高三数学一轮课件-第六章-数列与数学归纳法-63-等比数列及其前n项和

§6.3等比数列及其前n项和高三一轮复习讲义第六章数列与数学归纳法§6.3等比数列及其前n项和高三一轮复习讲义第六章数列与1NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题21基础知识自主学习PARTONE1基础知识自主学习PARTONE3知识梳理1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的比等于_________(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的

，通常用字母q表示，定义的表达式为

(n∈N*，q为非零常数).

(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么

叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒

.ZHISHISHULI2同一常数公比GG2＝ab知识梳理1.等比数列的有关概念ZHISHISHULI2同一常2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝

.(2)前n项和公式：Sn＝

.a1qn－12.等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·

(n，m∈N*).(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝

＝

.(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.qn－map·aq3.等比数列的常用性质qn－map·aq1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？【概念方法微思考】提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数.2.任意两个实数都有等比中项吗？提示不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.3.“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件.因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.(

)(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.(

)(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列.(

)(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(

)×××123456××基础自测JICHUZICE题组一思考辨析×××123456题组二教材改编123456题组二教材改编1234563.[P54T3]公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为A.8 B.9 C.10 D.11解析由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.123456√3.[P54T3]公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋题组三易错自纠解析∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，123456题组三易错自纠解析∵1，a1，a2，4成等差数列，123解析设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，123456－11解析设等比数列{an}的公比为q，123456－116.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机

秒，该病毒占据内存8GB.(1GB＝210MB)39解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝8×210＝213，∴n＝13.即病毒共复制了13次.∴所需时间为13×3＝39(秒).1234566.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后2题型分类深度剖析PARTTWO2题型分类深度剖析PARTTWO14题型一等比数列基本量的运算解析设等比数列{an}的公比为q，自主演练√题型一等比数列基本量的运算解析设等比数列{an}的公比为2.(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；解设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).2.(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.由Sm(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论.思维升华(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an题型二等比数列的判定与证明师生共研例1

已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；解因为an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以数列{an－3n}是首项为5、公比为5的等比数列.所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.题型二等比数列的判定与证明师生共研例1已知数列{an}满高三数学一轮课件-第六章-数列与数学归纳法-63-等比数列及其前n项和思维升华思维升华跟踪训练1

(2018·黄山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；跟踪训练1(2018·黄山模拟)设数列{an}的前n项和证明由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.①②①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.证明由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，①①－②，得an＋1(2)求数列{an}的通项公式.解由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，故an＝(3n－1)·2n－2.(2)求数列{an}的通项公式.解由(1)知bn＝an＋1题型三等比数列性质的应用师生共研√题型三等比数列性质的应用师生共研√高三数学一轮课件-第六章-数列与数学归纳法-63-等比数列及其前n项和(2)(2018·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于A.－9 B.－21 C.－25 D.－63√解析因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.(2)(2018·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为S思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.思维升华等比数列常见性质的应用跟踪训练2

(1)等比数列{an}各项均为正数，a3a8＋a4a7＝18，则

a1＋

a2＋…＋

a10＝

.20所以

a1＋

a2＋…＋

a10＝20.解析由a3a8＋a4a7＝18，得a4a7＝9跟踪训练2(1)等比数列{an}各项均为正数，a3a8＋解析很明显等比数列的公比q≠1，解析很明显等比数列的公比q≠1，关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.高频小考点GAOPINXIAOKAODIAN等差数列与等比数列关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是√√解析已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，∴(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴10d2＝－a1d，∵d≠0，∴－10d＝a1，解析已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，例2

(2018·烟台质检)已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为A.3n＋1 B.3n－1√例2(2018·烟台质检)已知{an}为等比数列，数列{解析∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，又数列{an}为等比数列，∴数列{an}的公比为q＝3，∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，解析∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋3课时作业PARTTHREE3课时作业PARTTHREE36基础保分练1.(2018·重庆巴蜀中学月考)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为12345678910111213141516√基础保分练1.(2018·重庆巴蜀中学月考)已知等比数列{a2.已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于√解析设数列{an}的公比为q，由题意可知，q>1，12345678910111213141516整理可得2q2－5q＋2＝0，2.已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋3.(2018·马鞍山质检)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为12345678910111213141516√解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－13.(2018·马鞍山质检)等比数列{an}的前n项和为SnA.－5 B.－3 C.5 D.312345678910111213141516解析由题意可得，√A.－5 B.－3 C.5 D.312345.(2019·西北师大附中冲刺诊断)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为A.10 B.9 C.8 D.7√12345678910111213141516解析设该女子第一天织布x尺，5.(2019·西北师大附中冲刺诊断)古代数学著作《九章算术6.若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)，则a6－a5的值是12345678910111213141516解析设正项等比数列{an}的公比为q>0，∵anan＋1＝22n(n∈N*)，√6.若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2018，a2＋a4＝－2a3，则S2019＝

.12345678910111213141516解析∵a2＋a4＝－2a3，∴a2＋a4＋2a3＝0，a2＋2a2q＋a2q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，解得q＝－1.∵a1＝2018，2018＝2018.7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2018123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516则有1＋2＋…＋2n－1＝1023，∴n＝10，12345678910111213141516则有1＋2＋…18解得a5＝3(舍负)，即a1q4＝3，1234567891011121314151618解得a5＝3(舍负)，即a1q4＝3，123456789∵S4＋S12＝λS8，123456789101112131415161－q4＋1－q12＝λ(1－q8)，∵S4＋S12＝λS8，123456789101112131(1)求b1，b2，b3；将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.12345678910111213141516(1)求b1，b2，b3；将n＝1代入得，a2＝4a1，而a(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；解{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.12345678910111213141516又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；解{bn12345678910111213141516(3)求{an}的通项公式.解由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.12345678910111213141516(3)求{an证明b1＝a2－a1＝1.12345678910111213141516(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；证明b1＝a2－a1＝1.123456789101112112345678910111213141516(2)求数列{an}的通项公式.12345678910111213141516(2)求数列{当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)12345678910111213141516当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋技能提升练12345678910111213141516√技能提升练12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169123456789101112131415169解析

由数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1－2，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，a1＝S1＝2，满足上式，12345678910111213141516＝n(n＋1)＋2n＋1－2，当n