2023年高考数学试卷及答案（新高考2卷）

数学试题 第数学试题 第1页（共5页）绝密★启用前 试卷类型：A2023年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。8540分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．i对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象2．设集合Aa}，Ba2a2}，若AB，则aA．2 B．1 C．23

D．160400200学生，则不同的抽样结果有C45

种 B．C20

种 C．C30

种 D．C40C20种200200

200200

200200

200200f(x)xaln2x1a2x11

x2 2

B．0 C．12

D．1已知椭圆C: 3

1yxmCAB两点，若△F1AB的面积是△F2AB的两倍，则m233

3

23f(x)aexlnx在区间2a的最小值为e2

B．e C．e1

D．e2已知cos14

5，则sin215A．35 158 8

C．354

D．154Sn为等比数列nS45S6S8A．120 B．85 C．

D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分。OAB为底面直径，APB120°PA2C在底PO45°，则π该圆锥的侧面积为43π2AC223的面积为3Oy3(x1过抛物线C:y22pxp0)C交于M，N两点，l为C的准线，则p2|MN|83为直径的圆与l相切△OMN为等腰三角形f(x)alnxbx

c(a0)既有极大值也有极小值，则x2bc0ab0

b28ac0ac001的概率为(0，0的概率为110(01的概率为1.13（0，11）.采用单次传输方案，若依次发送101，则依次收到l01的概率为(1)(1)211，0，1)211)2)3当000的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知向量a，b满足|ab|3，|ab2ab|，则|b| ．底面边长为4的正四棱锥平行于其底面的平面所截截去一个地面边长为高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．xmy10与Cx1)2y24ABC8”5的m的一个值 ．f(x)xy12yf(x)|AB|π6 ．

f(π)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1（0分）记△ABCAB，Ca，b，cABC面积为3BC的AD1．（1）若ADCπ，求tanB；3（2）若b2c28，求b，c.1（2分）已知

n

n为奇数,ST分别为数列}，{bn项n n 2a

n为偶数. n n n n n和，S432，T316．求的通项公式；n5Sn.1（2分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：ccp(cq(c频率作为相应事件发生的概率．p(c0.5cq(c；f(cp(cq(c

c[95,105

f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]2（2分）如图，三棱锥ACD60°EBC的中点．；FEFDADABF的正弦值．2（2分）C的中心为坐标原点，左焦点为

55,0)，离心率为 ．5C的方程；C，过点(40)CMN两MPP在定直线上．2（2分）证明：当0x1xx2sinxx；f(x)cosaxx2x0f(xa的取值范围．··PAGE10·2023新高考2卷答案解析123456789101112ABDBCCDCACACBCDABD131415163282−21−1中选2 2一个即可；−32在复平面内1+

3−

(逐题详解)对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限z=1+

3−

=3−i+9i−3i2=6+8iA；设集合A=0−

B=1,a−2,2a−

A⊆Ba=3A．2 B．1 C．23

D．−1BDa=1，此时A=0−

B=1−

，满足，故直接选B；【参考解析2】依题有a−2=0或2a−2=0；当a−2=0a=2A=0−2当2a−2=0a=11

B=

，不满足；某学校为了解学生参加体育运动的情况60400200种C45C15

C20C40

C30C30

C40C20400200

400200

400200

4002004020C40C20D；若f

=x+an2x−1a=

400

2002A．−1 B．0 C．12

D．12x+2x+yln2x−12x+2x+0B；已知椭圆C2+y2=1的左右焦点分别为FFy=x+m与C交于AB两点，3 1 2若ΔF1AB的面积是ΔF2AB的2倍，则m=2+2+m23

23−2+m3

C．−2

D．−233233【参考解析】依题有

2 =2×

m

3或m=−32(舍)C；已知函数f

=ex−nx在区间

上单调递增，则a的最小值为xae2 B．e C．e−1 D．e−2xa

=ex−1≥0在

0<1≤ex在

上恒成立，令g

=ex

=x+1ex在

1≤g

=ea≥e−1C；555a42已知αcsα=1+sinα=555a42583−58

B．−1+

C．3− D．584−1+58445cosα=1+5

=1−2sin2α⇒sin2α=3−

，用代选项验54 2 2 85证法知D对；5cosα=1+5

=1−2sin2α⇒sin2α=3−

=6−25=54 2 2 8 1655−1

2sinα=±−1+

sinα=−−1+

无选项对应，故本题肯定不满554 2 4 2 455足，故选D；验证的事就留到考后分析；记Sn为等比数列n的前nS4=−5S6=21S2S8=A．120 B．85 C．−85 D．−12011−4

