【解析】2023年四川省中考数学真题分类汇编：不等式与不等式组、一元二次方程

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2023年四川省中考数学真题分类汇编：不等式与不等式组、一元二次方程

一、选择题

1．（2023·泸州）关于的一元二次方程的根的情况是（）

A．没有实数根

B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根

D．实数根的个数与实数的取值有关

2．（2023·广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

3．（2023·广安）已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为()

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法判定

4．（2023·眉山）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A．B．C．D．

5．（2023·眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）

A．B．C．D．

6．（2023·遂宁）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（）

A．B．C．D．

7．（2023·乐山）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（）

A．4B．8C．12D．16

8．（2023·泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）

A．B．C．D．

9．（2023·自贡）下列说法正确的是（）

A．甲乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定

B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次

C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查

D．是不等式的解，这是一个必然事件

10．（2023·南充）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是()

A．B．或

C．D．或

二、填空题

11．（2023·内江）已知a、b是方程的两根，则．

12．（2023·遂宁）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为．

13．（2023·宜宾）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为．

14．（2023·宜宾）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为．

15．（2023·达州）已知是方程的两个实数根，且，则的值为．

16．（2023·凉山）不等式组的所有整数解的和是．

17．（2023·乐山）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．

（1）若是“和谐点”，则．

（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为．

三、综合题

18．（2023·南充）已知关于x的一元二次方程

（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；

（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：∵一元二次方程，

∴，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根，

故答案为：C.

【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。

2．【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：，

∵△=b2-4ac=（-3）2-4×2×=-3＜0，

∴此方程无实数根；

故答案为：C.

【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.

3．【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标与象限的关系

【解析】【解答】解：

∵点在第四象限，

∴a＞0，c＜0，

∴，

∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

故答案为：B

【分析】先根据象限内点的特征结合一元二次方程的判别式即可求解。

4．【答案】D

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得，

故答案为：D

【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系即可求解。

5．【答案】A

【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解：由题意得，

解②得x＜3，

∴不等式组的解集为m+3＜x＜3，

∴关于x的不等式组的整数解为2，1，0，-1，

∴-2≤m+3＜-1，

∴，

故答案为：A

【分析】先解不等式组即可得到不等式组的解集，再结合题意即可求出m的取值范围。

6．【答案】D

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【解答】解：由题意得，

解①得x＞3，

解②得x＞a，

∵若关于x的不等式组的解集为，

∴，

故答案为：D

【分析】先分别解不等式组，再根据不等式组的解结合题意即可求解。

7．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：

∵关于x的一元二次方程两根为，

∴x1+x2=8，x1x2=m，

∵，

∴，

∴m=12，

故答案为：C

【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到x1+x2=8，x1x2=m，进而结合题意即可得到，从而即可求解。

8．【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；菱形的性质

【解析】【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为x1，x2，

由题意可得：，

解得：m=22，

∴一元二次方程为，

解得：，，

即菱形的两条对角线的长分别为，，

∴菱形的边长为：，

故答案为：C.

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出m=22，再求出菱形的两条对角线的长分别为，，最后利用勾股定理计算求解即可。

9．【答案】D

【知识点】不等式的解及解集；全面调查与抽样调查；概率的意义；方差；事件发生的可能性

【解析】【解答】解：

A、∵，

∴，

∴甲的成绩更稳定，A不符合题意；

B、某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，B不符合题意；

C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，C不符合题意；、

D、∵，

∴，

∴是不等式的解，这是一个必然事件，D符合题意；

故答案为：D

【分析】根据方差的定义、概率、全面调查和抽样调查、不等式的解和必然事件的定义即可求解。

10．【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况

【解析】【解答】解：∵与x轴的一个交点为，

∴存在实数根，

∴，

解得，

当k≤-5时，画出图像如图所示：

∴当x=-2时，，

解得，

当k≥1时，画出图像如图所示：

当x=-2时，，

解得，

∴，

故答案为：B

【分析】先根据题意得到存在实数根，进而运用一元二次方程的判别式即可得到，再分类讨论结合题意即可求解。

11．【答案】

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：∵a、b是方程的两根，

∴a+b=-3，，

∴，

故答案为：-2

【分析】先根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，，进而代入即可求解。

12．【答案】2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，

∴a+b=3，ab=1，

∴，

故答案为：2

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=3，ab=1，进而即可求解。

13．【答案】2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：不妨设两根分别为a和b，

∵，

∴a+b=2m+2，ab=m+4，

∵关于x的方程两根的倒数和为1，

∴，

解得m=2.

经检验，x=2为分式方程的解，

∴，

故答案为：2

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。

14．【答案】2或-1

【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解：

解①得x＞a-1，

解②得x≤5，

∴不等式组的解集为a-1＜x≤5，

∵所有整数解的和为，

∴整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，-1，

∴1≤a-1＜2或-1≤a＜0，

∵a为整数，

∴的值为2或-1，

故答案为：2或-1

【分析】先分别解不等式①和②即可得到不等式组的解集，进而根据题意即可求解。

15．【答案】7

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：由题意得，

∵是方程的两个实数根，

∴，

∴，

∴k=7，

故答案为：7

【分析】根据根与系数的关系求出，再代入方程即可求解。

16．【答案】7

【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解：由题意得，

解①得，

解②得，

∴不等式组的解集为，

∴不等式组的整数解为-2，-1，0，1，2，3，4，

∴-2-1+0+1+2+3+4=7，

故答案为：7

【分析】先分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再结合题意即可求解。

17．【答案】（1）-7

（2）

【知识点】一元二次方程的根；反比例函数的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：（1）∵是“和谐点”，

