2016重庆中考数学第25题专题训练

2016重庆中考数学第25题专题训练四边形ABCD是正方形，点E在边BC上（不与端点B、C重合），点F在对角线AC上，且EF⊥AC，连接AE，点G是AE的中点，连接DF、FG。（1）已知AB=72，BE=2，求FG的长度。（2）证明DF=2FG。（3）将图1中的△CEF绕点C按顺时针方向旋转，使边CF的顶点F恰好在正方形ABCD的边BC上（如图2），连接AE，点G仍是AE的中点。猜想BF与FG之间的数量关系，并证明你的猜想。图1如图2重庆一中初2016级2015-2016学年（下）半期数学试题在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD，连接BE。（1）如图1，若∠ADB=120°，AC=3，求DE的长度。（2）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，证明CE=2EF。（3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，证明：AE²+11BE²=AD²。图1图2图3重庆八中初2016级九年级下学期强化训练一已知，在△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，△AEF与正方形ABCD有公共顶点A，连接CF，G为GF的中点，连接EG、DG。（1）如图1，当点E在AC上，点F在AD上时，请猜想线段EG、DG的数量关系和位置关系，并证明你的结论。（2）如图2，若将△AEF绕点A按顺时针方向旋转45°，使点E在AD上，其他条件不变，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。如图1如图2如图①，已知正方形ABCD和正方形GECF，点M是线段AG的中点。（1）探究MF与MB之间的数量关系和位置关系。（2）将图①中的正方形GECF绕C点顺时针旋转90°，如图②，连接BG，P为BG的中点，若AB=5，CF=2，求PC的长度。图1图28.在图1中，将含有45°角的直角三角板ECF和正方形ABCD放在一起，使得三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E和F分别位于正方形的边CB和CD上，然后连接AF，取AF的中点M和EF的中点N，最后连接MD和MN。（1）连接AE，证明△AEF是等腰三角形；（2）在（1）的条件下，判断MD和MN的数量关系和位置关系，得出结论：结论1是DM=MN，结论2是DM和MN相互垂直；（3）在图2中，将直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，判断（2）中的两个结论是否仍然成立。若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由。9.在图1中，等腰直角三角形Rt△CEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，CF大于BC，取AE的中点M。（1）证明MD=MF且MD垂直于MF；（2）若等腰直角三角形Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度，其他条件不变，判断（1）中的结论是否仍然成立。若成立，请证明；若不成立，请说明理由。10.在图1中，正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，等腰直角三角形△BEG的直角顶点是G，且∠BEG=90°，点F是DG的中点，连接EF和CF。（1）证明EF=CF；（2）证明EF垂直于CF；（3）在图2中，等腰直角三角形△BEG绕点B顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断△CEF的形状，并证明你的结论。11.针对图①中的问题，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A、B、E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG和PC。已知∠ABC=120°。小明同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。请你参考小明的思路，探究并解决下列问题：（1）直接写出上述问题中线段PG与PC的位置关系以及∠PCG的大小；（2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图②）。你在（1）中得到的两个结论是否仍然成立？请写出你的猜想并加以证明。12.在正方形ABCD中，点E和F分别位于边BC和CD上，且∠EAF=∠CEF=45°。(1)将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①）。证明：△AEG≌△AEF。(2)若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M和N（如图②），证明：EF²=ME²+NF²。(3)将正方形改为长和宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请直接写出线段EF、BE和DF之间的数量关系。13.