线性空间定义课件

第三章线性空间

3.1线性空间的定义

3.2线性空间基与维数

3.3线性映射与线性变换

3.4特征向量与矩阵的对角化第三章线性空间3.1线性空间的定义

3.1线性空间的定义一线性空间定义二线性空间例子三线性空间的子空间3.1线性空间的定义一线性空间定义二设V是一个非空集合，在V上任意两元素元运算+满足如下性质：交换律有结合律有使得对任意对任意存在使得1）2）3）存在4）一线性空间定义定义1对任意的对任意的有定义运算并记为且设R为实数域，对V中的任意元素及R中的任意元素k定义运算并记为且运算

满足如下性质：设V是一个非空集合，在V上任意两元素元运算+满足如下”

“1律”5）结合律6）都有7）分配律都有8）分配律都有则称V为R上的一个线性空间，简称为实线性空间，线性空间中的元素称为向量。对任意的对任意的对任意的运算+称为加法运算，称为数乘运算，它们统称为线性运算。称为零向量，若则称为的负向量，并把的负向量记为。”“1律”5）结合律6）都有7）分配律都有8）分配律都有则注（1）零向量是唯一；设也是零向量，则由零向量可得设都是的负向量，则（3）由负向量我们可以定义向量间的减法“-”：（2）负向量是唯一的；注（1）零向量是唯一；设也是零向量，则由零向量（4）对数零及任意向量有（5）若数对有则必有（6）

思考是否存在只有一个向量的线性空间？若存在只有一个向量的线性空间------这唯一的会是谁？称这样的空间为零空间。存在----这唯一的向量不是别的只能是零向量，（4）对数零及任意向量有（5）若数对有则必有（6）思（4）对数零及任意向量有（5）（6）称这样的空间为零空间。进一步思考实向量空间的向量个数。

思考是否存在一个向量的实线性空间？存在----这唯一的向量不是别的只能是零向量，要么一个（零空间），要么无数个（非零空间）。（4）对数零及任意向量有（5）（6）称这样的空间为零空（7）若实线性空间不是零空间，（零空间），则实线性空间必要无数个向量。设实线性空间V不是零空间，则存在非零向量对不同实数必有（若这意味着导致矛盾）。对实数当实数遍历所有实数时在中产生无数个向量。综上所述对于实线性空间----要么只有一个向量要么无数个向量（非零空间）。（7）若实线性空间不是零空间，（零空间），则实线性空间必要（8）定义中的实数域可以是其它域如复数域、有限域,相应地称V为复数域、有限域上的线性空间。本书不作声明，都是指实数域上线性空间。简称线性空间。不过本书关于实数域上线性空间大部分理论对于一般域上线性空间也成立！（8）定义中的实数域可以是其它域如复数域、有限域,相应地称二线性空间例子例1表示全体n维实向量形成的集合，即关于n维实向量加法和数乘是线性空间。即对二线性空间例子例1表示全体n维实向量形成的集合，显然在零向量向量的负向量注是最重要的实线性空间。类似有复线性空间显然在零向量向量的负向量注是最重要的实线性空间。例2设是复数集，则复数集关于复数的加法和实数乘复数为一个实线性空间。其中则在实线性空间中零向量为数字0；的负向量例2设是复数集，则复数集关于复数的加法和实数乘复数为一个实例3阶实矩阵全体关于矩阵线性运算是一个线性空间(实矩阵空间）。特别的阶实方阵全体关于矩阵线性运算是一个线性空间。例3阶实矩阵全体关于矩阵线性运算是一个线性空间(实矩阵空间中的零向量为零矩阵。向量的负向量注是实矩阵空间中的零向量为零矩阵。向量的负向量注是实矩阵空间

例4定义在集合实值函数全体记为对定义则关于“+”与成为一个线性空间(函数空间）。在函数空间零向量为常值函数0，即对任意有向量的负向量是例4定义在集合实值函数全体记为对定义则关于“+”与成为一个例5实系数多项式全体记为则关于多项式的加法于数乘多项式成为一个线性空间.不妨假设中零向量为零多项式向量的负向量例5实系数多项式全体记为则关于多项式的加法于数乘多项式成为例6设为V为空间里有向线段全体形成的集合有向线段定义+：定义数乘长度是长度的倍。方向是当时与相同;当时与相反。空间的有向线段集V关于加法数乘是一个线性空间V中的零向量为零线段（长对为零的线段）的负向量例6设为V为空间里有向线段全体形成的集合有向线段定义+：定设V是一个线性空间，V的非空子集W关于V的三线性空间的子空间定义2加法与数乘成为一个线性空间，则称W是线性空间V的一个线性子空间，（简称子空间）。注（1）子空间本身就是一个线性空间。为子空间是它在一个更大的线性空间里，之所以称其而且两者线性运算一样。（2）任何线性空间V都有子空间V和（零子空间），它两成为V的平凡子空间。三线性空间的子空间设V是一个线性空间，V的非空子集W关于V的三线性线性空间V任意子集W未必是V的子空间。

例线性空间的子集不是的子空间。（为什么？）思考线性空间的一个子集不含零向量，这个子集是否有可能成为子空间。线性空间V任意子集W未必是V的子空间。例线性空间的子集不定理1线性空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当1）对任意的有2）对任意的有注（1）线性空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当对加法与数乘封闭。（2）若则W一定不是V的子空间（为什么？）。推论1线性空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当对任意的有推论1*线性空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当对任意的有定理1线性空间V的非空子集W是V的子空间当且仅当1）对任意例7设S是n元齐次线性方程组解向量集，即其中为方程组的系数矩阵。显然是的非空子集，且有对任意即对任意有即定理2n元齐次线性方程组解向量集是的子空间。思考n元非齐次线性方程组解向量集是否是的子空间。例7设S是n元齐次线性方程组解向量集，即其中为方程组的系数例9阶上（下）三角方阵全体是思考的一个非平凡线性子空间。记该子空间为（1）请举出一的个非平凡线性子空间，这样的子空间是的一个非平凡线性子空间吗？（2）一般地，若是的一个（非平凡）子空间，是的一个（非平凡）子空间,那么是否是的一个（非平凡）子空间？例8复数集关于复数的加法与实数乘复数成实线性空间，的真子集实数集是的一个非平凡线性子空间。例9阶上（下）三角方阵全体是思考的一个非平凡线性子空间。记例10定义在区间若实值函数全体，我们前面知道它关于函数的加法与常数乘函数形成线性空间。用表示定义在区间连续实值函数全体；表示定义在区间可导实值函数全体。则是的一个非平凡线性子空间；是的一个非平凡线性子空间；是的一个非平