北京课改版数学八年级上册12.12 勾股定理的逆定理 素养提升练（含解析）

第第页北京课改版数学八年级上册12.12勾股定理的逆定理素养提升练（含解析）第十二章三角形

12.12勾股定理的逆定理

基础过关全练

知识点勾股定理的逆定理

1.(2023江苏南通中考)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()

A.3,4,5B.6,7,9

C.4,6,7D.5,11,12

2.(2023陕西西安长安三中期末)下列各组数据中的三个数作为三角形的三边的长,其中能构成直角三角形的是()

A.,2,B.4,5,8

C.6,7,8D.1,,

3.【教材变式·P119T3】(2023福建泉州实验中学期末)在△ABC中,BC=a,AB=c,AC=b,则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是()

A.∠C=∠A-∠B

B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5

C.a∶b∶c=3∶4∶5

D.(a+b)(a-b)=c2

4.已知三角形的三边长分别是6,8,10,则此三角形的面积为.

5.判断由下列三条线段组成的三角形是不是直角三角形.

(1)a=2,b=3,c=4;

(2)a=0.9,b=0.7,c=1.2;

(3)a=25,b=20,c=15.

6.(2022北京房山期末)绿都农场有一块菜地如图所示,现测得AB=12m,BC=13m,CD=4m,AD=3m,∠D=90°,求这块菜地的面积.

能力提升全练

7.(2022北京平谷期末,8,★☆☆)有五根小木棒,其长度分别为5,9,12,13,15,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是()

A

B

C

D

8.(2023湖南益阳中考,7,★☆☆)已知M、N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,先以点A为圆心,AN的长为半径画弧,再以点B为圆心,BM的长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

9.(2022北京一六一中学期中,13,★☆☆)下列四组数:①0.6,0.8,1;②5,12,13;③8,15,17;④4,5,6.其中是勾股数的为.(填序号)

10.(2023广西玉林中考,16,★☆☆)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙两艘轮船同时离开港口,各自沿固定方向航行,甲、乙两艘轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果甲船沿北偏西40°方向航行,则乙船沿方向航行.

11.(2023北京中考,12,★★☆)如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=°.(点A,B,P是网格线的交点)

12.(2023北京平谷期末,26,★★☆)如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,DE是AB的垂直平分线,DE分别交AC,AB于点E,D.

(1)求证:△ABC是直角三角形;

(2)求AE的长.

13.(2023内蒙古呼和浩特中考改编,18,★★☆)如图,在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边的长分别为a、b、c.

(1)求证:△ABC的内角和等于180°;

(2)若=,求证:△ABC是直角三角形.

素养探究全练

14.【运算能力】张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:

n2345…

a22-132-142-152-1…

b46810…

c22+132+142+152+1…

(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示:a=,b=,c=;

(2)猜想以a、b、c为三边的长的三角形是不是直角三角形,并说明理由.

答案全解全析

基础过关全练

1.AA.∵32+42=52,∴能组成直角三角形;B.∵62+72≠92,∴不能组成直角三角形;C.∵42+62≠72,∴不能组成直角三角形;D.∵52+112≠122,∴不能组成直角三角形.故选A.

2.DA.()2+22≠()2,故不是直角三角形,不合题意;B.42+52≠82,故不是直角三角形,不合题意;C.62+72≠82,故不是直角三角形,不合题意;D.12+()2=()2,故是直角三角形,符合题意.故选D.

3.BA.∵∠C=∠A-∠B,∴∠C+∠B=∠A,

∵∠C+∠A+∠B=180°,∴2∠A=180°,

∴∠A=90°,∴△ABC是直角三角形,

故A不符合题意;

B.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠C+∠A+∠B=180°,

∴∠C=180°×=75°,∴△ABC不是直角三角形,故B符合题意;

C.∵a∶b∶c=3∶4∶5,∴设a=3k,b=4k,c=5k,

∴a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2,c2=(5k)2=25k2,

∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,

故C不符合题意;

D.∵(a+b)(a-b)=c2,∴a2-b2=c2,∴a2=b2+c2,

∴△ABC是直角三角形,故D不符合题意.

故选B.

4.答案24

解析∵62+82=102,∴此三角形为直角三角形,且两直角边长分别为6,8,∴此三角形的面积为×6×8=24.

5.解析(1)∵22+32=4+9=13,42=16,∴22+32≠42,

∴这个三角形不是直角三角形.

(2)∵0.92+0.72=0.81+0.49=1.3,1.22=1.44,

∴0.92+0.72≠1.22,∴这个三角形不是直角三角形.

(3)∵152+202=225+400=625,252=625,

∴152+202=252,∴这个三角形是直角三角形.

6.解析如图,连接AC,

∵CD=4m,AD=3m,∠D=90°,

∴AC===5(m),

∴S△ADC=AD·CD=×3×4=6(m2),

在△CAB中,AC=5m,AB=12m,BC=13m,

∵AC2+AB2=52+122=169,BC2=132=169,

∴AC2+AB2=BC2,∴△CAB为直角三角形,∴∠CAB=90°,

∴S△CAB=AC·CB=×5×12=30(m2),

∴菜地的面积=S△CAB-S△ADC=24(m2),

∴这块菜地的面积为24m2.

能力提升全练

7.C∵52=25,122=144,92=81,152=225,132=169,

∴52+122=132,92+122=152,∴C正确.故选C.

8.B如图所示,

由题意可知,AC=AN=AM+MN=4,BC=BM=BN+MN=3,AB=AM+MN+BN=5,∵42+32=52,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.

故选B.

9.答案②③

解析满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数,①中0.62+0.82=12,但0.6,0.8不是整数,所以0.6,0.8,1不是勾股数;②中52+122=132,且5,12,13都为正整数,∴5,12,13是勾股数;③中82+152=172,且8,15,17都为正整数,∴8,15,17是勾股数;④中42+52≠62,∴4,5,6不是勾股数.故是勾股数的为②③.

10.答案北偏东50°

解析由题意可知AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里,∵122+162=202,∴△APB是直角三角形,∠APB=90°,由题意知∠APN=40°,∴∠BPN=90°-∠APN=90°-40°=50°,∴乙船沿北偏东50°方向航行.

11.答案45

解析如图,延长AP至网格线的交点D,连接BD,

设每个小正方形的边长为1,则PD2=12+22=5,BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,

∴PD2+BD2=PB2,PD=BD,∴△PBD为直角三角形,∠PDB=90°,∠DPB=∠DBP,∴∠DPB=×(180°-90°)=45°,∴∠PAB+∠PBA=45°.

12.解析(1)证明:∵△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,

∴52=42+32,即AB2=AC2+BC2,

∴△ABC是直角三角形.

(2)如图,连接BE.

∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=EB,

设AE=x,则EC=4-x.

∴x2=(4-x)2+32,解得x=,即AE的长是.

13.证明(1)如图,过点B作MN∥AC,

∵MN∥AC,∴∠MBA=∠A,∠NBC=∠C.

∵∠MBA+∠ABC+∠NBC=180°,

∴∠A+∠ABC+∠C=180°,

即△ABC的内角和等于180°.

(2)∵=,∴ac=(a+b+c)(a-b+c)=[(a+c)2-b2]=[(a2+2ac+c2)-b2],