辽宁省铁岭市银冈高级中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

辽宁省铁岭市银冈高级中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[2.01]=2．若函数f(x)=（x≥1）有且仅有三个零点，则m的取值范围是（）A．[，2]

B．[，2) C．[，) D．[，]参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=0得=m，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣m=0得：=m，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=x，此时1≤g（x）＜2，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时1≤g（x）＜，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时≤1g（x）＜，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=x，此时1≤g（x）＜，作出函数g（x）的图象，要使函数（x≥1）有且仅有三个零点，即函数g（x）=m有且仅有三个零点，则由图象可知≤m，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．2.如图所示为函数的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么(

)A．-1

B． C．

D．1参考答案：略3.设关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是

A．

B． C． D．参考答案：D略4.不等式成立是不等式成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件参考答案：A

【知识点】充分、必要条件A2解析：因为,所以,即,反之不成立,故选A.【思路点拨】根据充分、必要条件的定义判断即可。5.已知点,为抛物线的焦点,点在抛物线上,使取得最小值,则最小值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.某器物的三视图如图2所示，根据图中数据可知该器物的表面积为A．

B．

C．

D．参考答案：D考点：三视图，圆锥与球的表面积．7.（5分）将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（x﹣）C．y=sin4xD．y=sinx参考答案：D【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：将函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得函数图象对应的解析式为y=sinx，故选：D．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.函数在定义域上的导函数是，若，且当时，，设、、，则

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知,那么

（）A． B． C． D．参考答案：C略10.x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（A）或-1

（B）2或（C）2或1

（D）2或-1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为

参考答案：答案：-16012.已知实数，满足，则的最大值为

．参考答案：13.从2位男同学和8位女同学中选两人参加志愿者活动，假设每位同学选到的可能性都相同，则选到两位性别相同的同学的概率是

．（结果用最简分数表示）参考答案：

14.不等式的解集为

.参考答案：15.如果等比数列的前项和，则常数参考答案：-1略16.定义域为的四个函数①②③④中,奇函数的个数有

（写出正确的序号）参考答案：略17.若实数满足，则的最小值是

▲

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．（Ⅲ）求证：对一切x∈（0，+∞），都有3﹣（x+1）?f（x）＞﹣成立．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），得到关于a，b的方程组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为＜m，令g（x）=，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（Ⅲ）问题转化为证明：xlnx+x＞﹣对?x＞0成立，设φ（x）=xlnx+x（x＞0），g（x）=﹣（x＞0），根据函数的单调性分别求出φ（x）的最小值和g（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，而点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，又直线x+y=2的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1，故有，解得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=（x＞0），由xf（x）＜m，得：＜m，令g（x）=，g′（x）=，令h（x）=1﹣x﹣lnx，则h′（x）=﹣1﹣＜0，（x＞0），∴h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）max=g（1）=1，要使＜m成立，只需m＞1，故m的取值范围是（1，+∞）；（Ⅲ）证明：要证3﹣（x+1）?f（x）=lnx+1＞﹣，对?x＞0成立，即证明：xlnx+x＞﹣对?x＞0成立，设φ（x）=xlnx+x（x＞0），φ′（x）=lnx+2，当x＞e﹣2时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当0＜x＜e﹣2时，φ′（x）＜0，φ（x）递减；∴φ（x）min=φ（e﹣2）=﹣，设g（x）=﹣（x＞0），g′（x）=，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减；∴g（x）max=g（1）=﹣，∴φ（x）min=﹣＞g（x）max=﹣，∴xlnx+x＞﹣，对?x＞0成立，∴3﹣（x+1）f（x）=lnx+1＞﹣对?x＞0成立．19.已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．20.（本小题13分）已知函数，函数与函数图像关于轴对称.（Ⅰ）当时，求的值域及单调递减区间（Ⅱ）若，求值参考答案：（Ⅰ）

…2分又与图像关于轴对称，得当时，得，得即…4分单调递减区间满足，得取，得，又，单调递减区间为

…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，由于

…8分而10分

…13分21.某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：，其中k、b均为常数.当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；当关税税率为75%时，若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件.（1）试确定k、b的值；（2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：.当时，市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.参考答案：（1）.（2）当市场平衡价格为4千元时，关税税率的最大值为500﹪.【分析】（1）根据“关系式：p=2（1﹣kt）（x﹣b）2，及市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件”，可得到从而求得结果；（2）当p=q时，可得2（1﹣t）（x﹣5）2=2﹣x，可求得t=1+=1+，由f（x）=x+在（0，4]上单调递减，可知当x=4时，f（x）有最小值．【详解】（1）由已知得，若，当时，，当时，．所以有，解得.（2）由于，则，当p=q时，,所以，所以，，设，则====，由于，则，，，所以，所以，所以在区间上是增函数，所以当时，取得最大值，为5,即当市场平衡价格为4千元时，关税税率的最大值为500﹪.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法．22.如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A﹣DE﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK