复变函数与积分变换第三章课件

第三章

复变函数的积分第三章复变函数的积分1

§3.1复变函数积分的概念

§3.2柯西-古萨定理及其推广

§3.3柯西积分公式及其推论

§3.4

解析函数与调和函数的关系第三章复变函数的积分§3.1复变函数积分的概念第三章复变函数的积分2

1.有向曲线

2.积分的定义

3.积分性质

4.积分存在的条件及其计算法§3.1复变函数积分的概念1.有向曲线§3.1复变函数积分的概念31.有向曲线A(起点)B(终点)C1.有向曲线A(起点)BC4CC逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.CC逐段光滑的简单闭曲线简称为围线.5

2.积分的定义定义DBxyo2.积分的定义定义DBxyo6

7复变函数与积分变换第三章ppt课件8

3.积分性质由积分定义得：3.积分性质由积分定义得：9证明而C之长为2,根据估值不等式知例证明而C之长为2,根据估值不等式知例104.积分存在的条件及其计算法定理3.14.积分存在的条件及其计算法定理3.111证明

证明12复变函数与积分变换第三章ppt课件13由曲线积分的计算法得用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.由曲线积分的计算法得用（3.6）式计算复变函数的积分,是从积14例3.1

解直线方程为Aoxy例3.1解直线方程为Axy15这两个积分都与路线C无关Aoxy解这两个积分都与路线C无关Axy解16解(1)积分路径的参数方程为y=x解(1)积分路径的参数方程为y=x17(1)积分路径的参数方程为y=x例3.1

解(1)积分路径的参数方程为y=x例3.1解18y=x(2)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为积分路径不同,积分结果也可能不同.y=x(2)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程19例3.2

解积分路径的参数方程为例3.2解积分路径的参数方程为20复变函数与积分变换第三章ppt课件21小结求积分的方法小结求积分的方法22例3.3

解积分路径的参数方程为例3.3解积分路径的参数方程为23重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.24例如

例如练习例如例如练习25例2解oxyrC例2解oxyrC26îíì¹==-=-\òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp

îíì¹==-=-\òò=-++0002)()(01010n27例题证明：

例题证明：28oxy例3解oxy例3解29解:例4解:例430作业P692;4;作业P6931§3.2Cauchy-Goursat定理§3.2Cauchy-Goursat定理32由此猜想：复积分的值与路径无关(或沿闭路的积分值＝0)的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关。由此猜想：复积分的值与路径无关(或沿闭路的33复函积分与路径无关被积函数的解析性解析区域的单连通性??复函积分与路径无关被积函数的解析性解析区域的单连通性??34复变函数与积分变换第三章ppt课件35—Cauchy定理—Cauchy定理36Cauchy-Goursat定理（定理3.2）：

DCDCCauchy-Goursat定理（定理3.2）：DCDC37(2)定理中曲线C不必是简单的！如下图。DDC推论3.2设f(z)在单连通区域D内解析，则对任意两点z0,z1∈D,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线C，即积分与路径无关。Cz1z0C1C2C1C2z0z1(2)定理中曲线C不必是简单的！如下图。DDC推论3.238典型例题例1解根据柯西－古萨定理,有典型例题例1解根据柯西－古萨定理,有39思考题应用柯西–古萨定理应注意什么?思考题应用柯西–古萨定理应注意什么?40思考题答案(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定理不能反过来用.思考题答案(1)注意定理的条件“单连通域”.(2)注意定41

(1).原函数与不定积分的概念

(2).积分计算公式2原函数与不定积分(1).原函数与不定积分的概念2原函数与不定积分42

1.原函数与不定积分的概念由推论3.2知：设f(z)在单连通区域D内解析，则对D中任意曲线C,积分∫cf(z)dz与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0,终点z在D内变动,∫cf(z)dz在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理3.3设f(z)在单连通区域D内解析，则F(z)在D内解析，且1.原函数与不定积分的概念由推论3.2知：43上面定理表明是f(z)的一个原函数。定义3.2若函数(z)

在区域D内的导数等于f(z)

，即

,称(z)为f(z)在D内的原函数.设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章练习题7)上面定理表明442.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理3.4设f(z)在单连通区域D内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.

