工程力学第二章平面力系

工程力学第二章平面力系第1页，课件共111页，创作于2023年2月1几何法（图解法）2-1.1平面汇交力系合成与平衡一.两个汇交力的合成(力三角形)第2页，课件共111页，创作于2023年2月力三角形规则二.多个汇交力的合成(力多变形)第3页，课件共111页，创作于2023年2月

把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。RF1BF2CF3DF4EA

（空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。给实际作图带来困难。）第4页，课件共111页，创作于2023年2月

用几何法作力多边形时，应当注意以下几点：1要选择恰当的力的比例尺。按力的比例尺画出各力的大小，并准确地画出各力的方向。只有这样，才能从图上准确地表示出合力的大小和方向。2作力多边形时，可以任意变换力的次序，虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结果并不改变。3力多边形中诸力应首尾相连。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点。F1F1F2FnFnR力多边形的封闭边各力的汇交点F1F2F2F2RRRRF1F2FnR第5页，课件共111页，创作于2023年2月三.平面汇交力系平衡的几何条件平衡条件力多边形自行封闭第6页，课件共111页，创作于2023年2月（1）、共点力系的合成结果

该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。

共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。矢量的表达式：R=F1+F2+F3+···+Fn（2）、共点力系平衡的充要几何条件：三.平面汇交力系平衡的几何条件第7页，课件共111页，创作于2023年2月例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。Q600600CBAQ300300解：取力系的汇交点A为研究对象作受力图A.QTBTC按一定比例尺作出已知力Q的大小和方向根据汇交力系平衡的几何条件,该三个力所构成的力三角形必自行封闭,故可在力Q的始端和末端画出TB和TC

TBTC按同样的比例即可量得TB和TC的大小。第8页，课件共111页，创作于2023年2月反之，当投影Fx、Fy已知时，则可求出力F的大小和方向：一、力在坐标轴上的投影(区别于分解)结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。yb´a´abFOxBFxFy2解析法（坐标法）作用点为力的汇交点第9页，课件共111页，创作于2023年2月AF2F1(a)F3F1F2RF3xABCD(b)

合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3如图。二合力投影定理：第10页，课件共111页，创作于2023年2月合力R在x轴上投影：F1F2RF3xABCD(b)

推广到任意多个力F1、F2、Fn

组成的平面共点力系，可得：abcd各力在x轴上投影：第11页，课件共111页，创作于2023年2月合力的大小合力R的方向根据合力投影定理得第12页，课件共111页，创作于2023年2月三共点力系平衡的充要解析条件：力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。平面共点力系的平衡方程:第13页，课件共111页，创作于2023年2月投影法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。2.建立坐标系。3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程∑Fx=0，∑Fy=0，求解。第14页，课件共111页，创作于2023年2月例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反力。1).取研究对象-------力系的汇交点AA.QTC3).建立坐标系yx4).列出对应的平衡方程TB600CBAQ3005).解方程解：2）作受力图第15页，课件共111页，创作于2023年2月2-1.2平面力偶系的合成和平衡3.力矩作用面（已知）1.大小：力F与力臂的乘积2.方向：转动方向三个要素：1力矩的概念和计算mo(F)=±Fd矩心力臂逆正顺负+－一、平面力对点之矩（力矩）二、力矩的性质(P19)第16页，课件共111页，创作于2023年2月平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各分力对同一点的力矩的代数和.mo(F1)=F1sinα1L=F1yL=Y1Lmo(F2)=F2sinα2L=F2yL=Y2Lmo(F3)=F3sinα3L=F3yL=Y3Lyx..OAF3R

F2F1αα3α2α1L+)=(ΣY)Lmo(R)=RsinαL=RyL结论:三、汇交力系的合力矩定理第17页，课件共111页，创作于2023年2月（补充）两平行力的合成BAF1F2F1T2T1R1F1T1T2F2...C

R=F1+F2

R2即内分反比定理。*一.同向两平行力的合成第18页，课件共111页，创作于2023年2月*二.不等两反向平行力的合成F2F1R2R1T2T1F1F2CBA...

