′2基于omsmsenconsensensensensus算法的空间圆弧拟合优化方法本文将利用RANSAC(randomsampleconsensus,随机抽样一致)算法对上述空间圆弧拟合方法的拟合精度进行提升。2.1ransac算法描述RANSAC算法于1981年由Fischler和Bolles率先提出,其本质是带有自适应去除干扰能力的最小二乘法。RANSAC算法能够从异常的噪声点中提取有效的空间圆弧数学模型RANSAC算法有以下基本假设:1)局内点为正确的并且符合给定数学模型的数据;2)噪声点和局外点均为不符合该数学模型的数据,而局外点一般产生于错误的数据假设或者错误的测量方法等情况;3)排除局内点和局外点,余下的数据都属于噪声点。RANSAC算法的输入是一组包含局内点、局外点和噪声点的样本数据,一个给定的空间圆弧数学模型和一些预设的参数阈值。首先假设样本数据中的一个随机子集为局内点,然后通过相关方法验证及排除,最后确定最优模型。RANSAC算法的具体步骤:1)用假设的局内点估计出一个模型,即可以用这些局内点解出上述数学模型的所有未知参数;2)验证样本数据中其他数据是否满足步骤1)中的模型,如果满足,则认为它是局内点;3)如果有足够多的局内点支持估计的模型,那么估计的模型就是符合要求的;4)用步骤2)中得到的局内点集合重新估计模型,因为随着后续局内点的加入,步骤1)中的估计模型已经不是最优模型;5)利用上述步骤,找到一个拥有最多局内点支撑的空间圆弧数学模型。由上述步骤得到的数学模型即为通过RANSAC算法提取的最优模型,该模型拥有最多的局内点。RANSAC算法的缺点在于它的迭代次数没有上限,从而导致计算量大。但如果设置的迭代次数过少,可能得不到最优的模型,甚至可能得到错误的模型。RANSAC算法的另一个缺点是它需要设定相关参数的阈值,不同的阈值设置可能会得到截然不同的结果。一个RANSAC程序只能计算出一个模型。2.2确定最优模型的方法由于RANSAC算法稳定性较高,且能够剔除错误样本点,故将该算法应用到空间圆弧拟合的点云筛选及优化中。设初始点为(x1)首先随机从样本点中取3个点,然后进行空间圆拟合。参考上述的方法,得到平面方程系数A、B、C和D,空间圆的圆心坐标及半径。2)求出初始点集中所有点到拟合的空间平面的距离,以及点到圆心(x3)分别设置点到平面距离的阈值T4)重复上述步骤,统计出可靠模型的数量,直到达到最大循环次数m,最后确定最优模型。由文献式中:置信度η3实验结果及分析如图1所示,取直径为170mm,直径偏差范围为0~0.8mm的带轮进行实验。对带轮边缘轮廓进行测量,通过双目视觉圆弧轮廓特征提取和匹配之后,得出边缘外轮廓点的空间三维坐标。图2所示为求得的带轮边缘外轮廓点云图及空间圆弧拟合图,共获得266个边缘外轮廓点的三维坐标。利用本文拟合优化方法,对上述点云进行8次拟合,平均迭代数为6895次。拟合结果如表1所示。从表1的拟合结果可以发现,带轮边缘外轮廓拟合实验中,直径的绝对误差平均值为0.661mm,在偏差允许范围内,说明本文拟合优化方法针对普通空间圆弧拟合具有一定有效性及实用性。同时本文对复杂圆弧点云进行了拟合。取直径为38mm,直径偏差范围为0~0.5mm的半段圆弧工件进行实验,如图3(a)所示为半段圆弧工件边缘外轮廓点云图,共包含98个边缘轮廓点。复杂圆弧点云中,噪声点较多且存在误差较大的点,同时点云并没有覆盖整个圆弧。如图3(b)所示为半段圆弧工件边缘外轮廓空间圆弧拟合图像。利用本文拟合优化法,对上述点云进行8次拟合,平均迭代数为3026次,拟合结果如表2所示。从表2的结果可以发现,半段圆弧拟合直径的绝对误差平均值为0.402mm,说明本文拟合优化方法针对复杂空间圆弧拟合也具有一定的可行性。实验结果表明:普通圆弧点云拟合的相对精度在0.003左右,复杂圆弧点云拟合的相对精度在0.01左右,这说明基于拉格朗日乘子法的空间圆弧拟合优化方法有较强的理论研究意义和工程实践价值。为验证本文提出的空间圆弧拟合优化方法的准确性,对图2中的数据点云,用基于拉格朗日乘子法的空间圆弧拟合方法进行拟合。分别进行2组各5次拟合实验,其中一组应用了RANSAN算法剔除错误点,拟合结果如表3所示,分析结果如图4所示。同时,将本文优化方法与传统空间圆弧拟合方法进行比较,拟合结果如表4所示,分析结果如图5所示。分析表3和图4可以得出,应用了RANSAC算法后,拟合结果与理论值更加接近,且稳定性亦有所提高,验证了本文方法的准确性。从表4及图5中可以看出,运用本文方法与传统方法拟合耗时相当,但本文方法的鲁棒性较强且拟合精度更高。4基于ransac算法的空间圆拟合优化方法本文提出了一种鲁棒性较强的空间圆弧拟合方法。首先,在拉格朗日乘子法的基础上,建立平面条件约束目标函数,从而