但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强2.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原45思考题解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同?思考题解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼46思考题答案两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大.思考题答案两者的提法和结果是类似的.两者对函数的要求差异很大47例1计算下列积分：解1)

例1计算下列积分：解1)48解2)解2)49例3计算下列积分：例3计算下列积分：50小结求积分的方法小结求积分的方法51例2解根据柯西－古萨定理得例2解根据柯西－古萨定理得52复变函数与积分变换第三章ppt课件53定理3.5（复合闭路定理）：3复合闭路定理—定理3.2的推广定理3.5（复合闭路定理）：3复合闭路定理—定理3.2的推54证明Dc1c2L1L2L3AA’EE’FF’GH证明Dc1c2L1L2L3AA’EE’FF’GH55复变函数与积分变换第三章ppt课件56

此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.D

CC1C1C1—闭路变形原理此式说明一个解析函DCC1C1C1—闭路变形原理57根据复合闭路定理即定理3.5可知,根据复合闭路定理即定理3.5可知,58解C1C21xyo例3.7解C1C21xyo例3.759解C1C21xyo练习解C1C21xyo练习60作业P697(2)(3);9;10(1)(3)作业P6961§3.3Cauchy积分公式及其推论§3.3Cauchy积分公式及其推论62

1）通过两个二元实变函数的积分来计算；

1.复变函数积分的计算预备知识

2）化为参变量的定积分来计算；

2.复变函数积分的性质3.柯西积分定理4.复合闭路定理——柯西定理在多连域的推广5.闭路变形原理——复合闭路定理的特例1）通过两个二元实变函数的积分来计算；1.63分析DCz0C1分析DCz0C164DCC1猜想积分：z0DCC1猜想积分：z065定理(Cauchy积分公式)定理(Cauchy积分公式)66证明DCKzz0R证明DCKzz0R67根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值都为零时才能任意小。证毕。根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的68(1)函数在C内部任一点的值可以用它在边界上的值表示,从而得到解析函数的一个积分表达式。

关于公式的说明:(1)函数在C内部任一点的值可以用它在边界上的值表69(2)提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法。

c.若被积函数在C内部有两个以上奇点，则需先应用复合闭路定理，再用柯西积分公式。(2)提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法。c.70推广及其应用一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。平均值定理：推广及其应用一个解析函数在圆心处的值平均值定理：71

设f(z)在多连通域D内解析，在边界上连续，(3)柯西积分公式可以推广到多连域。则设f(z)在多连通域D内解析，在边界上连续，(72例1解例1解73例2解CC1C21xyo例2解CC1C21xyo74课堂练习答案课堂练习答案75小结与思考一公式-----柯西积分公式两用途(重点)

-----1.计算闭路复积分；

2.解析函数积分表达式。推广及应用思考：今后遇到闭曲线上的复变函数积分,

应先想到什么？小结与思考一公式-----柯西积分公式两用途(重点)---76

2解析函数的高阶导数公式

一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.2解析函数的高阶导数公式一个解析函77问题的提出问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?问题的提出问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若78形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。79定理3.7证明用数学归纳法和导数定义。定理3.7证明用数学归纳法和导数定义。80令为I令为I81复变函数与积分变换第三章ppt课件82依次类推，用数学归纳法可得依次类推，用数学归纳法可得83一个解析函数的导数仍为解析函数。一个解析函数的导数仍为解析函数。84例1解例1解85例2解例2解86复变函数与积分变换第三章ppt课件87例3解例3解88根据复合闭路定理和高阶导数公式,根据复合闭路定理和高阶导数公式,89复变函数与积分变换第三章ppt课件903刻划解析函数的第二个等价定理证明充分性为P28定理2.8必要性条件2的必要性已由P26定理2.7得出,由解析函数的无穷可微性,3刻划解析函数的第二个等价定理证明充分性为P28定理2.91课堂练习答案课堂练习答案92例5(Morera定理)证依题意可知例5(Morera定理)证依题意可知93参照本章第四节定理二,可证明因为解析函数的导数仍为解析函数,参照本章第四节定理二,可证明因为解析函数的导数仍为解析函数94作业P7015；16(1)(2)作业P7095调和函数在流体力学和电磁学，传热学理论等实际问题中都有重要应用。§3.4解析函数与调和函数的关系定义3.31.调和函数调和函数在流体力学和电磁