R=F2-

F1即外分反比定理。第19页，课件共111页，创作于2023年2月一.力偶和力偶矩1.力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作2力偶及其性质⑴、作用效果：引起物体的转动。⑵、力和力偶是静力学的二基本要素。第20页，课件共111页，创作于2023年2月力偶特性二：力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。力偶特性一：力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。第21页，课件共111页，创作于2023年2月两个要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂2.力偶矩第22页，课件共111页，创作于2023年2月二.力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。第23页，课件共111页，创作于2023年2月2.力偶对作用面内任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而变.力矩的符号力偶矩的符号M第24页，课件共111页，创作于2023年2月3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变.===第25页，课件共111页，创作于2023年2月====4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.第26页，课件共111页，创作于2023年2月1、力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应。2、在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力和力偶臂的大小，而不影响它对物体的作用

由上述推论可知，在同一平面内研究有关力偶的问题时，只需考虑力偶矩，而不必研究其中力的大小和力偶臂的长短。

综上所述，可以得出下列两个重要推论：第27页，课件共111页，创作于2023年2月

平面力偶系可合成为一合力偶。合力偶矩的大小等于各已知力偶矩的代数和。一、力偶系的合成与平衡3.平面力偶系的合成与平衡条件F1’

F1F2F2’

F3F3’

F1’

F1F2F2’

F3F3’

第28页，课件共111页，创作于2023年2月F1’

F1F2F2’

F3F3’

R’R

力偶系中各力偶矩的代数和等于零。第29页，课件共111页，创作于2023年2月例题图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为

m1和m2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计杆重，试求m1和m2间的关系。Dm2BNDSBAOm1NOSABAOBDαm1m2A§2-6力偶系的合成与平衡解：杆AB为二力杆。第30页，课件共111页，创作于2023年2月分别写出杆AO和BD的平衡方程：§2-6力偶系的合成与平衡ααDm2BNDSBAOm1NOSABA第31页，课件共111页，创作于2023年2月例2-2已知：求：1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？P=20kN，R=0.6m,h=0.08m:第32页，课件共111页，创作于2023年2月解：1.取碾子，画受力图.用几何法，按比例画封闭力四边形按比例量得

kN，

kN第33页，课件共111页，创作于2023年2月或由图中解得=10kN,=11.34kN2.碾子拉过障碍物，用几何法应有解得解得

3.第34页，课件共111页，创作于2023年2月已知：AC=CB，P=10kN,各杆自重不计；例2-3求：CD杆及铰链A的受力。解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图。用几何法，画封闭力三角形。或按比例量得

第35页，课件共111页，创作于2023年2月例2-4如图刹车系统已知：求：平衡时，CD杆的拉力。由力矩平衡条件解：CD为二力杆，取踏板解得第36页，课件共111页，创作于2023年2月１.力的平移定理作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩.２-２.１平面任意力系的简化2-2平面任意力系第37页，课件共111页，创作于2023年2月

作用于刚体某平面上任一点的力,可平移到此平面上任意点而不改变对刚体的作用效应,但须增加一附加力偶,其力偶矩等于原来的力对新的作用点之矩.对作用于刚体上某一平面的力平移到该平面上的任意点，则附加力偶的力偶矩只需用代数量的力偶矩表示。在平面力系中，力的平移定理可叙述为：第38页，课件共111页，创作于2023年2月2、几个性质：

(1）、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。（2）、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。（3）、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。第39页，课件共111页，创作于2023年2月第40页，课件共111页，创作于2023年2月2.平面任意力系向一点的简化

平面任意力系向一点简化的实质是将此力系用此点的平面汇交力系和平面力偶系进行等效(1)主矢和主矩A1A2AnF1F2Fn设在刚体上作用一平面任意力系F1,F2,…Fn各力作用点分别为A1,

A2,…

An

如图所示.o在平面上任选一点o为简化中心.主矢和主矩第41页，课件共111页，创作于2023年2月根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1',F2',…Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1,m2,…mn的附加平面力偶系.其中oF1'F2'Fn'm1m2mnF1=F1,

F2'=F2,…，Fn'=Fnm1=mo(F1),m2=mo(F2),…mn=mo(Fn)第42页，课件共111页，创作于2023年2月将这两个力系分别进行合成一般情况下平面汇交力系F1',F2',…Fn'可合成为作用于O点的一个力,其力矢量R'称为原力系的主矢.R'=F1'+F2'+…+Fn'=

F1+F2+…+

Fn

R'

=Fi附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶矩Mo称为原力系对于简化中心O的主矩.Mo=m1+m2+...+mn

=mo(F1)+mo(F2)+...+mo(Fn)

Mo

=

mo(Fi)