∴9=4m+t，，

∴，

解得m=-7，m=3（舍去），

故答案为：-7；

（2）设点（a，）为双曲线上的“和谐点”，

∴，

∴，

解得（-3＜a＜-1），

对于

当a=-3时，k=3，

当k=-1时，k=3，

∴当a=-2时，k取最大值4，

∴，

故答案为：

【分析】（1）根据题意即可得到9=4m+t，，进而得到一元二次方程，解方程即可求解；

（2）先根据反比例函数的性质设点（a，）为双曲线上的“和谐点”，根据题意即可得到，进而得到（-3＜a＜-1），再根据二次函数的图象和性质即可求解。

18．【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，

∴，，，

∴，

∵，即，

∴不论为何值，方程总有实数根；

（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，

∴，，

∵，

∴，

∴，整理，得，解得，，

∴m的值为或．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；

（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。

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2023年四川省中考数学真题分类汇编：不等式与不等式组、一元二次方程

一、选择题

1．（2023·泸州）关于的一元二次方程的根的情况是（）

A．没有实数根

B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根

D．实数根的个数与实数的取值有关

【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：∵一元二次方程，

∴，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根，

故答案为：C.

【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。

2．（2023·广元）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：，

∵△=b2-4ac=（-3）2-4×2×=-3＜0，

∴此方程无实数根；

故答案为：C.

【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.

3．（2023·广安）已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为()

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法判定

【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；点的坐标与象限的关系

【解析】【解答】解：

∵点在第四象限，

∴a＞0，c＜0，

∴，

∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

故答案为：B

【分析】先根据象限内点的特征结合一元二次方程的判别式即可求解。

4．（2023·眉山）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得，

故答案为：D

【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系即可求解。

5．（2023·眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解：由题意得，

解②得x＜3，

∴不等式组的解集为m+3＜x＜3，

∴关于x的不等式组的整数解为2，1，0，-1，

∴-2≤m+3＜-1，

∴，

故答案为：A

【分析】先解不等式组即可得到不等式组的解集，再结合题意即可求出m的取值范围。

6．（2023·遂宁）若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【解答】解：由题意得，

解①得x＞3，

解②得x＞a，

∵若关于x的不等式组的解集为，

∴，

故答案为：D

【分析】先分别解不等式组，再根据不等式组的解结合题意即可求解。

7．（2023·乐山）若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（）

A．4B．8C．12D．16

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：

∵关于x的一元二次方程两根为，

∴x1+x2=8，x1x2=m，

∵，

∴，

∴m=12，

故答案为：C

【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到x1+x2=8，x1x2=m，进而结合题意即可得到，从而即可求解。

8．（2023·泸州）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；菱形的性质

【解析】【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为x1，x2，

由题意可得：，

解得：m=22，

∴一元二次方程为，

解得：，，

即菱形的两条对角线的长分别为，，

∴菱形的边长为：，

故答案为：C.

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出m=22，再求出菱形的两条对角线的长分别为，，最后利用勾股定理计算求解即可。

9．（2023·自贡）下列说法正确的是（）

A．甲乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定

B．某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次

C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查

D．是不等式的解，这是一个必然事件

【答案】D

【知识点】不等式的解及解集；全面调查与抽样调查；概率的意义；方差；事件发生的可能性

【解析】【解答】解：

A、∵，

∴，

∴甲的成绩更稳定，A不符合题意；

B、某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，B不符合题意；

C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，C不符合题意；、

D、∵，

∴，

∴是不等式的解，这是一个必然事件，D符合题意；

故答案为：D

【分析】根据方差的定义、概率、全面调查和抽样调查、不等式的解和必然事件的定义即可求解。

10．（2023·南充）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是()

A．B．或

C．D．或

【答案】B

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况

【解析】【解答】解：∵与x轴的一个交点为，

∴存在实数根，

∴，

解得，

当k≤-5时，画出图像如图所示：

∴当x=-2时，，

解得，

当k≥1时，画出图像如图所示：

当x=-2时，，

解得，

∴，

故答案为：B

【分析】先根据题意得到存在实数根，进而运用一元二次方程的判别式即可得到，再分类讨论结合题意即可求解。

二、填空题

11．（2023·内江）已知a、b是方程的两根，则．

【答案】

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：∵a、b是方程的两根，

∴a+b=-3，，

∴，

故答案为：-2

【分析】先根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，，进而代入即可求解。

12．（2023·遂宁）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为．

【答案】2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，

∴a+b=3，ab=1，

∴，

故答案为：2

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=3，ab=1，进而即可求解。

13．（2023·宜宾）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为．

【答案】2

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：不妨设两根分别为a和b，

∵，

∴a+b=2m+2，ab=m+4，

∵关于x的方程两根的倒数和为1，

∴，

解得m=2.

经检验，x=2为分式方程的解，

∴，

故答案为：2

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意即可求解。

14．（2023·宜宾）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为．

【答案】2或-1

【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解：

解①得x＞a-1，

解②得x≤5，

∴不等式组的解集为a-1＜x≤5，

∵所有整数解的和为，

∴整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，-1，

∴1≤a-1＜2或-1≤a＜0，

∵a为整数，

∴的值为2或-1，

故答案为：2或-1

【分析】先分别解不等式①和②即可得到不等式组的解集，进而根据题意即可求解。

15．（2023·达州）已知是方程的两个实数根，且，则的值为．

【答案】7

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：由题意得，

∵是方程的两个实数根，

∴，

∴，

∴k=7，

故答案为：7

【分析】根据根与系数的关系求出，再代入方程即可求解。

16．（2023·凉山）不等式组的所有整数解的和是．

【答案】7

【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解

【解析】【解答】解：由题意得，

解①得，

解②得，

∴不等式组的解集为，

∴不等式组的整数解为-2，-1，0，