山东省华侨中学2023年高二数学第二学期期末调研试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则()A． B．e C． D．12．下列判断错误的是A．若随机变量服从正态分布，则B．“R，”的否定是“R，”C．若随机变量服从二项分布：，则D．“<”是“a<b”的必要不充分条件3．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）A． B． C． D．4．已知数据，2的平均值为2，方差为1，则数据相对于原数据()A．一样稳定 B．变得比较稳定C．变得比较不稳定 D．稳定性不可以判断5．设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量（万辆）100102108114116浓度（微克）7880848890根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（）参考公式：，；参考数据：，；A． B． C． D．7．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．9．在复平面内，复数的对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，连续两天为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为（）A． B． C． D．11．若，；，则实数，，的大小关系为（）A． B．C． D．12．在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．袋中装有4个黑球，3个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是_____.14．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．15．复数其中i为虚数单位，则z的实部是________________.16．已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点.（I）证明：面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函数.（I）若，求实数的值；（Ⅱ）判断的奇偶性并证明；（Ⅲ）设函数，若在上没有零点，求的取值范围.19．（12分）函数，.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）若，证明：当时，.20．（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.21．（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，，且，证明：.22．（10分）设函数.（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若为正实数，且，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

先求导，再计算出，再求.【详解】由题得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.2、D【解析】

根据题目可知，利用正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质逐项分析，得出答案．【详解】（1）随机变量服从正态分布，故选项正确．（2）已知原命题是全称命题，故其否定为特称命题，将换为，条件不变，结论否定即可，故B选项正确．（3）若随机变量服从二项分布：，则，故C选项正确．（4）当时，“a<b”不能推出“<”，故D选项错误．综上所述，故答案选D．【点睛】本题是一个跨章节综合题，考查了正态分布的对称性、含有一个量词的命题的否定、二项分布的变量的期望值公式以及不等式的基本性质四个知识点．3、D【解析】

将复数化为的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.【详解】【点睛】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力.4、C【解析】

根据均值定义列式计算可得的和，从而得它们的均值，再由方差公式可得，从而得方差．然后判断．【详解】由题可得：平均值为2，由，，所以变得不稳定.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的计算公式，考查方差的含义．属于基础题．5、B【解析】

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．6、B【解析】

利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【详解】由题意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故选：B．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.7、D【解析】

,对应的点为,在第四象限，故选D.8、B【解析】

解析：考察均值不等式，整理得即，又，9、D【解析】

化简复数，再判断对应象限.【详解】，对应点位于第四象限.故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.10、A【解析】

设“某天的空气质量为优良”是事件，“随后一天的空气质量为优良”是事件，根据条件概率的计算公式，即可得出结果.【详解】设“某天的空气质量为优良”是事件，“随后一天的空气质量为优良”是事件，由题意可得，，所以某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为.故选A【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.11、A【解析】

根据指数函数与对数函数的性质，分别确定，，的范围，即可得出结果.【详解】因为，，，所以.故选A【点睛】本题主要考查对数与指数比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.12、B【解析】

平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.【详解】设正四面体P-ABC的边长为a，设E为三角形ABC的中心，H为正四面体P-ABC的中心，则HE为正四面体P-ABC的内切球的半径r,BH=PH且为正四面体P-ABC的外接球的半径R，所以BE=，所以在中，，解得，所以R=PE-HE=，所以，根据的球的体积公式有，，故选：B.【点睛】本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】分析：结合古典概型概率公式，直接利用条件概率公式求解即可详解：设甲摸到黑球为事件，则，乙摸到白球为事件，则，设甲摸到黑球的条件下，乙摸到球的概率为，故答案为.点睛：本题主要考查古典概型概率公式以及独立事件的概率公式，条件概率公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于简单题.14、.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15、5【解析】试题分析：．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为16、1【解析】

画出图形，根据到直线，的距离相等得到为的平分线，然后根据角平分线的性质得到，再根据双曲线的定义可求得．【详解】由题意得，点A在双曲线的右支上，又点的坐标为，∴．画出图形如图所示，，垂足分别为，由题意得，∴为的平分线，∴，即．又，∴．故答案为1．【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】

（I）连接，交于，则为的中点，由中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明平面；（Ⅱ）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，并设，计算出平面的一个法向量，记直线平面所成角为，于是得出可得出直线与平面所成角的正弦值。【详解】（Ⅰ）证明：连接，交于，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为在面内，不在面内，所以面；（Ⅱ）以，，为，，轴建立空间直角坐标系（不妨设）.所以，，，，设面的法向量为，则，解得.因为，记直线平面所成角为.所以.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的计算，常见的有定义法和空间向量法，可根据题中的条件来选择，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中等题。18、（I）；（Ⅱ）为奇函数，证明见解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用代入原式即得答案；（Ⅱ）找出与的关系即可判断奇偶性；（Ⅲ）函数在上没有零点等价于方程在上无实数解，再设，求出最值即得答案.【详解】（Ⅰ）因为，即：，所以.（Ⅱ）函数为奇函数.令，解得，∴函数的定义域关于原点对称，又所以，为奇函数.（Ⅲ）由题意可知，，函数在上没有零点等价于方程在上无实数解，设，则，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上取得极小值，也是最小值，∴，∴的取值范围为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，利用导函数计算函数最值，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度中等.19、(Ⅰ)有极小值，无极大值.(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2）不等式等价于，由（1）得，可得，设，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得，进而可得结果.试题解析：（1）函数的定义域为，，由得，得，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以函数只有极小值.（2）不等式等价于，由（1）得：.所以，，所以.令，则，当时，，所以在上为减函数，因此，，因为，所以，当时，，所以，而，所以.20、（1）；（2）【解析】

(1)去绝对值,将化为分段函数,解不等式即可;(2)根据绝对值三角不等式可知,则有,解不等式即可.【详解】(1)当时,,故不等式的解集为;(2),,则或,解得或,故的取值范围为.【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,属于中档题.21、(1)见解析.(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先求导数，再根据二次方程=0根得情况分类讨论：当时，.∴在上单调递减.当时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间，(2)先化简不等式消m得，再利用导数研究，单调性，得其最小值大于-1，即证得结果.详解：（1）由，得，.设，.当时，即时，，.∴在上单调递减.当时，即时，令，得，，.当时，，在上，，在上，，∴在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递减，当时，在，上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）∵有两个极值点，，且，∴由（1）知有两个不同的零点，，，，且，此时，，要证明，只要证明.∵，∴只要证明成立.∵，∴.设，，则，当时，，∴在上单调递增，∴，即，∴有两个极值点，，且时，.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存