能带理论与半导体课件

中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina能带理论与半导体（I）中国人民大学理学院化学系能带理论与半导体（I）1中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina

电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用能带理论的基本出发点:

固体中的电子可以在整个固体中运动中国人民大学理学院化学系电子在运动过程中要受晶格原子势场的2中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChinaBorn－Oppenheimer绝热近似：所有原子核都周期性

地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子

的碰撞

能带理论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带理论。能带理论的两个基本假设：

Hatree－Fock平均场近似：忽略电子与电子间的相互

作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用中国人民大学理学院化学系Born－Oppenheimer3中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina一、周期场模型周期场模型：在理想完整晶体中，所有原子实都周期

性地静止排列在其平衡位置上；每一个

电子都处在除其自身外其他电子的平均

势场和原子实所组成的周期场中运动二、Bloch定理（1928年）在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为中国人民大学理学院化学系一、周期场模型周期场模型：在理想完整4中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChinaRnrr+Rn周期性势场格矢——Bloch函数方程的解为：是以格矢为周期的周期函数中国人民大学理学院化学系Rnrr+Rn周期性势场格矢——B5中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina（

＝1,2,3）

：晶格的三个基矢定义一个平移算符T

，使得对于任意函数

有因为f(r)是任意函数，所以，T

T

－T

T

=0中国人民大学理学院化学系（＝1,2,3）：晶格的三6中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina因为f(r)是任意函数，所以，T

与H对易T

和H有共同本征态中国人民大学理学院化学系因为f(r)是任意函数，所以，T与7中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina（设为非简并）设(r)为T

和H的共同本征态

：平移算符T

的本征值引入周期性边界条件：晶体的总原胞数：N＝N1N2N3设N

是晶体沿基矢

（＝1，2，3）方向的原胞数，中国人民大学理学院化学系（设为非简并）设(r)为T和H的8中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina周期性边界条件：引入矢量h

＝整数，＝1,2,3中国人民大学理学院化学系周期性边界条件：引入矢量h＝整数，9中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina定义一个新函数：中国人民大学理学院化学系定义一个新函数：10中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina是以格矢

为周期的周期函数几点讨论1.关于布里渊区

波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数，其物理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化

不同的波矢量k对应于不同的平移算符本征值，电子波函数在原胞间的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态中国人民大学理学院化学系是以格矢为周期的周期函数11中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina

如果两个波矢量

和

相差一个倒格矢

，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同

＝1,2,3对于

：对于：

波矢量

和

所描述的电子在晶体中的运动状态相同通常将

取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中国人民大学理学院化学系如果两个波矢量12中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina

简约波矢：

限制在简约区中取值

扩展波矢：

在整个

空间中取值每一个量子态

在

空间中所占的体积:在

空间中，波矢

的分布密度：中国人民大学理学院化学系简约波矢：限制在简约区中取13中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina在简约区中，波矢

的取值总数为扩展布里渊区变换到第一布里渊区简约布里渊区-2p/a2p/a中国人民大学理学院化学系在简约区中，波矢的取值总数为14X射线衍射劳厄条件散射前后波矢的改变为倒格矢时，散射后才能观察到相长干涉中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChinaX射线衍射劳厄条件中国人民大学理学院化学系15|V1||V2|

k

状态在布里渊边界的布拉格反射自由运动k状态驻波导致的能级劈裂周期性势场中自由电子的布拉格反射形成禁带中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina|V1||V2|k状态在布里渊边界的布拉格反射自由运动k16中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina体心立方的基矢为实空间Wigner-Seitz对称晶胞中国人民大学理学院化学系体心立方的基矢为实空间Wigner-17中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina体心立方的第一布里渊区，正十二面体倒格子空间中国人民大学理学院化学系体心立方的第一布里渊区，正十二面体倒18中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina面心立方的基矢为实空间Wigner-Seitz对称晶胞中国人民大学理学院化学系面心立方的基矢为实空间Wigner-19中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina面心立方的第一布里渊区，截角八面体倒格子空间中国人民大学理学院化学系面心立方的第一布里渊区，截角八面体倒20中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina2.Bloch函数的性质Bloch函数:

周期函数的作用则是对这个波的振幅进行

调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振

荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性

行进波因子表明电子可以在整个晶体中运动

的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面

波的形式中国人民大学理学院化学系2.Bloch函数的性质Bloch21中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina晶体中电子：自由电子：孤立原子：

