2020秋高中数学人教版2-22.2.1综合法与分析法含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修2-2课时作业：2.2.1综合法与分析法含解析第二章2。22。2.1请同学们认真完成练案［16]A级基础巩固一、选择题1．用分析法证明不等式:欲证①A〉B，只需证②C<D，这里①是②的(D）A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分条件D．必要条件［解析］∵②⇒①，但①不一定推出②，故选D．2．下图是解决数学问题的思维过程的流程图:在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是(C)A．①综合法，②反证法 B．①分析法,②反证法C．①综合法，②分析法 D．①分析法，②综合法［解析］由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故选C．3．（2020·德州高二检测)在R上定义运算⊙:a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙（x－2）〈0的实数x的取值范围为（BA．(0,2) B．(－2，1）C．(－1，2） D．(－∞，－2)∪（1,＋∞）［解析]由定义得x(x－2）＋2x＋x－2<0，即x2＋x－2〈0，∴－2<x〈1.故选B．4．若两个正实数x、y满足eq\f(1，x）＋eq\f(4，y)＝1,且不等式x＋eq\f（y,4）<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(B）A．（－1，4) B．（－∞，－1）∪（4，＋∞)C．（－4,1） D．（－∞，0)∪（3，＋∞)［解析]∵x>0，y〉0，eq\f(1，x)＋eq\f(4，y)＝1，∴x＋eq\f(y,4)＝(x＋eq\f(y，4））(eq\f（1,x）＋eq\f（4，y）)＝2＋eq\f（y，4x）＋eq\f（4x,y)≥2＋2eq\r(\f(y，4x）·\f(4x,y））＝4，等号在y＝4x,即x＝2，y＝8时成立，∴x＋eq\f(y，4)的最小值为4，要使不等式m2－3m〉x＋eq\f（y，4)有解，应有m2－3m〉4，∴m〈－1或m>4，故选5．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么（D)A．x<eq\f（x＋y,2)〈y<2xy B．2xy〈x<eq\f（x＋y,2）〈yC．x〈eq\f（x＋y，2)〈2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y，2）〈y［解析］∵y〉x〉0，且x＋y＝1,∴设y＝eq\f（3，4），x＝eq\f(1，4）,则eq\f(x＋y，2）＝eq\f（1，2)，2xy＝eq\f（3,8）。所以有x<2xy〈eq\f(x＋y,2)<y，故排除A、B、C，选D．6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a＋b,2））），B＝f(eq\r(ab)），C＝feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2ab,a＋b)）)，则A、B、C的大小关系为（A）A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A[解析］eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab，a＋b)，又函数f（x)＝(eq\f(1,2）)x在(－∞，＋∞）上是单调减函数，∴f(eq\f(a＋b，2））≤f(eq\r（ab))≤f(eq\f(2ab，a＋b））．二、填空题7．如果aeq\r（a)＋beq\r(b）>aeq\r(b)＋beq\r(a），则实数a、b应满足的条件是__a≠b且a≥0，b≥0__.[解析］aeq\r(a)＋beq\r(b）〉aeq\r(b）＋beq\r（a）⇔aeq\r(a)＋beq\r(b)－aeq\r（b)－beq\r(a)〉0⇔a（eq\r(a)－eq\r(b))＋b（eq\r（b）－eq\r(a)）〉0⇔（a－b）(eq\r（a）－eq\r(b))〉0⇔（eq\r(a）＋eq\r（b）)（eq\r（a)－eq\r（b））2>0只需a≠b且a，b都不小于零即可．8．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是__4__.［解析]∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．又y＝2x与y＝log2x互为反函数,其图象关于y＝x对称，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝4－x，，y＝x）)得x＝2，∴eq\f（x1＋x2,2）＝2,∴x1＋x2＝4。三、解答题9．已知n∈N＊,且n≥2，求证：eq\f（1，\r(n)）〉eq\r（n)－eq\r（n－1）。［证明］要证eq\f(1，\r（n））>eq\r(n）－eq\r(n－1），即证1〉n－eq\r（nn－1)，只需证eq\r(nn－1)>n－1,∵n≥2，∴只需证n（n－1)>(n－1)2,只需证n>n－1，只需证0〉－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10．