贵州省贵阳市开阳县龙水乡中学2021年高一数学文上学期期末试题含解析

贵州省贵阳市开阳县龙水乡中学2021年高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合，下图中阴影部分所表示的集合为(

)A．

B．C．

D．参考答案：B2.过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0参考答案：A【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程．【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．3.已知，则cosθ的值等于（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】要求cosθ，就需要把条件里的sinθ转化为cosθ消去，所以利用已知条件解出sinθ，两边平方再根据同角三角函数间的基本关系化简可得到关于cosθ的一元二次方程，求出方程的解即可．【解答】解：由已知变形为2+2sinθ+2cosθ=1+sinθ﹣cosθ，解得sinθ=﹣1﹣3cosθ；两边平方得：sin2θ=1﹣cos2θ=（﹣1﹣3cosθ）2，化简得：5cos2θ+3cosθ=0即cosθ（5cosθ+3）=0，由题知cosθ≠0，所以5cosθ+3=0即cosθ=﹣．故选B4.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（

）A．90°

B．60°

C．45°

D．30°参考答案：C如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，∴∠DBE=.故选C.

5.函数f（x）=+的定义域为(

)A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．【解答】解：根据题意：，解得：﹣3＜x≤0∴定义域为（﹣3，0]故选：A．【点评】本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法．6.（多选题）下列判断中哪些是不正确的（

）A.是偶函数B.是奇函数C.是偶函数D.是非奇非偶函数参考答案：AD【分析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可．【详解】A.的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，该判断错误；B.设，，则，同理设，也有成立，是奇函数，该判断正确；C.解得，，的定义域关于原点对称，且，是偶函数，该判断正确；D.解得，，或，，是奇函数，该判断错误.故选：AD.【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题．7.已知向量，，则＝（

）A.－1 B.0 C.1 D.2参考答案：C【分析】由向量的坐标运算表示，再由数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：因为，则；故选C．【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．8.过点且垂直于直线

的直线方程为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.在中，，，，若把绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（

）A. B.

C.

D.参考答案：B略10.（5分）若f（x）=，则f（x）的最大值，最小值分别为（） A． 10，6 B． 10，8 C． 8，6 D． 8，8参考答案：A考点： 函数的最值及其几何意义．专题： 计算题．分析： 分段求出f（x）的最大值，最小值，再确定分段函数的最大值，最小值．解答： 由题意，x∈[1，2]，f（x）=2x+6，函数为增函数，∴f（x）的最大值，最小值分别为10，8；x∈[﹣1，1]，f（x）=x+7，函数为增函数，∴f（x）的最大值，最小值分别为8，6；∴f（x）的最大值，最小值分别为10，6故选A．点评： 本题重点考查分段函数的最值，解题的关键是分段求函数的最值，再确定分段函数的最大值与最小值二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为．参考答案：{x|x＜3}【考点】其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式解关于x≥2时的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2时，不等式f（x）＜恒成立，x≥2时，x﹣＜，解得：2≤x＜3，综上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案为：{x|x＜3}．【点评】本题考查了分段函数问题，考查解不等式问题，是一道基础题．12.设奇函数在(0,+∞)上为增函数，且，则不等式的解集为__________．参考答案：(－1,0)∪(0,1)∵函数是奇函数，∴，∴不等式等价于，即或．根据条件可作出—函数的大致图象，如图所示：故不等式的解集为．13.坐标原点和点（1,1）在直线的两侧，则实数的取值范围是______参考答案：略14.幂函数的图象经过点，则的解析式是

▲

；参考答案：15.在平面直角坐标系中，已知点在曲线上，点在轴上的射影为.若点在直线的下方，当取得最小值时，点的坐标为

．

参考答案：

设点的坐标为，由题意，点的坐标为，又点在直线的下方，，即.当且仅当时取等号.16.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点到三个面的距离分别是3，4，5，则的长为

．参考答案：略17.设点在角的终边上，(是坐标原点)，则向量的坐标为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（I）做出辅助线，连接OE，由条件可得SA∥OE．根据因为SA?平面BDE，OE?平面BDE，得到SA∥平面BDE．（II）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直．（III）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE．因为SA?平面BDE，OE?平面BDE，所以SA∥平面BDE．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，则O（0，0，0），S（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0）．所以=（﹣20，0），=（0，，0）．设CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°．所以E（﹣+a，0，a），=（﹣+，﹣，）．设平面BDE法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，得n=（，0，1）．易知=（0，，0）是平面SAC的法向量．因为n?=（，0，1）?（0，﹣，0）=0，所以n⊥，所以平面BDE⊥平面SAC．（Ⅲ）设CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为n=（，0，1）．因为SO⊥底面ABCD，所以=（0，0，）是平面BDC的一个法向量．由已知二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．所以|cos（，n）|=cos45°=，所以，解得a=1．所以点E是SC的中点．19.已知四棱锥A﹣BCDE中，侧面△ABC为等边三角形，BE=AB，CD=2AB，CD∥BE，且CD⊥平面ABC，F为棱AD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面ADE⊥平面ACD；（3）若等边△ABC的边长为a，求四棱锥A﹣BCDE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AC中点G，连接FG，BG，推导出FGBE为平行四边形，从而EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．（2）推导出BG⊥AG，CD⊥BG，从而BG⊥面ADC，进而EF⊥面ADC，由此能证明面ADE⊥面ADC．（3）取BC的中点M，连接AM，推导出AM为四棱锥A﹣BCDE的高，由此能求出四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（1）取AC中点G，连接FG，BG，∵F，G分别是AD，AB的中点，∴FG∥CD，且，∵BE∥CD，∴FG与BE平行且相等，∴FGBE为平行四边形，∴EF∥BG．又EF?面ABC，BG?面ABC，∴EF∥面ABC．（2）∵△ABC为等边三角形，∴BG⊥AG，又∵CD⊥面ABC，BG?面ABC，∴CD⊥BG，∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，CD，∴BG⊥面ADC，∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC，∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．解：（3）取BC的中点M，连接AM，∵△ABC为等边三角形，∴AM⊥BC，又AM⊥CD，AM⊥平面BCDE，故AM为四棱锥A﹣BCDE的高，∵AB=a，∴，又，∴．20.(本题满分14分)已知关于x的不等式.(1)当时，求此不等式的解集.(2)求关于x的不等式（其中）的解集.参考答案：(1)；所以不等式为，再转化为，…3分所以原不等式解集为…5分(2)不等式可化为，即；…7分当时，，不等式的解集为或；…9分当时，,不等式的解集为；…11分当时，,不等式的解集为或；…13分综上所述，原不等式解集为①当时，或,②当时，，③当时，或；…14分

21.（8分）求下列函数的定义域（1）f（x）=（2）f（x）=（3）f（x）=lg（x+1）（4）f（x）=．参考答案：考点： 函数的定义域及其求法．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据f（x）的解析式，求出使函数解析式有意义的自变量的取值范围即可．解答： （1）∵f（x）=，∴2x﹣1≠0，解得x≠，∴f（x）的定义域是；（2）∵f（x）=，∴3x﹣5≥0，解得x≥，∴f（x）的定义域是；（3）∵f（x）=lg（x+1），∴x+1＞0，解得x＞﹣1，∴f（x