2022-2023学年安徽省安庆市高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省安庆市高一下学期期初中学业水平考试中考试数学试题一、单选题1．已知复数，则z的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数运算法则可得z代数形式，后可得其虚部.【详解】，则z的虚部是.故选：C2．在中，若，则一定为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形【答案】B【分析】根据向量数量积运算的运算律化简得到，由此可得结论.【详解】由得：，，为直角三角形.故选：B.3．若某圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则该圆柱的体积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积．【详解】设圆柱的底面半径为，高为，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，所以，，即，，所以该圆柱的体积为．故选：C．4．长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出长方体外接球半径，再由球体体积公式求体积.【详解】球O的半径为，∴体积．故选：A5．在等腰三角形中，，若为边上的动点，则（

）A．2 B．4 C．8 D．0【答案】C【分析】根据等腰三角形中三线合一及数量积的运算律求解即可.【详解】设是等腰三角形的高，如图，则，故．故选：C6．已知向量满足，则（

）A．8 B． C． D．4【答案】D【分析】根据模长平方可得.【详解】因为，所以，又因为所以，所以.故选：D.7．如图在△ABC，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量线性运算得到，再利用向量共线定理的推论得到方程，求出m的值.【详解】因为，所以，故，因为三点共线，故，解得：.故选：C8．在中，若，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形面积公式可得，再由余弦定理计算可得，根据正弦定理可知，代入计算即可得出结果.【详解】根据三角形面积公式可得，即；由余弦定理可知，可得；由正弦定理可得.故选：B二、多选题9．如图，在平行四边形中，，，，延长DP交BC于点M，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据向量的线性运算以及数量积公式即可求解.【详解】依题意，因为在平行四边形中，，，所以，即M为BC的中点，所以，故A正确；因为不共线，所以错误，故B错误；，故C正确；，故D正确．故选：ACD.10．在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则是等腰三角形C．若，则是直角三角形D．若的三边满足，则是锐角三角形【答案】AC【分析】A选项结合是三角形内角范围，正弦函数的单调性，诱导公式说明；B选项结合三角形内角的范围判断；C选项将等式两端同时平方即可解决；D选项用余弦定理可判断是锐角，无法得到其他信息，从而得到判断.【详解】A选项，由于是三角形内角，可能的情形有，由于在上单调递增，由可知，还可能且，即，又，由诱导公式和在上单调递增，故，综上可知成立，A选项正确；B选项，是三角形内角，故，，由可知，或，即或，则是等腰三角形或直角三角形，B选项错误；C选项，等式两边同时平方可得，整理可得，即，是直角三角形，C选项正确；D选项，根据余弦定理及，于是，由可知，，但无法确定另外两个角是否是锐角，故D选项错误.故选：AC11．下列说法中不正确的为（

）A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．若，则D．非零向量和满足，则与的夹角为【答案】AD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；由平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A，，，与的夹角为锐角，则，，且与不共线，即，即，所以且，故A错误；对于B，向量，即、共线，故、不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于选项C，因为，所以，故C正确；对于D，因为，两边平方得，则，，故，而，故，故D项错误．故选：AD.12．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（

）A．该圆台轴截面面积为B．该圆台的体积为C．该圆台的侧面积为D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为【答案】ACD【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的侧面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D.【详解】对于，由，且，可得，高，则圆台轴截面的面积为，故A正确；对于B，圆台的体积为，故B错误；对于C，圆台的体积为，故C正确；对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角．设的中点为，连接，可得，则．所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．故选：ACD．三、填空题13．如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为．【答案】【分析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB的长度即可．【详解】把直观图还原为,如图所示：根据直观图画法规则知,,所以的长度为.故答案为：.14．已知复数，，且为纯虚数，则实数【答案】/【分析】利用共轭复数的定义先得到，化简，然后利用纯虚数的定义即可求解【详解】由可得，∵，∴，∵为纯虚数，∴，即.故答案为：15．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为.【答案】【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，所以侧面展开图的弧长为：.设该圆锥的底面圆的半径为，所以，解得，所以该圆锥的高，所以该圆锥的体积.故答案为：.16．已知平面向量，的夹角为，且，，，其中，则的最小值为．【答案】【分析】计算，得到，计算最值得到答案.【详解】，，当时，有最小值为，故的最小值为.故答案为：四、解答题17．设x，，向量，，，且，．(1)求x，y的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)10【分析】（1）根据向量垂直、平行的坐标表示即可求解；（2）由（1）知，从而计算，再根据模长的坐标公式即可求解.【详解】（1）若，则，且，得且.（2）由（1）可知，，则，则.18．设是不共线的两个向量．(1)若，求证：三点共线；(2)若与共线，求实数的值．【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.（2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）证明:因为，而所以，所以与共线，且有公共点，所以三点共线（2）因为与共线所以存在实数，使得，因为与不共线，所以，解得，.19．在中，内角所对的边长分别为，且满足.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出；（2）由正弦定理得出，再由面积公式求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以因为为三角形的内角，所以（2）因为，，，由正弦定理可得：，所以因为为三角形的内角，所以.20．如图，已知一个圆锥的底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱.(1)当时，求圆柱的体积；(2)当为何值时，此圆柱的侧面积最大，并求出此最大值.【答案】(1)(2)当时，圆柱的侧面积取最大值【分析】（1）设圆柱的底面半径为，根据相似比求出与的关系，求出代入圆柱的体积公式即可；（2）由（1）知，代入圆柱的侧面积公式得，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）设圆柱的半径为，则，，当时，，所以圆柱的体积．（2）由（1）知，则圆柱的侧面积，所以当时，圆柱的侧面积取最大值．21．已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：(1)求角A的大小；(2)求边中线长的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先使用余弦定理，再用正弦定理进行角变边即求得结果；（2）由平面向量可知，两边平方，用三角形的边及角表示并结合基本不等式得出结果.【详解】（1），由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，.，即，又，所以.（2）由（1）知，，的面积为，所以，解得.由平面向量可知，所以，当且仅当时取等号，故边中线的最小值