高一数学第一单元测试卷

高一数学第一单元测试卷一、选择题（每题4分，共40分）1.已知集合$U=\{-2,-1,0,1,2,3\},A=\{-1,1\},B=\{-1,0,1\}$，则$(C\cupA)\capB=$A.$\{-1,0,1\}$B.$\{-1,1\}$C.$\{0\}$D.$\varnothing$2.已知函数$f(x)=ax^2+bx+3(a,b\in\mathbb{R})$，若$f(2)=5$，则$f(-2)=$A.4B.3C.2D.13.已知函数$f(x)$是定义在$(-\infty,b-3]$上的奇函数。若$f(2)=3$，则$a+b=$A.1B.2C.3D.44.函数$y=\dfrac{9-x^2}{x+4}+\dfrac{x-3}{x+4}$的图象关于哪一条直线对称？A.$x$轴B.$y$轴C.原点D.直线$x-y=0$5.函数$f(x)=\dfrac{x}{x-1}\cdot\dfrac{1}{x-4}$的图象可能是A.B.C.D.6.已知非空集合$A,B$满足以下两个条件：(i)$A\cupB=\{1,2,3,4,5,6\}$，$A\capB=\varnothing$；(ii)若$x\inA$，则$x+1\inB$。则有序对$(A,B)$的个数为A.12B.13C.14D.157.函数$f(x)=\sqrt{x-2}+\dfrac{2}{x-4}$在区间$(2,4]$上的值域为A.$\left[\dfrac{3}{2},+\infty\right)$B.$\left[3,+\infty\right)$C.$\left[\dfrac{15}{8},+\infty\right)$D.$\left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)$8.已知$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，且$f(2+x)=f(-x)$，$f(1)=3$，则$f(2018)+f(2019)=$A.$-3$B.$0$C.$3$D.$6$9.设函数$f(x)=\min\{x-3,2x,x+3\}$，其中$\min\{x,y,z\}$表示$x,y,z$中的最小值。下列说法错误的是A.函数$f(x)$是偶函数B.若$x\in\left(-\infty,-\dfrac{2}{3}\right)$，则$f(x)=x+3$C.若$x\in\left(-\dfrac{2}{3},3\right)$，则$f(x)=2x$D.若$x\in\left(3,+\infty\right)$，则$f(x)=x-3$10.已知非空集合$A,B$满足$A\subseteqB$，$B\subseteqA\cup\{5\}$，则A.$A=B$B.$A=\varnothing$C.$B=\{5\}$D.$B\neq\varnothing$二、填空题（每空2分，共20分）11.已知函数$f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$，则$f(x)+f(-x)=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。12.若集合$A=\{x\mid-1\leqx\leq3\}$，$B=\{x\mid1\leqx\leq5\}$，则$A\capB=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。13.函数$f(x)=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}$在区间$(1,2)$上的最小值为\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。14.已知函数$f(x)=\dfrac{x^2-4x+5}{x-2}$，则$f(3)=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。15.在三角形$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，则$\sinB=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。16.若$\log_2a+\log_2b=4$，$\log_2a-\log_2b=2$，则$a=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。17.若$a,b$均为正数，$a+b=1$，则$a\ln\dfrac{1}{a}+b\ln\dfrac{1}{b}=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。18.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}$，则$f(x)=0$的根为$x=$\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}。19.已知函数$f(x)=\dfrac{x^2-4x+5}{x-2}$，则$f(x)$的值域为$\left(\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}},+\infty\right)$。20.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}$，则$f(x)$的单调递增区间为$\left(\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}},\underline{\hphantom{~~~~~~~~~}}\right)$。三、解答题（共40分）21.（8分）已知函数$f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x-2}$，求$f(x)$的零点和间断点，并画出$f(x)$的函数图象。解：首先，$f(x)$的零点为$x=1,x=2$，$f(x)$的间断点为$x=2$。其次，当$x\neq2$时，$f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$，所以$f(x)$的函数图象为一条直线$y=x+1$。当$x=2$时，$f(x)$的左右极限分别为$-1$和$3$，所以$x=2$是$f(x)$的一个间断点，且为可去间断点。在$x=2$处，将$f(x)$的值改为其左极限$-1$，则$f(x)$的函数图象为：（图略）22.（8分）已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}$，求$f(x)$的单调区间。解：首先，$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}\backslash\{1,2\}$。其次，当$x<1$时，$x-1<0$，$x-2<0$，所以$f(x)<0$，即$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减。当$1<x<2$时，$x-1>0$，$x-2<0$，所以$f(x)>0$，即$f(x)$在$(1,2)$上单调递增。当$x>2$时，$x-1>0$，$x-2>0$，所以$f(x)>0$，即$f(x)$在$(2,+\infty)$上单调递增。综上所述，$f(x)$的单调递增区间为$(1,+\infty)$，单调递减区间为$(-\infty,1)$。23.（12分）已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}$，$g(x)=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}$。（1）判断函数$f(x)$和$g(x)$的奇偶性，并说明理由。（2）求函数$f(x)$和$g(x)$的反函数，并写出其定义域和值域。解：（1）首先，$f(-x)=\dfrac{1}{-x-1}+\dfrac{2}{-x-2}=-\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x+2}=-f(x)$，所以函数$f(x)$是奇函数。其次，$g(-x)=\dfrac{1}{-x-1}+\dfrac{1}{-x-2}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+2}=g(x)$，所以函数$g(x)$是偶函数。（2）对于函数$f(x)$，有$y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}$，交换$x,y$得$x=\dfrac{1}{y-1}+\dfrac{2}{y-2}$，整理得$y^2-3y+2=\dfrac{1}{x}$。由于$x\neq1$，所以$y\neq0$，即$y^2-3y+2\neq0$。解出$y$可得$y=\dfrac{3\pm\sqrt{5+4x}}{2}$。因此，函数$f(x)$的反函数为$$f^{-1}(x)=\frac{3\pm\sqrt{5+4x}}{2(x-1)}$$其中$x\in\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{5}{4},+\infty\right)$。对于函数$g(x)$，有$y=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}$，交换$x,y$得$x=\dfrac{1}{y-1}+\dfrac{1}{y-2}$，整理得$y^2-3y+1=\dfrac{1}{x-1}$。由于$x\neq1,2$，所以$y\neq0$，即$y^2-3y+1\neq0$。解出$y$可得$$y=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$$因此，函数$g(x)$的反函数为$$g^{-1}(x)=\frac{3\pm\sqrt{5(4x-1)}}{2(x-1)}$$其中$x\in\left(-\infty,1\right)\cup\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)$。值域为$\left(-\infty,\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\cup\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},+\infty1.题目中的符号应该使用数学符号，如≤，[]应该用{}代替。C.若$x\in\mathbb{R}$，则有$f(f(x))\leq2f(x)$。D.若$x\in[1,+\infty)$，则有$f(x-2)\leqf(x)$。2.改写后的文章：已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2+1&(x\leq1)\\2x&(x>1)\end{cases}$，求$f(f(-2))$和$f(x)=6x-x^2$的单调增区间、定义域和值域的取值范围，以及使不等式$f(1-m)+f(1-m^2)<0$成立的实数$m$的取值范围，以及对于给定负数$