第43页，课件共111页，创作于2023年2月结论：平面任意力系向作用面内已知点简化,一般可以得到一个力和一个力偶.这个力作用在简化中心,其矢量称为原力系的主矢,并等于这个力系中各力的矢量和;这个力偶的力偶矩称为原力系对于简化中心的主矩,并等于这个力系中各力对简化中心的矩代数和.力系的主矢

R'只是原力系中各力的矢量和,所以主矢

R'的大小和方向与简化中心的位置无关.力系对于简化中心的主矩Mo

,一般与简化中心的位置有关.第44页，课件共111页，创作于2023年2月作为平面一般力系简化结果的一个应用,我们来分析另一种常见约束------平面固定端约束（既能限制物体移动又能限制物体转动的约束）的反力。第45页，课件共111页，创作于2023年2月RMAYAMAXA简图：固定端约束反力有三个分量：两个正交分力，一个反力偶第46页，课件共111页，创作于2023年2月===≠第47页，课件共111页，创作于2023年2月３．平面任意力系简化的最后结果

（1）R'0,Mo

=0原力系简化为一个作用于简化中心O的合力

R',且R'

=

FiR'=0,Mo

0原力系简化为一个力偶.力偶矩等于原力系对于简化中心的主矩Mo

,即Mo

=mo(Fi)a

力系简化为合力偶b

力系简化为合力(2)

R'0,Mo

0力系仍可简化为一个合力R,其大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中心点O的距离为:第48页，课件共111页，创作于2023年2月R'=0,Mo

=0原力系为平衡力系.在此力系作用下的刚体处于平衡，且其简化结果与简化中心的位置无关.c力系平衡第49页，课件共111页，创作于2023年2月主矢主矩最后结果说明合力合力合力作用线过简化中心合力作用线距简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关合力矩定理即：平面任意力系的合力对作用面内任一点的力矩等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和．第50页，课件共111页，创作于2023年2月１平面任意力系的平衡条件和平衡方程２-２.２平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零即：因为有第51页，课件共111页，创作于2023年2月基本形式一矩式二矩式AB⊥x轴三矩式A、B、C不共线注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的个数只有三个，对一个物体来讲,只能解三个未知量,不得多列！2.平面任意力系的平衡方程有三种形式，第52页，课件共111页，创作于2023年2月yoxFi∥y轴0=0平面平行力系的平衡方程为或AB∥

Fi注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的个数只有两个，对一个物体来讲,只能解两个未知量,不得多列！3平面平行力系的平衡方程第53页，课件共111页，创作于2023年2月１.静定与静不定问题的概念静定问题:未知数全部能够由平衡方程来求得的问题静不定问题:未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数,不能够由平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称超静定问题.２-２.３静定和超静定概念·物体系的平衡第54页，课件共111页，创作于2023年2月第55页，课件共111页，创作于2023年2月第56页，课件共111页，创作于2023年2月物体系的平衡求解物体系平衡问题与求解单一物体平衡问题的步骤基本相同，即选择合适的研究对象，画出其分离体和受力图，然后列平衡方程求解。不同之处是，单一物体平衡问题研究对象的选择是唯一的，而物体系则不同。物体系平衡时，系中每一个物体都处于平衡，因此可以选择每个物体为研究对象，写出相应的平衡方程。此外，还可以选择物体系整体或部分为研究对象，并将其看作一个物体，写出相应的平衡方程。以物体系整体或部分为研究对象写出相应的平衡方程，与单个物体的平衡方程并不一定是相互独立的，它们之间可能存在线性变换关系。2.物体系的平衡物体系：若干物体用约束连接起来的系统第57页，课件共111页，创作于2023年2月F1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°例题在长方形平板的O、A、B、C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。 1、求向O点简化结果：①求主矢R：解：取坐标系Oxy。第58页，课件共111页，创作于2023年2月ROABC

xyF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°第59页，课件共111页，创作于2023年2月②求主矩：合成为一个合力R，R的大小、方向与R’相同。其作用线与O点的垂直距离为：R/OABC

