太原理工线性代数新中文电子课件第二章1节

第一节n

维向量及其线性运算一、n

维向量的基本概念1.定义n

个有次序的数a1

,a2

,,an

所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量第i个数ai

称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.例如(1,2,3,,

n)(1

+

2i,2

+

3i,,

n

+

(n

+

1)i)n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量机身的仰角机翼的转角机身的水平转角j

(-p

£

j

£

p

)y

(-2

<

y

£

2

)p

pq

(0

£

q

<

2p

)飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)所以，确定飞机的状态，需用6维向量a

=

(

x,

y,

z,j

,y

,q

)n

维向量的实际意义确定飞机的状态，需要以下6个参数：=

(a1

,a2

,,an

)

n

aa

=

a2

a1

n

维向量写成一行，称为行向量，通常用aT

,bT

,a

T

,

bT等表示，如：n

维向量写成一列，称为列向量，通常用a,b,a

,

b等表示，如：aT2. n维向量的表示方法3.向量的相等a

=

(a1,

a2

,

an

)

b

=

(b1

,

b2

,

bn

)a

=

b当且仅当ai

=bi

,i

=1,2,,n

（要求维数相等）4.零向量分量都是零的向量0=（0，0，…，0）注意维数，不能说零向量都相等。=

(

a

1

,

a

2

,

a

n

),称-a

=(-a1,-a2

,-an

)为a

的负向量，5.负向量如果a显然-（-a）=a

，所以负向量是相互关系。二、向量的线性运算1.

加法若a

=（

a

1

,a

2

,

a

n

),b

=(b1

,b

2

,

bn

)称g

=(a1

+b1,a2

+b2

,,an

+bn

)为a与b的和记为g

=a

+b2.减法减法用加法定义，如果a

=（

a

1

,

a

2

,

a

n

),

b

=

(

b1

,

b

2

,

bn

)定义g

=a

-b

=a

+（-b），称为a与b的差，当然a

-b

=（a1

-b1,a2

-b2

,,an

-bn

)3.数乘设a

=(a1,a2,an

),定义la

=（la1,la2,lan

)为l与a的数乘，其中l是一个数。注：1. 加法与数乘运算称为线性运算2. 线性运算满足8条①

a

+

b

=

b

+

a②

(a

+

b

)

+

g

=

a

+

(b

+

g)③

a

+

0

=

a④

a

+(-a)

=0⑤

1a

=

a⑥

l(ma

)

=

(lm)a

=

m(la

)⑦

l(a

+

b

)

=

la

+

lb⑧

(l

+

m)a

=

la

+

ma3.

还有一些常用的结论①

(-1)a

=

-a②若la

=0，则一定有l

=0或a

=0③

a

-

0

=

a

,0

-

a

=

-a

,a

-

b

=

-(b

-

a

)a

=b当且仅且a

-b

=0，a

-a

=04.线性组合与线性表示若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．给定向量组A

:a1

,a

2

,,am，对于任何一组实数k1，k2，,km，向量k1a1

+

k2a

2

+

+

kmam称为向量组A的一个线性组合。k1，k2，,km

称为这个线性组合的系数。b

=

l1a1

+

l2a

2

+lmam给定向量组A

:a1,a

2

,,am和向量b，如果存在一组数l1，l2，,lm，使则向量b

是向量组A的一个线性组合，这时也称向量b

能由向量组A

线性表示．即线性方程组x1a1

+

x2a

2

+

+

xmam

=

b有解.A

:

a

1

,a

2

,,am及B

:

b1

,

b2

,,

bs

.5.

向量组的等价设有两个向量组若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A

线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价．向量组之间的等价关系具有下述性质：A与A等价；若A与B等价，则B与A等价；反身性对称性传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。这里A，B，C为三个向量组。例1

证明a1

=

(1，2)，a

2

=

(2，3)与e1

=

(1，0)

e2

=

(0，1)等价。证明显然a1

=

e1

+

2e2a

2

=

2e1

+

3e2所以a1，a

2

可由e1，e2线性表示。由上式容易解得e1

=

-3a1

+

2a

2e2

=

2a1

-a

2所以e1，e2

也可由a1，a

2线性表示。因此它们等价。例2

已知a1

=

(1，1，1)，a

2

=

(1，0，-1)，b

=

(-1，-

3，-

5)将b用a1，a2线性表示。解即设b

=x1a1

+x2a

2所以

1

21

x

-

x

=

-5x

=

-3(-1，-

3，-

5)

=