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§5矢量空间的直和与直积

§5-1直和空间§5-2直积空间§5矢量空间的直和与直积§5-1直和空间§5-21§5-1直和空间§5-1直和空间2这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。

定义这个空间中的三种运算：加法：

（5.1）

在直和空间中的加法单位元（零矢量）是数乘：

内积：

（5.2）

（5.3）

如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积可按分配律展开。

这一类双矢量及其叠加可以构成一个新的矢量空间。定义这个空间3（5.5）

（5.6）

如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢量，则上式可按分配律展开。算符的加法和乘法可根据上述定义得出：（5.7）

（5.5）（5.6）如果认定一个空间的算符4(5.8)

直和空间的维数：(5.8)直和空间的维数：5由此可以看出，若取直和空间的基矢为（5.9）

（5.10）

由此可以看出，若取直和空间的基矢为（5.9）（5.10）6高等量子力学-第五章-矢量空间的直和与直积ppt课件7（5.11）

（5.11）8（5.12）

（5.12）9（5.13）

（5.14）

（5.13）（5.14）10当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切关系都是明显的，这里不在赘述。当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切11高等量子力学-第五章-矢量空间的直和与直积ppt课件12§5-2直积空间（5.17）

§5-2直积空间（5.17）13数乘：

(5.18)

内积：

此外，还有一个直积的分配律：(5.19)

(5.20)

(5.21)

数乘：(5.18)内积：此外，还有一个直积的分配律：(14算符运算有下列的关系：(5.22)

(5.23)

(5.24)

从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢量有作用，对别的空间的矢量没有作用，习惯了以后，算符间的乘号也可以省去。

算符的直积：算符运算有下列的关系：(5.22)(5.23)(5.2415(5.25)

(5.25)16这时

(5.26)

(5.27)

(5.28)

这时(5.26)(5.27)(5.28)17可以写成

可以写成18(5.30)

直积算符的矩阵表示：(5.30)直积算符的矩阵表示：19此式可以写成一种便于记忆的形式：(5.32)

(5.31)

此式可以写成一种便于记忆的形式：(5.32)(5.31)20在矩阵理论中，上面的矩阵公式称为矩阵的直积，两个矩阵（可以不是方阵）的直积的定义就是（5.31）式。以上我们对于两个矢量空间的直积作了一些讨论，当然也可以用同样的方法讨论两个以上空间

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