《勾股定理的逆定理》课件

第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

（第1课时）八年级下册第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

（第1课时1课件说明课题内容勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆命题的概念及相互关系.学习目标理解勾股定理的逆定理.了解互逆命题、互逆定理.课件说明课题内容学习目标理解勾股定理的逆定理.2创设情境，提出问题问题1：你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论.追问1：你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？追问2：“如果三角形三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题.创设情境，提出问题问题1：你能说出勾股定理吗？并指出定理的3古埃及人曾用下面的方法得到直角实验观察古埃及人曾用下面的方法得到直角实验观察4问题2：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。实验观察问题2：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？用13个等距5345追问：这个三角形的三条边有什么关系吗?324252+=实验观察345追问：这个三角形的三条边有什么关系吗?324252+=6（1）下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm）画三角形：

①2.5，6，6.5；②4，7.5，8.5.动手画一画（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数.（3）想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想.实验操作提出猜想（1）下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这7问题2由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的形式说出你的观点!

命题2

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2实验操作提出猜想问题2由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的形式说出你8归纳概念两个命题的题设和结论正好相反，象这样的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.

问题3：把勾股定理记着命题1，上面的结论作为命题2.命题1和命题2的题设和结论分别是什么？

问题4：命题1和命题2的题设和结论有着什么的关系？归纳概念两个命题的题设和结论正好相反，象这样的两个命题叫做9

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题归纳概念如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，10问题5:请同学们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？举例说明．追问1：在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成吗？问题6:原命题正确，它的逆命题不一定正确.那么勾股定理的逆命题正确吗？如果你认为是真确的，你能证明这个命题“如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形”吗？问题5:请同学们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题正确，11勾股定理逆定理的证明已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形.A′B′C′BCA证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C’=a,C’A’=b∴A’B’=c∵边长取正值∴A’B’2=c2∵a2+b2=c2∵∠C/=900∴A’B’2=a2+b2勾股定理逆定理的证明已知:在△ABC中，AB=cBC=a12勾股定理逆定理的证明在△ABC和△A’B’C’中BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）∴∠C=∠C/=90°则△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）勾股定理逆定理的证明在△ABC和△A’B’C’中BC=a13定理与逆定理

我们已经学习了一些互逆的定理,如:(1)勾股定理及其逆定理；(2)两直线平行,内错角相等;(3)内错角相等,两直线平行.(4)角的平分线的性质与判定；(5)线段的垂直平分线的性质与判定.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如14(1)a＝15,b＝8,

c＝17(2)a＝13,b＝14,

c＝15分析：根据勾股定理的逆定理，一个三角形中两条较小边长的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形

例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：定理应用(1)a＝15,b＝8,c＝17(2)a＝115解（1）152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴这个三角形是直角三角形（2）132+142=169+196=365152=225

因为132+142≠152，

根据勾股定理，这个三角形不是三角形.定理应用勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数解（1）152＋82＝225＋64＝289定理应用勾股数16定理应用所以这个三角形是直角三角形.定理应用所以这个三角形是直角三角形.17练习：同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数.（1）3,4，

，（2）6,8，

，（3）7,24,

，（4）5,12，

，（5）9,12，

.练习：同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数.18基础过关题：(1)直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于

cm.(2)已知两条线段的长为3cm和4cm,当第三条线段的长为

cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.(3)△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD=

cm；AB边上的高CE=

cm

（4）下列命题中是假命题的是(

)(A)△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.

(B)△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.

(C)△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.

(D)△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.基础过关题：（4）下列命题中是假命题的是(

)191、请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、——；（2）10、26、——。2、三角形三边长分别为、

、则这个三角形是——。1、请完成以下未完成的勾股数：203、如图，△ABC中，CD是AB边上的高，且,求证：△ABC是直角三角形。ABCD3、如图，△ABC中，CD是AB边上的高，ABCD214、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上的一点，且,求证：∠EFA=90°.