在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G。(1)猜想并证明线段GF与GC的数量关系。(2)若将图1中的正方形改成矩形，其它条件不变，如图2，那么线段GF与GC之间的数量关系是否改变？请证明你的结论。(3)若将图1中的正方形改成平行四边形，其它条件不变，如图3，那么线段GF与GC之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论。14.已知正方形ABCD和等腰直角△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG。(1)探索EG和CG的数量关系和位置关系并证明。(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问(1)中的结论是否仍然成立。证明你的结论。(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论。因为EF=CF，∠EFG=∠CFB，FG=BF，∴DE=CG，DF=FG=BF，∴AD=CG，∴BD=BG，又∵∠ABC=90°，∴DF=BF且DF⊥BF．因此，DF=BF且DF⊥BF的结论仍然成立。（4分）（1）证明∠EAF=45°．连接AF，BE，DF，CG，显然△ABF和△DFC全等，△AFC和△BEC全等，得到以下等式：AB=DC=BF+AF=CE+BEBE+DF=EF=AF+CE因此，AB=2BF，BE+DF=AB/2=BF，代入△BEF中，得到：EF=2BF，BE=BF，DF=BF又因为BF=DF，所以△BDF为等腰直角三角形，得到∠FBD=45°，同理可得∠ABF=45°，因此∠EAF=90°-∠ABF-∠FBD=45°．（2）证明BC-CF=CG/2．由于△BEC和△AFC全等，得到∠EFC=∠FAC，因此∠EFG=∠FGC=45°，又因为∠ECF=90°，所以△EFC为等腰直角三角形，得到CF=EF/√2=BF√2/2，因此BC-CF=AB/2-BF√2/2=BF/2=CG/2．（3）设EG=x，由勾股定理得到：AB=4=BE+AE=x√2+2x解得x=2-√2，因此EG=x√2=4-2√2．证明：延长CB至G，使BG=FD，连接AG，如图1。因为四边形ABCD为正方形，所以AB=AD，∠ABC=∠D=90°。在△ABG和△ADF中，有AB＝AD，∠ABG＝∠D，BG＝DF，又因为F（，所以△ABG≌△ADF（SAS），从而得到AG=AF，∠BAG=∠DAF。因为EF=BE+DF，所以EF=EG。在△AEG和△AEF中，有AE＝AE，AG＝AF，EG＝EF，所以△AEG≌△AEF（SSS），从而得到∠EAG=∠EAF。由于∠BAG=∠DAF，所以∠EAF=∠DAF+∠ABE，而∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，所以∠EAF=45°。证明：过点G作GH⊥DC于H，如图2。由（1）中∠AEB=∠AEF，因为FG平分∠EFC，所以∠EFG=∠CFG。由于∠BEF=∠EFC+∠ECF，所以2∠AEB=2∠EFC+90°，即∠AEB=∠EFC+45°。又因为∠AEB=∠EFG+∠EGF，所以∠EGF=45°。由于∠GAF=45°，所以△FAG为等腰直角三角形，从而得到FA=FG，∠AFG=90°。因为∠AFD+∠HFG=90°，而∠AFD+∠DAF=90°，所以∠DAF=∠HFG。在△ADF和△FHG中，有∠D＝∠FHG，∠DAF＝∠HFG，AF＝FG，从而得到△ADF≌△FHG（AAS），从而得到AD=FH，DF=GH。又因为AD=DC，所以DC=FH，从而得到DF=CH=GH。因此，△CGH为等腰直角三角形，所以CH=2/√2GC。所以DC-CF=DF=CH=2/√2GC，所以BC-CF=2/√2GC。解：作GQ⊥BC于Q，GH⊥DC于H，如图3。因为F是DC的中点，AB=4，所以DF=CF=2。由（2）得CH=GH=2，所以CQ=GQ=2，所以BQ=2。设BE=x，则EF=BE+DF=x+2，EC=4-x。在△CEF中，因为CE²+CF²=EF²，所以（4-x）²+2²=(x+2)²，解得x=4/3。所以EQ=BQ-BE=2-4/3=2/3。在Rt△GQE中，EG=√(GQ²+EQ²)=√(2²+(2/3)²)=2√10/3。如图，矩形ABCD中，以AD、AB为边向内作等边三角形ADE和ABF，交于点G，延长DF、BE。（1）因为ADE和ABF都是等边三角形，所以AF=AB，AD=AE，∠DAE=∠FAB=60°。因为ABCD是矩形，所以∠DAB=90°。所以∠DAF=∠EAB=30°。所以△ADF≌△AEB。所以DF=BE。（2）猜想∠EGF的度数为120°，因为∠EGF=∠DFB-∠FBC=∠AFB+∠AFD-∠FBG=∠AFB+∠ABE-∠FBG=60°+60°=120°。（3）当点G位于对角线AC上时：①因为AD=BC，所以∠DAB=∠ABC。又因为∠DAB=90°，所以△DAB≌△ABC。所以AD=BC，AB=DC。因为ADE和ABF都是等边三角形，所以AF=AB，AD=AE。所以△ADF≌△AEB。所以DF=BE。因为DG=GC，所以△DGF≌△CGE。所以∠DGA=∠BGA。②因为ADE和ABF都是等边三角形，所以AF=AB，AD=AE。所以△ADF≌△AEB。所以DF=BE。又因为DG=GC，所以△DGF≌△CGE。所以GF