2022-2023学年上海市杨浦区重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知常数，直线：，：，则是的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为()

A.B.C.D.

3.若直线与圆：相交，则点与圆的位置关系是()

A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.以上都有可能

4.在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，点在直线上运动，为坐标原点，为的重心，则、、中正数的个数为，则的值的集合为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.半径为，弧长为的扇形的圆心角为______弧度．

6.函数的最小正周期是______．

7.向量的单位向量为______．

8.若角的终边过点，则的值为．

9.如果复数其中为虚数单位，则______．

10.已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为______．

11.在中，角，，所对的边为，，，若，，，则角______．

12.直线：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是______．

13.已知函数的最大值为______．

14.直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为______．

15.已知常数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则的取值范围是______．

16.已知常数，集合，，若，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知直线：．

若直线：，求直线与直线的夹角；

若直线与直线的距离等于，求直线的一般式方程．

18.本小题分

设常数，已知关于的方程．

若，求该方程的复数根；

若方程的两个复数根为、，且，求的值．

19.本小题分

记

求关于的方程的解集；

求函数的单调减区间．

20.本小题分

如图，设是半径为的圆的内接正六边形，是圆上的动点．

求的最大值；

求证：为定值；

对于平面中的点，存在实数与，使得，若点是正六边形内的动点包含边界，求的最小值．

21.本小题分

设是一个关于复数的表达式，若其中，，，，为虚数单位，就称将点“对应”到点例如：将点“对应”到点．

若，点“对应”到点，点“对应”到点，求点、的坐标．

设常数，，若直线：，，是否存在一个有序实数对，使得直线上的任意一点“对应”到点后，点仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由．

设常数，，集合且和且，若满足：对于集合中的任意一个元素，都有；对于集合中的任意一个元素，都存在集合中的元素使得请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，则直线：，：，

这两条直线的斜率都为，且不重合，则，

反之，若，则，，

当时直线：，：，

此时两条直线的斜率都为，且不重合，则，

则是的充分不必要条件．

故选：．

两条不重合的直线，若斜率相等，则平行，由此可判断．

本题考查两条直线的位置关系，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：函数的图像关于点中心对称，

，，

即，，

当，，

即的最小值为，

故选：．

根据函数的对称性，求出的表达式，然后进行求解即可．

本题主要考查三角函数的性质，利用余弦函数的对称性进行求解是解决本题的关键，是基础题．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查直线和圆的位置关系，点与圆的位置关系，是基础题．

先求圆心到直线的距离，通过关系判断点与圆的位置关系．

【解答】

解：直线与圆：相交，

圆心到直线距离，得，

则点到圆心距离为．

点与圆的位置关系为：在圆外．

故选：．

4.【答案】

【解析】解：设，，

因为为的重心，所以，即，

令，则；

令，则；

令恒成立，

所以当或时，；当时，，

综上，的值的集合为．

故选：．

利用重心坐标公式表示出点的坐标，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，并解不等式，分类讨论，即可．

