青海师大二附中2023年高二数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法中：相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越弱；回归直线过样本点中心；相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．给出下列四个五个命题：①“”是“”的充要条件②对于命题，使得，则，均有；③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；④函数只有个零点；⑤使是幂函数，且在上单调递减.其中是真命题的个数为：A． B． C． D．3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…4．已知三棱锥外接球的表面积为，是边长为1的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是的中点，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．5．若复数满足，则的值是（）A． B． C． D．6．甲乙丙丁4名师范院校的大学生分配至3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，且甲、乙两人不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为（）A．30 B．42 C．50 D．587．已知函数，若集合中含有4个元素，则实数的取值范围是A． B． C． D．8．已知复数，，.在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最大值为（）A． B． C． D．9．一工厂生产某种产品的生产量（单位：吨）与利润（单位：万元）的部分数据如表所示：从所得的散点图分析可知，与线性相关，且回归方程为，则（）A． B． C． D．10．已知向量，，则（）A． B． C． D．11．函数的单调增区间为（）A． B．C． D．12．设，则（）A． B．10 C． D．100二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一组数据从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数为5，则这组数据的众数为______.14．设函数，，对于任意的，不等式恒成立，则正实数的取值范围________15．设的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则；类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体的体积为，则__________．16．每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的图象过点.(1)求的解析式及单调区间；(2)求在上的最小值.18．（12分）随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？19．（12分）已知f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}.20．（12分）(1)已知可逆矩阵的逆矩阵为，求的特征值.(2)变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是：变换对应用的变换矩阵是，求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程.21．（12分）已知曲线的参数方程为，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)若射线与曲线交于两点，与直线交于点，射线与曲线交于两点，求的面积.22．（10分）对任意正整数n，设表示n的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，表示数列的前n项和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常数s，t，使得对一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据线性回归方程的性质，结合相关系数、相关指数及残差的意义即可判断选项.【详解】对于，相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越强，所以错误；对于，根据线性回归方程的性质，可知回归直线过样本点中心，所以正确；对于，相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好，所以正确；对于，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，所以正确；综上可知，正确的为，故选：D.【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，相关系数与相关指数的性质，属于基础题.2、C【解析】分析：由充分必要条件的判定方法判断①，写出特称命题的否定判断②，根据逆否命题与原命题的等价性，只需要判断原命题的真假即可判断③正确，求出方程的根即可判断④正确，求出时是幂函数，且在上单调递减，故⑤正确详解：对于①，由得到，由可得是的必要不充分条件，“”是“”的必要不充分条件，故①是假命题对于②，对于命题，使得，则，均有；根据含量词的命题的否定形式，将与互换，且结论否定，故正确对于③，命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”，满足逆否命题的形式，故正确对于④函数，令可以求得，函数只有个零点，故正确对于⑤，令，解得，此时是幂函数，且在上单调递减，故正确综上所述，真命题的个数是故选点睛：本题主要考查的是命题的真假判断，根据各知识点即可进行判断，本题较为基础。3、B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.4、B【解析】

设球心到平面的距离为，求出外接球的半径R=,再根据求出，再根据求三棱锥的体积.【详解】设球心到平面的距离为，三棱锥外接圆的表面积为，则球的半径为，所以，故，由是的中点得：.故选B【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查锥体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5、C【解析】

先用复数除法进行化简，之后求共轭复数即可.【详解】因为故：故其共轭复数为：故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，涉及共轭复数，属基础题.6、A【解析】

根据题意将4人分成3组，再进行排列，两步完成.【详解】第一步，将甲乙丙丁4名同学分成3组，甲、乙两人不在同一组，有5种分法第二步,将3组同学分配到3所学校，有种分法所以共有种分配方法故选：A【点睛】解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配.7、D【解析】

先求出，解方程得直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为，再解不等式得解.【详解】.由题意，在上有四个不同的实根.令，得或，即或.直线与曲线在上从左到右的五个交点的横坐标分别为.据题意是，解得.故选D.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.8、B【解析】

根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，，，且，所以，，化简得，，当时，取得最大值为.【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.9、C【解析】

根据表格中的数据计算出和，再将点的坐标代入回归直线方程可求出实数的值.【详解】由题意可得，，由于回归直线过样本中心点，则有，解得，故选：C.【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.10、C【解析】

由已知向量的坐标运算直接求得的坐标．【详解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故选C.【点睛】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.11、D【解析】

先求出函数的定义域，然后求出函数的导函数，接着求当导函数大于零时，的取值范围，结合函数的定义域，最后写出单调增区间.【详解】函数的定义域为，，当时，函数单调递增，所以有或，而函数的定义域为，所以当时，函数单调递增，故本题选D.【点睛】本题考查了利用导数求函数单调增区间问题，解题的关系是结合定义域，正确求解导函数大于零这个不等式.12、B【解析】

利用复数的除法运算化简为的形式，然后求得的表达式，进而求得.【详解】，，.故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】这组数据按从小到大的顺序排列其中中间的两个数为4，，这组数据的中位数为∴x＝6，故这组数据的众数为6，填6.14、【解析】

先分析的单调性，然后判断的正负，再利用恒成立的条件确定的范围.【详解】，令，则，所以在单调递减，在单调递增，则；，令，则，所以在单调递增，在单调递减，则；当，所以不成立，故；因为恒成立，所以恒成立，所以，即，解得，即.【点睛】恒成立问题解题思路：当恒成立时，则；存在性问题解题思路：当存在满足时，则有.15、.【解析】

根据平面和空间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合三角形面积的求法求出三棱锥的体积，进而求出内切球的半径为.【详解】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都为，所以四棱锥的体积等于以为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥的体积之和，则四面体的体积为.【点睛】本题考查了类比推理.类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知一类的数学对象的性质迁移到另一个数学对象上去.16、【解析】每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功，所以所求的概率为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；单调递减区间为，单调递增区间为.(2)【解析】

（1）先由函数图像过点，求出，得到函数解析式，再对函数求导，用导数的方法，即可得出函数的单调区间；（2）先令在上的最小值为，结合（1）的结果，分别讨论和两种情况，即可求出函数的最小值.【详解】(1)∵函数的图象过点∴∴故.令得当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增.所以，单调递减区间为，单调递增区间为.(2)令在上的最小值为，由(1)知，当时当，在上单调递增，∴综上所述：的最小值.【点睛】本题主要考查函数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.18、（1）（2）①平均值可估计为15元.②公司不应将前台工作人员裁员1人.【解析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在之间的概率为，服从二项分布，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果.详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，故可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：）12345快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0～100101～200201～300301～400401～500包裹件数（近似处理）50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度19、(1)见解析.(2)见解析.(3)M＝{m|0<m<1}.【解析】

（1）借助对称性作f（x）=|x2﹣4x+3|的图象即可，（2）由图象写出函数f（x）的单调区间即可；（3）作f（x）=|x2﹣4x+3|与y=m的图象，由二者的交点个数确定出集合M．【详解】(1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，∴f(x)＝∴f(x)的图象为：(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.(3)由f(x)的图象知，当0<m<1时，f(x)＝m有四个不相等的实根，所以M＝{m|0<m<1}.【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。20、（1），.（2）【解析】

(1)根据得出的逆矩阵，结合特征值的性质即可求解;(2)先求出,再求点的变换，从而利用函数求出变换作用下所得曲线的方程.【详解】（1）解：由可知，所以，，所以，；所以，，由，，.（2）.设变