已知a，b，c表示△ABC的三边长，m＞0,求证：eq\f(a，a＋m）＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).[证明]要证明eq\f（a,a＋m）＋eq\f(b，b＋m）＞eq\f(c，c＋m）,只需证明eq\f（a，a＋m)＋eq\f（b,b＋m)－eq\f(c，c＋m)＞0即可．∵eq\f（a，a＋m）＋eq\f（b，b＋m）－eq\f(c，c＋m)＝eq\f(ab＋mc＋m＋ba＋mc＋m－ca＋mb＋m，a＋mb＋mc＋m），∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴（a＋m）（b＋m)（c＋m)＞0，∵a(b＋m）(c＋m）＋b（a＋m)(c＋m）－c（a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋（a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0,∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴eq\f(a，a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).B级素养提升一、选择题1．(多选题)关于综合法和分析法说法正确的是(ABC）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．分析法又叫逆推证法或执果索因法D．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法［解析］选项A成立,选项B和C是综合法的思路就是由因导果法，和分析法的概念，是执果索因法,正确．选项D不符合定义，排除D选项．故选ABC．2．（多选题)在f(m,n)中，m、n、f（m，n)∈N＊，且对任意m、n都有：（1）f(1，1)＝1，（2）f(m，n＋1)＝f(m，n）＋2，（3）f（m＋1,1）＝2f(m，1）;给出下列三个结论①f(1，5）＝9；②f（5,1)＝16；③f(5，6）＝26.其中结论正确的是（ABC）A．① B．②C．③ D．都不正确［解析]∵f（m，n＋1)＝f（m，n）＋2，∴f(m，n）组成首项为f(m，1），公差为2的等差数列，∴f（m，n）＝f(m，1）＋2(n－1）．又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1，1）＋2×(5－1）＝9，又∵f（m＋1，1）＝2f(m，1），∴f（m,1)构成首项为f(1,1），公比为2的等比数列，∴f（m，1)＝f(1,1）·2m－1＝2m－1,∴f（5,1）＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f（5，1）＋2×(6－1)＝16＋10＝26，二、填空题3．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0,cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos（α－β）＝__－eq\f(1,2）__。［解析]由题意sinα＋sinβ＝－sinγ,①cosα＋cosβ＝－cosγ，②①，②两边同时平方相加得，2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1，2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－eq\f（1,2).4．我国唐代天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题编写了如下一道题：“李白街上走,提壶去买酒，遇店加一倍,见花喝一斗(计量单位)，三遇店和花，喝光壶中酒．”问最后一次遇花时有酒__1__斗，原有酒__eq\f(7,8)__斗．［解析］因为最后一次喝光酒，且见花喝一斗，所以最后一次遇花时有酒1斗,设原有酒x斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗得:第一次见店又见花后酒有2x－1斗,第二次见店又见花后酒有2(2x－1）－1斗，第三次见店又见花后酒有2［2(2x－1)－1]－1斗，因为最后一次喝光酒，所以2［2(2x－1）－1]－1＝0，解得x＝eq\f（7,8)。三、解答题5．用分析法证明eq\r(6）＋eq\r（10)＞2eq\r（3）＋2。［解析]要证eq\r(6）＋eq\r（10）＞2eq\r（3)＋2,只要证(eq\r(6）＋eq\r(10）)2＞（2eq\r(3）＋2）2，即证16＋2eq\r（60）＞16＋8eq\r（3)，即证240＞192，因为240＞192显然成立,所以原不等式成立．6．已知a、b是不等正数，且a3－b3＝a2－b2，求证：1〈a＋b<eq\f(4，3）。［证明]∵a3－b3＝a2－b2且a≠b，∴a2＋ab＋b2＝a＋b,由（a＋b)2＝a2＋2ab＋b2〉a2＋ab＋b2得（a＋b）2>a＋b，又a＋b>0,∴a＋b>1，要证a＋b<eq\f（4，3）,即证3（a＋b)<4，∵a＋b〉0，