本题考查平面向量数量积的坐标运算，重心坐标公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

5.【答案】

【解析】解：因为扇形的半径为，弧长为，

所以扇形的圆心角弧度．

故答案为：．

利用扇形的弧长公式即可求解．

本题考查了扇形的弧长公式的应用，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：函数的最小正周期是，

故答案为：．

由题意，利用正切函数的周期性，得出结论．

本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：，

，

．

故答案为：．

可求出，从而得出，代入坐标即可．

本题考查了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．

8.【答案】

【解析】

【分析】

利用三角函数的诱导公式以及三角函数的定义进行转化求解即可．

本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的定义是解决本题的关键．

【解答】

解：，

角的终边过点，

，

则，

故答案为：

9.【答案】

【解析】解：复数其中为虚数单位，

．

故答案为：．

利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．

本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：设点，

、，

，，

，

，解得，

故答案为：

设点，求出，的坐标，再结合，求出，的值即可．

本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．

11.【答案】

【解析】解：中，，，，

由余弦定理得，

有，

所以．

故答案为：．

利用余弦定理求出，再根据反余弦函数求出的值．

本题考查了余弦定理和反余弦函数的应用问题，是基础题．

12.【答案】

【解析】解：直线：绕着点逆时针旋转与直线重合，

设直线的斜率为，则，解得，

所以直线的点斜式方程为：，

化为斜截式方程是．

故答案为：．

根据题意画出图形，结合图形利用直线到直线的角正切公式求出直线的斜率，再写出点斜式方程，化为斜截式方程．

本题考查了直线的方程与应用问题，是基础题．

13.【答案】

【解析】解：，

，

所以函数的最大值为：．

故答案为：．

根据三角函数的性质，利用辅助角公式，即可求出答案．

本题考查三角函数的性质，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：如图建立平面直角坐标系，，，，

三角形外接圆，

设，则，，

，

故答案为：．

建立坐标系，设，则，，

本题考查了圆的参数方程、三角函数的单调性、数量积坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。

15.【答案】

【解析】解：由，可得，

由题意可得，

即直线与曲线只有一个交点，

又因为曲线表示以原点为圆心，为半径且位于轴上及上方的半圆，

如图所示：

当直线过时，，此时直线与半圆只有一个交点，

当直线过点时，，此时直线与半圆有两个交点，

结合图象，当直线与半圆相切时，，

综上所述，的取值范围是

故答案为：

将问题转化为直线与曲线只有一个交点，作出图象，结合图象求解即可．

本题考查了转化思想、数形结合思想及直线与圆的位置关系，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：设，则，

，由，有，

，整理得，

所以集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部，

而集合表示以为圆心，为半径的圆或其内部，如图所示，

若，则两圆内含或内切，

，

，解得，

即的取值范围是

故答案为：

从复数模的几何意义进行分析，将的集合关系转化为圆的内切或内含问题，利用半径关系即可求解．

本题考查了复数的几何意义，圆与圆的位置关系，属中档题．

17.【答案】解：因为直线：，斜率为，

直线：，，

计算，所以，

即直线与直线的夹角为；

若直线与直线的距离等于，则，

设直线的一般式方程为，则，

解得，

所以直线的一般式方程为．

【解析】求出直线的斜率，利用斜率判断两直线垂直，从而得出两直线的夹角；

根据题意判断两直线平行，利用两平行直线间的距离公式求解即可．

本题考查了直线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

18.【答案】解：若，

则，即，解得；

方程的两个复数根为、，

则，，

，

，解得．

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解；

根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

19.【答案】解：，

令，即，

即，

即，

解得或，，

故关于的方程的解集是或，．

，

，

令，即，

解得：，，

故的递减区间是．

【解析】解方程，求出方程的解集即可；求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．

本题考查了三角函数问题，考查函数的单调性，方程的解，考查导数的应用，是中档题．

20.【答案】解：因为，均在圆上运动，

则

，圆上两点间直径最长；

证明：因为、为圆直径的两端，为圆上的动点，

所以，

故

．

即为定值；

建立如图所示的坐标系，则，，

则由

，即，

要使最小，只需使最大，即点的纵坐标最大，

由点在正六边形上及其内部运动，

则，，从而，

即的最小值为．

【解析】根据向量的线性运算及圆上两点直径最短可求得；

由、在直径两端点上，在圆上运动，可知所证式等于直径的平方，为定值；

建立坐标系，将的几何意义找出来，从而求得最小值．

本题考查平面向量的基本运算，坐标法解决平面向量相关问题，属中档题．

21.【答案】解：由知，则，故，

设，则，

由知，，则，，即；

直线上的任意一点“对应”到点，

所以，，且，

所以，，即，

由题意，点仍在直线上，

则，又，

则，

展开整理得，

则，解得，

所以，所求的有序实数对为；

满足条件的一个有序实数对为，

即，，，证明如下：