ABCDFE4、在正方形ABCD中，F为DC的中点，ABCDFE225、如图，在等边△ABC中，D为三角形内一点，且BD=3，DA=4，DC=5.将△BDA沿顺时针旋转60°使点D到D′,求∠BD′C的度数。ABCD′D5、如图，在等边△ABC中，D为三角形内一ABCD′D238：如图，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向6OOkm的B处，以每小时2OOkm的速度向北偏东6O°的BF方向移动，距台风中心5OOkm的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间?8：如图，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向6OOkm的24课堂练习1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝6.5,b＝7.5,

c＝4(2)a＝11,b＝60,

c＝61课堂练习1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形252、已知a，b，c为△ABC的三边,且满足

试判断△ABC的形状.2、已知a，b，c为△ABC的三边,且满足26课堂小结（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？（2）原命题、逆命题之间的关系.

（3）用什么方法证明勾股定理的逆定理?课堂小结（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？27目标检测设计1.以长度分别为下列各组数的线段为边，能构成直角三角形的有哪些？(1)1,2,

3(2)6,8,

14(3)2,1.5,2.5目标检测设计1.以长度分别为下列各组数的线段为边，能构成直角282.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗？（1）两条直线平行，内错角相等（2）对顶角相等（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等目标检测设计2.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真命题吗？（1）293.已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?ABCD目标检测设计3.已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，B30第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

（第2课时）八年级下册第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

（第2课时31课件说明1.内容应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题.2.学习目标（1）灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.（2）进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.3.教学重难点灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题.课件说明1.内容2.学习目标3.教学重难点32复习反思，引出课题问题1：通过前面的学习，我们对勾股定理及其逆定理的知识有一定的了解，请说出勾股定理及其逆定理的内容.追问1：你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题？复习反思，引出课题问题1：通过前面的学习，我们对勾股定理33问题2：

“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？PEQRN远航海天点击范例，以练促思追问1：请同学们认真审题，弄清已知是什么？解决的问题是么？追问2：你能根据题意画出图形吗？分析：如何确定航向：由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.问题2：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固34PEQRN远航海天解：根据题意，由“远航”号沿东北方向航行可知.因此,即“海天”号沿西北方向航行.点击范例，以练促思PEQRN远航海天解：根据题意，由“远航”号沿东北方向航行可35练习1.课本33页练习第3题。练习2.在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？初步应用、巩固知识练习1.课本33页练习第3题。练习2.在港有甲、乙两36问题3实验中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？DCBA综合应用、深化提高问题3实验中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校37反思小结，观点提炼（1）知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应用；（2）方法归纳：数学建模的思想.反思小结，观点提炼（1）知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应38例2.如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B.C两个村庄,现要在B.C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通,经测得AB=600m,AC=800m,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.ABC4001000D例2.如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心39应用拓展：如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE=BC，则AF⊥EF，试说明理由解：连接AE∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC∴根据勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EFA应用拓展：如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中解：403．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.51．请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______．

4.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=

.ADC6449173．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．416.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,则2CD2+AD2+BD2=＿＿＿＿;7.三角形的三边长a,b,c满足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形为＿＿＿＿＿三角形.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,则42

9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？10．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另4311、如图，已知：CD⊥AB于D，求证：△ACB为直角三角形ABDC证明：∵CD⊥AB

∴AC2=AD2+CD2BC2=CD2+BD2

∵AC2=AD×AB∴AD2+CD2=AD×AB∴CD2=AD×AB－AD2=AD(AB－AD)=AD×BD∴BC2=CD2+BD2=AD×BD+BD2

=BD(AD+BD)=BD×AB∴AC2+BC2=AD×AB+BD×AB=AB(AD+BD)=AB2∴△ACB为直角三角形.11、如图，已知：CD⊥AB于D，ABDC证明：∵CD⊥A44CD=cm,AD=2cm,AC⊥AB。12、已知：在四边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,求：S四边形ABCDCD=cm,AD=2cm,AC⊥AB。12、已知：在四边45∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵AB=3cm,BC=5cm又∵CD=2cmAD=2cm(已知)∴AC2=16,CD2+AD2=12+4=16∴AC2=CD2+AD2∴∠ADC=900(勾股定理的逆定理)∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD∴=×3×4+×2•2=6+2(cm2)=AB•AC+AD•CD解（1）∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵46边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的X轴和Y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交X轴于点D，求（1）三角形ADC的面积，（2）点B1的坐标，（3）AB1所在的直线解析式。OCBAB1D123E边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的X轴和Y轴471、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．2、已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．提升“学力”1