2019年电大经济数学基础12期末考试试题及答案

2019年电大经济数学基础12期末考试试题及答案一、单项选择题(每题3分，本题共15分)1.下列函数中为奇函数的是(C．y=ln(x+1))。A．y=x-x^2/(x-1)B．y=e^(x+e)C．y=ln(x+1)D．y=xsinx2.设需求量q对价格p的函数为q(p)=3-2p，则需求弹性为Ep=（D．-p/(3-2p^2)）。A．-p/(3-2p)B．(3-2p)/pC.-(3-2p)/pD.-p/(3-2p^2)3.下列无穷积分收敛的是(B．∫e^xdx)。A.∫1/(x^2)dxB.∫e^xdxC.∫1/xdxD.∫lnxdx4.设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵，则下列运算中（A.AB）可以进行。5.线性方程组{x1+x2=1x1+x2=2的解的情况是（D．无解）。A．有唯一解B．只有解C．有无穷多解D．无解二、填空题(每题3分，本题共15分)1.函数y=x/(lg(x+1))的定义域是(D．x>-1且x≠-1)。2.下列定积分中积分值为-π/2的是(A．∫(x-tanx)/(x+tanx)dx)。3.下列函数在指定区间(-∞,+∞)上单调增加的是（B．e）。A．sinxB．e^xC．xD．3-x4.设AB为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C.(AB)T=BTAT）。A.(AB)=ABB.(AB)T^-1=A^-1(BT)^-1C.(AB)T=BTATD.(ABT)^-1=A^-1(B^-1)T5.若线性方程组的增广矩阵为A=[1λ2;221]，则当λ=（B．0）时线性方程组无解。三、计算题(每题10分，本题共20分)1.计算∫(ex+e^-x)/(x-1)dx。2.计算∫∫(x^3+cosx)dxdy，其中D为由y=x^2和y=2x所围成的区域。四、应用题(每题20分，本题共40分)1.已知函数y=2x^2-3x+1，求其在区间[0,1]上的平均值。2.求函数y=2x^3-3x^2+4的极值。注意：本试题共4页，请仔细核对。1.偶函数是指$f(-x)=f(x)$成立的函数，因此答案为C，$y=ln\frac{x-1}{x+1}$是偶函数。改写：偶函数是指满足$f(-x)=f(x)$的函数，因此选项C中的$y=ln\frac{x-1}{x+1}$是偶函数。2.需求弹性$E_p$的计算公式为$E_p=\frac{p'}{p}\frac{q}{q'}$，其中$p'$表示价格的变化量，$q'$表示需求量的变化量。根据题目中$q(p)=100e^{-\frac{p^2}{2}}$，可得$q'(p)=-100pe^{-\frac{p^2}{2}}$，因此$q'(0)=0$。代入公式得$E_p=\frac{p'}{p}\frac{q}{q'}=-\frac{p}{p'}\frac{q'}{q}=-\frac{p}{p'}\frac{100pe^{-\frac{p^2}{2}}}{100e^{-\frac{p^2}{2}}}=p\frac{p}{100}=0.01p^2$。因此答案为B，$E_p=-50p$。改写：需求弹性$E_p$的计算公式为$E_p=\frac{p'}{p}\frac{q}{q'}$，其中$p'$表示价格的变化量，$q'$表示需求量的变化量。根据题目中$q(p)=100e^{-\frac{p^2}{2}}$，可得$q'(p)=-100pe^{-\frac{p^2}{2}}$，因此$q'(0)=0$。代入公式得$E_p=\frac{p'}{p}\frac{q}{q'}=-\frac{p}{p'}\frac{q'}{q}=-\frac{p}{p'}\frac{100pe^{-\frac{p^2}{2}}}{100e^{-\frac{p^2}{2}}}=p\frac{p}{100}=0.01p^2$。因此选项B中的$E_p=-50p$是正确的。3.根据无穷积分的收敛性判别法可知，当幂函数的幂次大于1时，无穷积分$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$收敛，否则发散。因此选项A和D的无穷积分均发散，选项B的无穷积分为$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$，收敛，选项C的无穷积分为$\int_0^{+\infty}\sinxdx$，也收敛。因此答案为C，$\int_0^{+\infty}\sinxdx$收敛。改写：根据无穷积分的收敛性判别法可知，当幂函数的幂次大于1时，无穷积分$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$收敛，否则发散。因此选项A和D的无穷积分均发散，选项B的无穷积分为$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$，收敛，选项C的无穷积分为$\int_0^{+\infty}\sinxdx$，也收敛。因此选项C中的$\int_0^{+\infty}\sinxdx$收敛。4.根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于它的行向量和列向量的极大线性无关组的向量个数。因为$ACB$有意义，所以矩阵$A$的列数等于矩阵$C$的行数，矩阵$B$的行数等于矩阵$C$的列数。因此$AC$和$B$的列向量个数相同，$CB$和$A$的行向量个数相同。又因为$ACB$有意义，所以矩阵$A$的行数等于矩阵$CB$的行数，矩阵$B$的列数等于矩阵$AC$的列数。因此矩阵$C$的列数等于矩阵$AC$的行数，又等于矩阵$B$的行数，因此矩阵$C$的列数等于2，行数等于3。因此答案为B，$C$是$2\times4$矩阵。改写：根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于它的行向量和列向量的极大线性无关组的向量个数。