=−

q2=4

−q

⇒a 1，1111−

=21

11−

1−q=311−

1−q1

1−qS8

1−q =3×1−

=−85C；4S2S4−S2S6−S4S8−S6也为等比数列，4所以S4−S22=S2⋅S6−

，解得S2=−1或S2=5，当S2=−1S6−S42=S4−

⋅S8−

⇒S8=−85；4当S2=5S4=−5联立会推出2=−54多选：已知圆锥的顶点为POB∠B=20°A=2C在底P−C−O为45°该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为43π2C．AC=22【参考解析】

D．ΔPAC的面积为O=1=hO=BO=3=r，取C中点为HP−C−O即为∠HO=45°H=O=1，AHCH=AO2OH2=2AC22，3对于AV=1πr2h=πA对；对于BS侧=πrl=23πBC32对于DSΔPC=1×C×H=2D错；2综上，选AC．设Oy=−3x−1M，N两点，l为C的准线，则

过抛物线C:y2=2xp>

的焦点且与C交于=3p=2 B．N 8=3C．以MN为直径的圆与l相切 D．ΔOMN为等腰三角形

p=1⇒p=2A对；2由抛物线常见结论知2

= sin23

=16B下面增加联立的常规过程)；3联立y=−3x−3

⇒3x2−0x+3=0M1,2

N3−2 ，332=4x

3 3所以

=16B错；333同样由抛物线常见结论知C对；333由前面知MAC．C：

=3

=21

=16D错；M5−2

N，r=

=8=5+1C对；33 3 2 3 33若函数f

=anx+b+ca≠

既有极大值也有极小值x x2bc>0 B．ab>0 C．b2+8ac>0 D．ac<0f

=anx+b+ca≠

，所以定义域x>0，x x2f

=x2−x−2cx2−x−2c=0xx，Δ>0

x32+8c>b>0

1 22+8c>0b>0故1+2>0⇒a

⇒c<0 ，x1x2>

−2c>0 a故选BCD

c<0在信道内传输0101的概率为α0<α<

0的概率为1−α10的概率为β0<β<1

，收到1的概率1β．考虑两种传输方案13次。收到的信号需要译码(1011)．A．采用单次传输方案101101的概率为1−αB．采用三次传输方案1101的概率为β1−β2C．采用三次传输方案11的概率为β1−β2+1−β3

1−β2D．当0<α<0500的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【参考解析】关键信息：发0收1概率为α0收0概率为1−α；发1收0概率为β1收1概率为1−β；对于A1收1概率为1−β0收0概率为1−α1收1概率为1−β，故A=1−α1−β2A对；对于B1收1概率为1−β1收0概率为β1收1概率为1−β，故B=β1−β2B对；对于C：分为发1收2个1和1个0和发1收3个1，所以C=C2⋅β1−β2+C3⋅1−β3=3β1−β2+1−β3C错；3 3对于D：三次译码为00收2个0和1个1和发0收3个0，此时1=C2⋅α1−α2+C3⋅1−α3=3α1−α2+1−α3，3 3单次译码为02=1−α，1−2=3α1−α2+1−α3−1−综上，选ABD；

=α1−

1−

>0D对；已知向量

满足

33

则 ．，b【参考解析】

a−b= a+

=2a−b b=因为 2 2 2 2 2 a+b=2a−ba+2a⋅b+b=4a−4a⋅b+b⇒a−2a⋅b=0，又因为

2 2 2 a−

=3⇒a−2a⋅b+b=3⇒b=3⇒

=3．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截截去一个底面边长为2高为3正四棱锥所得棱台的体积为 ．4×4×16

=1

+S下+

h=14+6+

×3=28；S上S下棱台 3 S上S下【参考解析2】由相似易知剩下的棱台的高为3，所以V =1×42×6−1×22×3=28；棱台 3 3已知直线x−my+1=0与圆Cx−12+2=4交于ABΔBC的5面积为8的m的一个值 ．5S=1r2sin∠ACB=8sin∠ACB=4cos∠ACB3，2 5 5 5由余弦定理得AB=r2+r2−2r2cos∠ACB，855455所以AB= 或AB855455255455套弦长公式得d= 或d255455套心线距得 2 =25⇒m=±2或 2 =45⇒m=±1，1+1+m21+m2故填2−21−1中的一个即可．2 22已知函数fx=sinωx+ϕAB是直线y=1与曲线y=fx2

的两个交点，若6B=πf6

= ．ωA+ϕ=π+2kπ①ωB+ϕ=5π+2kπ②；6 6两式相减得ωB−A=4π⇒ω×π=4π⇒ω=4，6 6 6所以fx=sin4x+ϕ，将2π

代入得4×2π+ϕ=2kπ⇒ϕ=2kπ−8π，3所以f

3 333=sin4x+2kπ−8π=sin4x−2π．33所以f

=sin4π−

=sin−

=−3．332记ΔBC的内角ABC的对边分别为abcΔBC面积为3D为BC中点，AD1．3323若∠ADC=πtanB；3(2)若2+2=8bc．【参考解析】(1)如图，过A点作AH⊥BC交BC于点H，则AH=ADsinπ=3，DH=ADcosπ=1，3 2 3 23SΔABC1BCAH=3BC23

