2022-2023学年七年级数学考点大串讲（北师大版）：全等三角形证明方法：截长补短（解析版）

专题09全等三角形证明方法——截长补短例题精讲：例1．已知：如图，四边形中，平分，于E，且，判断、和的关系，并说明理由．【答案】，理由见解析【详解】解：．理由如下：在上截取，连接，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），∵，∴．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，证出．例2．如图，四边形中，平分，于点E，，求证：．​【答案】见解析【详解】解：过点C作，交的延长线于点H，如图所示：则，∵平分，，∴，，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．例3．如图，已知为等腰三角形，，D为线段延长线上一点，连接，平分交、于点E、F，且．（1）猜想与的数量关系，并证明；（2）求证．【答案】（1），证明见解析；（2）见解析【详解】（1）解：，证明如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，化简，得：；（2）证明：延长至点K，使，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答．例4．如图，在中，，，是的一个外角的平分线，点D在的延长线上，连接，，，且．求证：（1）是等边三角形；（2）．【答案】见解析【详解】证明：（1）如图1，作于点E，交的延长线于F，则，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴是等边三角形．（2）如图2，作交于点G，则，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的补角相等、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．例5．已在等腰中，，，D为直线上一点，连接，过点C作，且，连接，交于点F．（1）如图1，当点D在线段上，且时，请探究，，之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，在上任取一点G，连接，作射线使，交的平分线于点Q，求证：．【答案】（1），理由见解析；（2）见解析【详解】（1）解：；在上找到G点使得，如图，∵，，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）证明：在上找到H点，使得，如图，∵平分，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∵，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键．

专练过关：1．如图，是的角平分线，，．（1）求的度数；（2）求证：．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）证明：在上取一点T，使得．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图所示，平分，平分，和相交于上一点E，如果，证明：（1）；（2）．【答案】见解析【详解】证明：（1）在中，∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴；（2）如图，在上截取，连接，∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形内角和定理，角平分线定义及平行线的判定，全等三角形的判定是解题的关键．3．如图，在中，，，是的角平分线．求证：；【答案】见解析【详解】证明：作于点E，则，∵是的平分线，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．4．在中，，，是的两条角平分线，且，交于点F．（1）用含的式子表示，则；（2）当时，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）∵，是的两条角平分线，∴，，∴，∵，∴，故答案为：．（2），证明：当时，如图，在上截取，连接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．5．如图，中，，以直角边为腰，向外作等腰直角三角形，，，点E是边上一点，且，．（1）探究：与的数量关系；（2）求证：．【答案】（1），理由见解析；（2）见解析【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴，中，，∵，∴，∴；（2）证明：如图1，延长至G，使，连接，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．

6．如图，，，，，交于点P，若点C在上．（1），求的度数；（2）连接，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴；（2）证明：如图，在上取，连接，由（1）知，，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上，点F在射线上，连结，若．求证：（1）；（2）．【答