xyLoRdF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°（2）、求合成结果：第60页，课件共111页，创作于2023年2月MABMqA例:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。MlqCBAl解：先以BC为研究对象，做受力图列平衡方程XB=0YB+NC-ql=0NCl-ql2/2=0XA-XB=0YA-YB=0MA+M-YBl=0联立求解即可。BCNCYBXBBAXBYBXAYA再研究AB：（或整体ABC）请同学们研究整体ABC,与上述结果比较.第61页，课件共111页，创作于2023年2月解得FB=45.77kN例已知:F=20kN,q=10kN/m,L=1m;求:A,B处的约束力.解:取CD梁,画受力图.第62页，课件共111页，创作于2023年2月解得解得解得取整体,画受力图.第63页，课件共111页，创作于2023年2月解:取整体,画受力图。解得各构件自重不计。已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,P,求:A,E支座处约束力及BD杆受力。例第64页，课件共111页，创作于2023年2月解得解得取DCE杆,画受力图.解得(拉)第65页，课件共111页，创作于2023年2月解题须知:对于物系问题，是先拆开还是先整体研究，通常：对于构架，若其整体的外约束反力不超过4个，应先研究整体；否则，应先拆开受力最少的那一部分。对于连续梁，应先拆开受力最少的那一部分，不应先整体研究。拆开物系前，应先判断系统中有无二力杆，若有，则先去掉之，代之以对应的反力。在任何情况下，二力杆不作为研究对象，它的重要作用在于提供了力的方向。拆开物系后，应正确的表示作用力和反作用力之间的关系、字母的标注、方程的写法。对于跨过两个物体的分布载荷，不要先简化后拆开，力偶不要搬家。定滑轮一般不要单独研究，而应连同支撑的杆件一起考虑。根据受力图，建立适当的坐标轴，应使坐标轴与尽可能多的力的作用线平行或垂直，以免投影复杂；坐标轴最好画在图外，以免图内线条过多。取矩时,矩心应选在尽可能多的未知力的交点上,以避免方程中出现过多的未知量。第66页，课件共111页，创作于2023年2月基本概念桁架:由一些直杆在两端用铰链彼此连接而成的几何形状不变的结构.平面桁架:桁架中所有杆件的轴线都位于同一平面内.节点:杆件与杆件的连接点.三根杆件用铰链连接成三角形是几何不变结构.２-２.4平面静定桁架的内力计算第67页，课件共111页，创作于2023年2月平面桁架的基本假设(b)节点都用光滑铰链连接.(a)各杆件都是直的,各杆件的自重不计.(c)荷载与支座的约束反力都作用在节点上且位于轴线的平面内.——受力特点理想桁架：满足上述假设的桁架.结构特点因此构成桁架的各杆均为二力杆因此构成桁架的各杆均为二力杆第68页，课件共111页，创作于2023年2月简单桁架:在一个基本三角形结构上依次添加杆件和节点而构成的桁架.ABCDE第69页，课件共111页，创作于2023年2月简单平面桁架的构成

平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形，以后每增加一个节点增加两个杆件，从而得到几何形状不变的结构——简单平面桁架。

将构件数与节点数分别记为n与m，根据上述的规则，它们有如下的关系对于简单平面桁架，每个节点受到的是一个平面汇交力系，存在两个平衡方程。因此，共有独立的平衡方程2m个。由上式可知，它可以求解n+3个未知数。

如果支承桁架的约束力的个数为3，平面桁架的n个杆件内力可解，故简单平面桁架问题是静定的。显然，如果在简单平面桁架上再增加杆件或支承约束力超过3，则使该静力学问题由静定变为静不定。第70页，课件共111页，创作于2023年2月桁架的内力计算桁架都是二力杆，其内力一定沿杆的轴线方向，因此，内力为拉力或压力。统一设拉为正、压为负。#内力计算的节点法：利用各个节点的平衡方程计算杆的内力。#内力计算的截面法：将桁架部分杆切断，利用桁架子系统的平衡方程计算杆的内力。第71页，课件共111页，创作于2023年2月一.节点法以桁架的节点法为研究对象，通过平衡条件，求出由该节点连接的杆件的内力的方法。步骤：1.求桁架外约束力2.求杆件内力3.校核第72页，课件共111页，创作于2023年2月例.一屋顶桁架的尺寸及荷载如图所示,试用节点法求每根杆件的内力.5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m第73页，课件共111页，创作于2023年2月解：取整体为研究对象画受力图.RARH5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m第74页，课件共111页，创作于2023年2月mA(Fi)=0-10×(4+8+12)-5×16+16RH