因为$ACB$有意义，所以矩阵$A$的列数等于矩阵$C$的行数，矩阵$B$的行数等于矩阵$C$的列数。因此$AC$和$B$的列向量个数相同，$CB$和$A$的行向量个数相同。又因为$ACB$有意义，所以矩阵$A$的行数等于矩阵$CB$的行数，矩阵$B$的列数等于矩阵$AC$的列数。因此矩阵$C$的列数等于2，行数等于3。因此选项B中的$C$是$2\times4$矩阵。5.根据线性方程组有解的充要条件，系数矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}$的秩为1，而增广矩阵$\begin{pmatrix}1&2&1\\1&2&3\end{pmatrix}$的秩为2，因此系数矩阵和增广矩阵的秩不相等，线性方程组无解。因此答案为A，无解。改写：根据线性方程组有解的充要条件，系数矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}$的秩为1，而增广矩阵$\begin{pmatrix}1&2&1\\1&2&3\end{pmatrix}$的秩为2，因此系数矩阵和增广矩阵的秩不相等，线性方程组无解。因此选项A中的无解是正确的。2x/(x^2-4)，定义域为(-∞,-2]∪(2,∞)。7.已知f(x)=1-sin(x)/x，当x→0时，f(x)为无穷小量。8.若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f(2x-3)dx=F(2x-3)/2+C。9.设矩阵A=[12;3-1]，当a=0时，A是对称矩阵。10.若n元线性方程组AX=0满足r(A)<n，则该线性方程组有非零解。8.若$\intf(x)dx=2x+2x^2+c$，则$f(x)=2x\ln2+4x$。9.设$A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&1\end{pmatrix}$，则$r(A)=1$。10.设齐次线性方程组$AX=O$满足$r(A)=2$，则方程组一般解中自由未知量的个数为3。6.设$f(x-1)=x-2x+5$，则$f(x)=2x^2+4$。7.若函数$f(x)=\begin{cases}x\sinkx+2&x\neq0\\k&x=0\end{cases}$在$x=0$处连续，则$k=2$。8.若$\intf(x)dx=F(x)+c$，则$\intf(2x-3)dx=\frac{1}{2}F(2x-3)+c$。9.若$A$为$n$阶可逆矩阵，则$r(A)=n$。10.设齐次线性方程组$AX=O$的系数矩阵经初等行变换化为$A=\begin{pmatrix}1&-2&3\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，则此方程组的一般解中自由未知量的个数为2。1.下列各函数对中，(D)中的两个函数相等。2.函数$f(x)=\begin{cases}\sinx&x\neq0\\k&x=0\end{cases}$在$x=0$处连续，则$k=1$。3.下列定积分中积分值为$\frac{1}{2}$的是$\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$。4.设$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\-1&2&4\\-2&4&8\end{pmatrix}$，则$r(A)=2$。5.若线性方程组的增广矩阵为$A=\begin{pmatrix}1&-2\lambda&-4\\0&1&2\\0&2&4\end{pmatrix}$，则当$\lambda=\frac{1}{2}$时该线性方程组无解。6.$y=\frac{x^2-4}{x-2}$的定义域是$x\in(-\infty,2)\cup(2,\infty)$。7.设某商品的需求函数为$q(p)=10e^{-p^2}$，则需求弹性$E_p=-2p$。8.若$\intf(x)dx=F(x)+c$，则$\inte^{-x}f(e^{-x})dx=F(x)+c$。9.当$a=3$时，矩阵$A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&3\end{pmatrix}$可逆。10.已知齐次线性方程组$AX=O$中$A$为$3\times5$矩阵，则$r(A)\leq3$。13．设矩阵A为3行2列的矩阵，元素分别为1，-1，-1，-2，T为A的转置矩阵，B为2行1列的矩阵，元素为1和1/2，求(BA)。解：首先计算BA，得到BA为2行2列的矩阵，元素为1/2和-3/2，然后将其写成行向量的形式，即(BA)=[1/2-3/2]，最终答案为该行向量。14．求解齐次线性方程组x1+2x2-x4=0-x1+x2-3x3+2x4=02x1-x2+5x3-3x4=0解：将该方程组的系数矩阵写成增广矩阵的形式，得到：[120-10][-11-320][2-15-30]对其进行高斯消元，得到行简化阶梯矩阵：[100-1/20][010-1/20][001-1/20]从中可以看出，该方程组的通解为x1=x4/2，x2=x4/2，x3=x4，其中x4为任意常数。元/件，求：(1)边际成本函数和边际收益函数；(2)在什么产量下，利润最大？(3)在最大利润产量的基础上再生产100件，利润将会发生什么变化？解答：(1)边际成本函数为C'(q)=4+0.02q(元/件)，边际收益函数为R'(q)=2(元/件)。(2)利润函数为L(q)=R(q)-C(q)，代入可得L(q)=2q-20-4q-0.01q^2=-0.01q^2-2q-20，求导得L'(q)=-0.02q-2=0，解得q=100(件)。因此，在产量为100件时，利润最大。(3)在最大利润产量的基础上再生产100件，产量变为200件，利润函数为L(200)=2(200)-20-4(200)-0.01(200)^2=-220元，利润减少了220元。15．设生产某种产品q个单位时的成本函数为C(q)=100+0.25q+6q(万元)，求：(1)当q=10时的总成本、平均成本和边