如果晶体中电子的运动完全自由，

在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合

若电子完全被束缚在某个原子周围，

由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有的形式。周期函数反映了电子与晶格相互作用的强弱中国人民大学理学院化学系晶体中电子：自由电子：孤立原子：22中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina中国人民大学理学院化学系23中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina一、固体中电的传导1.1能带和键模型SiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSi+e-Eg+e-中国人民大学理学院化学系一、固体中电的传导1.1能带和键模24中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina半导体导带和价带的E-k关系图:(a)T=0K(b)T>0K(a)(b)中国人民大学理学院化学系半导体导带和价带的E-k关系图:(25中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.2漂移电流电流是由电荷的定向运动产生的对体密度为，平均漂移速度为的正电荷，漂移电流密度为：如有外力作用在粒子上，粒子获得的能量为：外力作用下E-k关系图中电子的不对称分布导带中电子运动产生的漂移电流密度为：中国人民大学理学院化学系1.2漂移电流电流是由电荷的定向运26中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.2电子的有效质量对半导体来说，起作用的常常是接近导带底或价带顶部的电子，极值附近的E-k关系其主要作用：对于给定半导体，应为常数，令：为有效质量中国人民大学理学院化学系1.2电子的有效质量对半导体来说，27中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina导带底附近，，电子有效质量为正值。价带顶附近，，电子有效质量为负值。电子在晶格中的运动与自由空间不同，外部作用力及晶格中的带正电荷的离子（如，质子）和带负电荷的电子都会对电子在晶格中的运动产生影响，有：由于难以一一考虑离子所受的内力，仅考虑外力作用，有：

电子的加速度其中加速度直接与外力有关，参数称为有效质量，概括了粒子质量与内力作用的效果。类似于玻璃球在水和油中的运动可以直观的表现为有效质量的不同。中国人民大学理学院化学系导带底附近，28中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina考虑到导带底的情况：因此，E(k)对k的一阶导数与电子的速度有关。E(k)对k的二阶导数与电子的有效质量成反比。导带的电子在电场作用下有：中国人民大学理学院化学系考虑到导带底的情况：因此，E(k)对29中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.3空穴的概念SiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSi+SiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSi++中国人民大学理学院化学系1.3空穴的概念SiSiSiSiS30中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina漂移电流密度对应于价带中的电子，有：对于价带为满带的情况，考虑能带在k空间的对称性，有：价带中电子的运动速度为：价带漂移电流密度为：其中与空状态有关：中国人民大学理学院化学系漂移电流密度对应于价带中的电子，有：31中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina价带顶的电子在外加电场下有：说明价带顶多数电子的运动完全可以用很少的空状态表示出来，空状态粒子具有正电荷和正的有效质量，定义为空穴。价带的电子填充和空状态正电荷占据原始空状态的新概念中国人民大学理学院化学系价带顶的电子在外加电场下有：说明价带32中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.4硅和砷化镓的k空间能量图面心立方晶体(100)晶面的[100]和[110]方向

电子在不同方向上的运动会遇到不同的周期性势场，从而产生不同的k空间边界，晶体中的E-k关系是k空间方向的函数。中国人民大学理学院化学系1.4硅和砷化镓的k空间能量图面心33中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina[100]和[110]晶向能带结构对于金刚石或闪锌矿类型的晶格，价带顶和导带底出现在k=0沿着两个晶向之一的方向上。中国人民大学理学院化学系[100]和[110]晶向能带结构对34中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina对边长为a的晶体中运动的自由电子：1.5状态密度函数中国人民大学理学院化学系对边长为a的晶体中运动的自由电子：135中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina单位体积、单位能量的量子态密度为：对于半导体导带：价带：中国人民大学理学院化学系单位体积、单位能量的量子态密度为：对36中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.6统计分布实际应用中，涉及的主要为粒子的整体统计学状态，而不是其中某一个粒子的状态。确定粒子在有效能态中的分布有三种统计规律：麦克斯韦-玻尔兹曼分布玻色-爱因斯坦分布费米-狄拉克分布将个粒子排列到第个能级中的方式总数为：中国人民大学理学院化学系1.6统计分布实际应用中，涉及的主37中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina由于粒子不可分辨，自身的个排列方式不应计算在内，因此，个粒子在第个能级中分布的概率为：如，n个能级所有粒子排列方式的总数为：要求保持粒子总数和总能量不变的前提下，改变能级中的来改变粒子的分布，获得的最大值，使概率分布最大：中国人民大学理学院化学系由于粒子不可分辨，自身的38中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina概率密度函数为：密度数为单位体积单位能量的粒子数，为单位体积单位能量的量子状态，为费米-狄拉克分布（概率）函数，表示能量为E的量子态被电子占据的可能性，或被