=0RH=20kNRA=20kN取节点A为研究对象画受力图.5kNA20kNSACSABsin=0.6cos=0.8Yi=020-5+0.6SAC=0SAC=-25kNXi=0(-25)×0.8+SAB=0SAB=20kN取节点B为研究对象画受力图.Xi=0SBA-20=0SBA=20kN20kNSBABCYi=0SBC=0kN第75页，课件共111页，创作于2023年2月联立(1)(2)两式得:SCD=-22kNSCE=-3kN10kND-22kN-22kNSDEYi=0根据对称性得:SDG=-22kNSGE=-3kNSGH=-25kN0.8[-(-22)-(-22)]-10-SDE=0SDE=25.2kN10kNCSCD-25kNSCE取节点C为研究对象画受力图.Xi=00.8×[SCD+SCE-(-25)]=0(1)Yi=00.6×[SCD-SCE-(-25)]-10=0(2)取节点D为研究对象画受力图.SBC第76页，课件共111页，创作于2023年2月零力杆问题的讨论桁架中内力为零的杆件称为零力杆。如上例的杆BC和FG。零杆的判断对桁架内力的计算具有积极的意义。利用节点法不难得到判断零杆的结论：

一节点上有三根杆件，如果节点上无外力的作用，其中两根共线，则另一杆为零力杆(见图a)；

一节点上只有两根不共线杆件，如果节点上无外力的作用，则两杆件均为零力杆(见图b)；

一节点上只有两根不共线杆件，如果作用在节点上的外力沿其中一杆，则另一杆为零力杆(见图c)。

第77页，课件共111页，创作于2023年2月二.截面法假想用一截面把桁架切开，分成两部分，其中任一部分在外约束力，外载荷和被切开杆件内力的作用下都保持平衡，因此可以应用平面任意力系的平衡方程求出被切开杆件内力的方法。步骤1.求外约束力（选整体为研究对象）2.求杆件内力（选整体为研究对象）第78页，课件共111页，创作于2023年2月由于平面任意力系最多有三个独立的平衡方程，所选断的杆件的数目一般不应超过三根.第79页，课件共111页，创作于2023年2月例.图示为某铁路桥中的一跨,设机车的一段进入桥梁时,桥梁所受的荷载是P=300kN,Q=800kN,Q1=550kN.试用截面法求杆件DF,DG和EG的内力.PPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7m第80页，课件共111页，创作于2023年2月解：取整体为研究对象画受力图.mH(Fi)=0RA-55RA+(49.5+44+38.5+33+27.5)P+22Q1+(16.5+11+5.5)Q=0RA

=1750kNPPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7mRH第81页，课件共111页，创作于2023年2月取m—m截面把桁架分为两部分.PPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7mRARHmm第82页，课件共111页，创作于2023年2月取左部分为研究对象画受力图.SDFPPABCDERAGSDGSEGmG(Fi)=0(5.5+11)P-16.5RA-7SDF=0SDF=3275kNYi=0SDG=-1462.5kNmD(Fi)=0-11RA+5.5P+7SEG=0SEG

=2514kN第83页，课件共111页，创作于2023年2月摩擦是机械运动中一种普遍的现象.摩擦现象广泛地存在于日常生活中.滑动摩擦力:两个相互接触的物体由于具有相对滑动或具有相对滑动趋势时而在接触面产生的阻碍彼此运动的阻力.动滑动摩擦力----具有相对滑动时的滑动摩擦力.静滑动摩擦力----具有相对滑动趋势时的滑动摩擦力.一滑动摩擦2-３考虑摩擦时的平衡问题第84页，课件共111页，创作于2023年2月(1)静滑动摩擦力APQ重量为P的物体放在粗糙的固定水平面上,受到一个水平拉力Q的作用APQNF当时Xi=0Q-F=0F=Q第85页，课件共111页，创作于2023年2月

静摩擦力的大小由平衡条件确定,并随主动力的变化而变化,方向与物体相对滑动趋势的方向相反.(2)静滑动摩擦定律当力Q增加到某个数值QK时,物体处于将动未动的临界状态.此时静摩擦力达到最大值Fm

,我们称这个最大值Fm为最大静摩擦力.Fm=fsFNfs

-----静摩擦系数(3)动滑动摩擦定律动滑动摩擦力（动摩擦力）F´：物体间具有相对滑动时，接触面间的滑动摩擦力。第86页，课件共111页，创作于2023年2月F´=fFNf-----动摩擦系数第87页，课件共111页，创作于2023年2月二摩擦角与自锁现象PQNFRPQKNFmRm法向反力N和静摩擦力F的合力R称为支承面对物体作用的全约束反力.

