理学高等数学9二重积分

理学高等数学9二重积分第1页/共125页１．曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体第2页/共125页一、问题的提出播放第3页/共125页求曲顶柱体的体积采用“分割、求和取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，用若干个小平

顶柱体体积之

和近似表示曲

顶柱体的体积，曲顶柱体的体积第4页/共125页２平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，

所有小块质量之和近似等于薄片总质量第5页/共125页二、二重积分的概念第6页/共125页积分区域被积函数积分变量积分和面积元素

被积表达式第7页/共125页对第8页/共125页积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则面积元素为故二重积分可写为D第9页/共125页（二重积分与定积分有类似的性质）性质１

当 为常数时，性质２三、二重积分的性质第10页/共125页性质３对区域具有可加性性质４若 为D的面积，性质５

若在D上则有特殊地第11页/共125页性质６（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）性质７第12页/共125页解第13页/共125页解第14页/共125页解第15页/共125页解第16页/共125页二重积分的定义（和式的极限）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）二重积分的性质第17页/共125页四、小结思考题第18页/共125页将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．第19页/共125页思考题解答练习题第20页/共125页第21页/共125页第22页/共125页练习题答案第23页/共125页求曲顶柱体的体积采用“分割、求和取极限”的方法，如下动画演示．第24页/共125页求曲顶柱体的体积采用“分割、求和取极限”的方法，如下动画演示．第25页/共125页求曲顶柱体的体积采用“分割、求和取极限”的方法，如下动画演示．第26页/共125页求曲顶柱体的体积采用“分割、求和取极限”的方法，如下动画演示．第27页/共125页求曲顶柱体的体积采用“分割、求和取极限”的方法，如下动画演示．第28页/共125页求曲顶柱体的体积采用“分割、求和取极限”的方法，如下动画演示．第29页/共125页如果积分区域为：［X－型］其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分第30页/共125页应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,第31页/共125页得如果积分区域为：［Y－型］第32页/共125页X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式第33页/共125页解 积分区域如图第34页/共125页解 积分区域如图第35页/共125页解原式第36页/共125页解第37页/共125页解第38页/共125页解第39页/共125页解曲面围成的立体如图.第40页/共125页第41页/共125页二、小结二重积分在直角坐标下的计算公式［X－型］［Y－型］（在积分中要正确选择积分次序）第42页/共125页思考题第43页/共125页思考题解答第44页/共125页第45页/共125页练习题第46页/共125页第47页/共125页第48页/共125页第49页/共125页练习题答案第50页/共125页第51页/共125页一、利用极坐标系计算二重积分第52页/共125页二重积分化为二次积分的公式（１）第53页/共125页区域特征如图区域特征如图第54页/共125页二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图第55页/共125页极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图第56页/共125页解第57页/共125页解第58页/共125页解第59页/共125页第60页/共125页第61页/共125页解第62页/共125页解第63页/共125页解第64页/共125页第65页/共125页二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结第66页/共125页思考题第67页/共125页思考题解答第68页/共125页练习题第69页/共125页第70页/共125页第71页/共125页练习题答案第72页/共125页第73页/共125页一、二重积分的换元法第74页/共125页第75页/共125页例1解第76页/共125页第77页/共125页例2解第78页/共125页第79页/共125页二、小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．第80页/共125页思考题第81页/共125页思考题解答第82页/共125页第83页/共125页练习

题第84页/共125页练习题答案第85页/共125页一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.

若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中

在 内．这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为第86页/共125页二、曲面的面积卫星第87页/共125页１．设曲面的方程为：如图，第88页/共125页曲面S的面积元素曲面面积公式为：第89页/共125页同理可得２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：第90页/共125页解第91页/共125页第92页/共125页解解方程组得两曲面的交线为圆周在 平面上的投影域为第93页/共125页第94页/共125页几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）第95页/共125页六、小结思考题第96页/共125页薄片关于 轴对称思考题解答第97页/共125页定

义几何意义性

质计算法应

用二重积分第98页/共125页—

主要内容1、二重积分的定义第99页/共125页２、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．第100页/共125页性质１当 为常数时，性质２３、二重积分的性质第101页/共125页性质３对区域具有可加性性质４若 为D的面积若在D上，性质５特殊地第102页/共125页性质６性质７第103页/共125页（二重积分中值定理）４、二重积分的计算（１）直角坐标系下［X－型］X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第104页/共125页Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］第105页/共125页（２）极坐标系下第106页/共125页第107页/共125页5、二重积分的应用(1)

体积(2)

曲面积设S曲面的方程为：曲面S的面积为第108页/共125页二 典型例题第109页/共125页例1解

X-型例2解

先去掉绝对值符号，如图第110页/共125页例3解第111页/共125页第112页/共125页例4解第113页/共125页例5解第114页/共125页第115页/共125页例6证第116页/共125页测

验

题第117页/共125页第118页/共125页第119页/共125页第120页/共125页三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:、

f

(x

,

y

)dx

；0

0、0第121页/共125页1

2

yòdy

ò3

3

-

yf

(x

,

y

)dx

+

òdy

ò1

01

1+òdx

ò1

-

x2f

(

x

,

y

)dy

；3、òòxq00ad

qf

(r

cos

q

,r

sin

q

)rdr

.x

y

z六、求平面

+

+

=

1

被三坐标面所割出的有限部分a

b

c的面积

.七、

设

f