=4，所以tanB=AHAH= AH =3；BH BD+DH 5(思路2B1简洁．) 2ADABAC，2所以

2

2

2 2 4ADABAC2ABAC4bc2bccosA，3由余弦定理得4=b2+c2+b2+c2−a2⇒a=23，3由面积公式得SΔABC=1bcsinA=3⇒sinA=2，2 bc而cosA=b2+c2−a2=−2，22bc bc23因为sin2Acos2A123

2 −++

=1⇒bc=4，与b2+c2=8联立解得b=c=2．已知

=n−6,n为奇数ST为

b

的前n项和，S=n323=6．

n 2an,n为偶数

n n n n 4求

的通项公式；n5Sn．【参考解析】设n的首项为1d，2因为S4=324a1+4×3d=32⇒2a1+3d=6①2又因为T3=16，所以1+2+3=6⇒1−

+2a2+3−

=6⇒4a2=28⇒2=7=1+d②d=联立①②解得1=5n=1+n−1d=2n+3n∈Nd=由(1)知S=1+nn=n2+4n(或用

=na+nn−

d=n2+4n)n当n为奇数时，2=b1+b3+⋯2

2+2+4+⋯n−1

n 1 2=1+3+⋯

−6×n+1+22+4+⋯n−1=2Sn−1+3+⋯n−3n+1 ，1+

⋅n+1=2Sn−

2 2 −3n+1T

=n2−3n−0=n+2n−

n>5T−S>0n n 2 2 n n(T

=n2−3n−10>52−3×5−10=0)n n 2 2故n为奇数时成立；当n为偶数时，T−S=T −

+b−

=n−12−3n−

−10+

−a=nn−1>0n n

n−1 n n 2

n n 2 ，综上，当n>5时，Tn>Sn．19．(12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异利用该指标制定一个检测标准cc等于cp

；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率qc率作为相应事件发生的概率．当漏诊率pc=05%c和误诊率qc；设函数f

=p

+q

c∈

f

fc在区间

的最小值，【参考解析】(1)因为0002×5=001>05%c∈95,00，100−c0.0025×c100−

=0.5%⇒c=97.5；qc

=0.010×5×100−97.5+0.002×5=0.035；100−所以临界值c=975100−(2)

=0.035.当c∈

p

=0.002×5×c−

=0002c−95，100−100−

=0.010×5×100−

+0002×5=00101−c；100−所以100−

=p

+q

=0.82−0.008c≥0.82−0.008×100=0.02；当c∈

p

=0.002×5+0.012×5×c−

=001+002c−00，105−105−

=0.002×5×105−

=000205−c，105−所以105−

=p

+q

=0.01c−0.98≥0.01×100−0.98=0.02；f

的解析式为f

=082−0008c,95≤c≤000.01c−0.98, 100<c≤

fc在区间95,05的最小值002．A−BDA=B=CBD⊥D∠B=∠C=60°E为BC的中点．DA； 点F满足F=AD−B−F的正弦值．【参考解析】EE，因为B=CA=A∠B=∠C，所以ΔC≅ΔBC=B，又因为E为BCBC⊥EBC⊥E，而E∩E=EEE⊂平面EBC⊄平面E，BCADE，又因为D⊂平面EBC⊥A；DADBDC=2∠ADB∠ADC60°，所以ΔADB和ΔADCACAB=2，又因为BD⊥DBC=C2+B2=2，所以E=E=1E2+E2=D2，故由勾股定理逆定理知DE⊥AE，故可建立如图所示的空间直角坐标系所以D

A0,0,1

B0,1,0

E0,0,0

B=0,1−1， 因为F=A=−1,0,1F=−1,0,1F=−1,0,0，设平面B的一个法向量=,,1，则m⋅DA则m⋅DA011

−x+z=0 xx=1⇒m=，

1−1=0 1m⋅AB=0设平面BF的一个法向量=2,2,2，则n则nAF02

−x=0 yy=1⇒n=，

2−2=0 1n⋅AB=02 ⋅ 2 62所以csn,m== 3×

=3，3设二面角D−B−F的大小为θsinθDABF的正弦值为3．3双曲线C−25C的方程．

=3．1−cs1−cs2,3记C12−4,0的直线与C的左支交于MNM在A1与A2交于PP在定直线上．【参考解析】因为左焦点为−25,05．a所以c=25e=c=5⇒a=2⇒2=42=2−2=6，ax2 y2C

4−16=1．MNxmy4，联立x=my−

消x得4m−1y−32my+48=0Mx

，Nx,y，x2−x2=

2 2

11

224 16

y1+y2=32myy= 48 122yy= 48 122

12y+y，1212 4m2−1易知直线A方程为y=1 x+2直线A方程为y=2x−2，= =−31 x1