摩擦角是静摩擦力达到最大值时,全反力与支承面法线的夹角.f第88页，课件共111页，创作于2023年2月如果改变水平力QK的作用线方向,则Fm及Rm的方向也将随之作相应的改变;若QK在水平面转过一圈,则全反力Rm的作用线将在空间画出一个锥面,称为摩擦锥.全反力与接触面法线所形成的夹角不会大于m,即R作用线不可能超出摩擦锥.O第89页，课件共111页，创作于2023年2月

如果物体所受的主动力合力S的作用线在摩擦锥之外,即>m时,则全反力R就不可能与S共线.此时两力不符合二力平衡条件,物体将发生滑动.mRS第90页，课件共111页，创作于2023年2月如果物体所受的主动力合力S的作用线在摩擦锥之内,即<m时,则无论主动力多大,它总是与R相平衡,因而物体将保持不动.m主动力合力的作用线在摩擦锥的范围内,物体依靠摩擦总能静止而与主动力大小无关的现象,称为自锁.SR自锁条件：<m第91页，课件共111页，创作于2023年2月如果物体所受的主动力合力S的作用线在锥面上,即=m,则物体处于临界状态.mRS第92页，课件共111页，创作于2023年2月考虑滑动摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦的平衡问题,应注意以下几点:(1)摩擦力的大小由平衡条件确定,同时应与最大静摩擦力比较.若F

Fm,则物体平衡;否则物体不平衡.(2)在临界状态下,摩擦力为最大值Fm,应满足关系式Fm=fs

FN(3)由于0F

Fm,问题归结为求解平衡范围.一般设物体处于临界状态.(4)当物体尚未达到临界状态时,摩擦力的方向可以假定.当物体达到临界状态时,摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反.第93页，课件共111页，创作于2023年2月例.在用铰链O固定的木板AO和BO间放一重W的匀质圆柱,并用大小等于P的两个水平力P1与P2维持平衡,如图所示.设圆柱与木板间的摩擦系数为f,不计铰链中的摩擦力以及木板的重量,求平衡时P的范围.2dP1P2ABCDWO2第94页，课件共111页，创作于2023年2月解：(1)求P的极小值F1F2N1N2设圆柱有下滑的趋势,画受力图.由对称性得:N1=N2=NF1=F2=FXi=02Fcos+2Nsin=W

(1)F=f

N

(2)

联立(1)和(2)式得:CDW第95页，课件共111页，创作于2023年2月

取OA板为研究对象画受力图.此时的

水平力有极小值PminP1N1ACOF1mO(Fi)=0(2)求P的极大值当P达到极大值时,圆柱有向上滑的趋势.只要改变受力图中摩擦力的指向或改变f前的符号即可.第96页，课件共111页，创作于2023年2月用摩擦角表示得:当角等于或大于时,无论P多大,圆柱不会向上滑动而产生自锁现象.第97页，课件共111页，创作于2023年2月例：

重W的方块放在水平面上,并有一水平力P作用.设方块底面的长度为b,P与底面的距离为a,接触面间的摩擦系数为f,问当P逐渐增大时,方块先行滑动还是先行翻倒.WPab第98页，课件共111页，创作于2023年2月解：假定方块先翻倒,画受力图.NmA(Fi)=0Xi=0P-F=0Yi=0N-W=0Fm=fN=fWWPabAF第99页，课件共111页，创作于2023年2月讨论:比较F

与Fm可知(1)如果fW>Wb/2a,即f>b/2a,则方块先翻倒.(2)如果fW<Wb/2a,即f<b/2a,则方块先滑动.(3)如果fW=Wb/2a,即f=b/2a,则滑动将同时发生.第100页，课件共111页，创作于2023年2月假定：方块先滑动画受力图.NYi=0N-W=0Xi=0P-Fm=0即P

=fN=fWmC(Fi)=0Nd-Pa=0d=f

aWPabAFmdC第101页，课件共111页，创作于2023年2月讨论:比较d

与它的极值(b/2)可知(1)当d<b/2,即f<b/2a时,方块先滑动.(2)当d>b/2,即f>b/2a时,方块先翻倒.(3)当d=b/2,即f=b/2a时,滑动与翻倒同时发生.第102页，课件共111页，创作于2023年2月三滚动摩擦(1)滚阻力偶和滚阻力偶矩QPcrA设一半径为r的滚子静止地放在水平面上,滚子重为P.