北京大学量子力学课件-第13讲

第十三讲

Ⅰ.力学量算符的本征值和本征函数性质

A.力学量的每一可取值都是实数（即本征值）；

B.相应不同本征值的本征函数是正交的北京大学量子力学ppt课件-第13讲1

C.Schmit正交化方法如果一个本征值An对应S个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通过Schmit正交化方法来实现正交归一化。取

使

；取，显然，保证，且。同样有

C.Schmit正交化方法2

这必然有

，且

3

D.测量结果的几率

在中测量力学量取值的几率为

E.直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。如是力学量 的本征函数组，则任一波函数可以以 展开

D.测量结果的几率4

Ⅱ.连续谱本征函数“归一化”

（1）连续谱本征函数“归一化”

连续谱正交归一化的本征函数

应使其有

5

“正交归一”的动量本征函数为“正交归一”的坐标本征函数“正交归一”的动量本征函数为6而由由这可见（如

已归一化），为测量取值在区域中的几率。

(2)δ函数

A.δ函数的定义和表示δ函数不是一般意义下的函数，而是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。而由7

其重要性和意义在积分中体现出来；它可用一函数的极限来定义。

a<b

其重要性和意义在积分中体现出来；8

事实上

事实上9北京大学量子力学ppt课件-第13讲10北京大学量子力学ppt课件-第13讲11我们已一些δ表示式（作为函数参量极限）北京大学量子力学ppt课件-第13讲12北京大学量子力学ppt课件-第13讲13

B.δ函数的性质

它们在积分中出现时，左边表示可被右边表示代替。

☆

☆

☆推论：如有方程A＝B，则

B.δ函数的性质14

例

所以，由于对于a,b都大于零或都小于零，两式相等；但a<0,b>0或a>0,b<0,则两式不等，从而可定出c，即

例所以15

☆

☆若，但，即不是重根。

北京大学量子力学ppt课件-第13讲16

☆

☆北京大学量子力学ppt课件-第13讲17

C.δ函数的导数

δ函数具有任何级的导数，可以证明

☆

☆☆北京大学量子力学ppt课件-第13讲18

☆

☆

例：求之解.因,所以特解是而相应齐次方程是

19

有解

。

从而得通解

事实上

应特别注意

20（3）本征函数的封闭性已经讨论过厄密算符本征态的正交，归一和完备性，即

（正交，归一）

北京大学量子力学ppt课件-第13讲21

（完备）对于连续谱现来讨论本征函数的封闭性

22

所以由此可见，

上述表示式称为本征函数的封闭性，它表明本征函数组可构成一δ函数。例1的本征函数

所以23

有

，即人们熟习的形式：例2的本征函数有24

A.封闭性是正交、归一的本征函数完备性的充分、必要条件。若是完备的

封闭性（必要条件）有封闭性

完备的（充分条件）北京大学量子力学ppt课件-第13讲25

1．必要条件已证过2．充分条件：有封闭性:,则

1．必要条件已证过26任一波函数可按展开，所以，是完备的。

B．本征函数的封闭性也可看作函数按本征函数展开，而展开系数恰为本征函数的复共轭。北京大学量子力学ppt课件-第13讲27北京大学量子力学ppt课件-第13讲28§4.4算符的共同本征函数

一次测量有一“涨落”两算符，在一个态中，一般都有涨落，，不同时为零。在什么条件下，，有共同本征函数组。

(1)算符“涨落”之间的关系

A.Schwartz不等式§4.4算符的共同本征函数29

如果，,是任意两个平方可积的波函数，则证：令,，取

，由

得

如果，,是任意两个平方可积的波函数，则30从而得：

B.算符“涨落”之间的关系－测不准关系：如令

31

证明

32北京大学量子力学ppt课件-第13讲33

例1,由于是一常数，所以在任何态下平均都不可能为0。我们有

这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。

例1,34

例2但在态

但这仅是某一特殊态。

例3

在态下

例235

这时（2）

算符的共同本征函数组定理1.如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符，必对易，。

定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。

36

证：设

是的本征函数组。它们当然是完备的如S＝1，即不简并，于是当的本征函数组不简并时，则是它们的共同完备的本征函数组。

证：设是的本征函数组。它们37

当S>1，即有简并。无妨设的本征函数组为

（这也是一完备组）。将展开

当S>1，即有简并。无妨设的本征函数38这表明，是它们的共同本征函数。

北京大学量子力学ppt课件-第13讲39

它们是完备的（对所有s,n,m集合）。因对任一波函数

它们是完备的（对所有s,n,m集合）。因对40（3）角动量的共同本征函数组―球谐函数因 ，它们有共同本征函数组。

A．本征值：设：是它们的共同本征函数，则

（3）角动量的共同本征函数组―球谐函数41

固定时，m有上，下限。由于，

北京大学量子力学ppt课件-第13讲42称为降算符。同理

43称为升算符（对而言）。由于，

固定时，m有上，下限。若设

为上限，

为下限，则北京大学量子力学ppt课件-第13讲44

为上限，为下限，北京大学量子力学ppt课件-第13讲45

所以，只能取

的本征值可取

的本征值可取

所以，只能取46

即，取这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。当然，自由粒子的角动量同样是量子化的。

B．本征函数

即，取47于是有解根据

，所以而

，即得于是有解48现求归一化系数北京大学量子力学ppt课件-第13讲49所以，归一化的本征函数显然，现先讨论的归一化问题，然后给出的具体形式。若是归一化的，则所以，归一化的本征函数50

北京大学量子力学ppt课件-第13讲51现求归一化的波函数现求归一化的波函数52所以，

53以此类推

北京大学量子力学ppt课件-第13讲54

于是得的共同本征函数组-球谐函数

称为缔合勒让德函数（AssociatedLegendrefunction）。于是得的共同本征函数组-球谐函数55

当给定，也就是的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数。

其性质：

1.正交归一

2．封闭性

当给定，也就是的本征值给56

3．所以，

3．57

因此，

4.宇称