第3章 实数单元检测题（含解析）

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浙教版2023-2024学年七年级上册第3章《实数》精选单元检测题

一、选择题（共30分）

1．9的算术平方根是（）

A．B．±3C．3D．

2．下列各数：在、、、、每两个之间依次多一个中，无理数的个数是（）

A．B．C．D．

3．下列各式中，正确的是（）

A．B．C．D．

4．在下列说法中，错误的是（）

A．的立方根是2B．C．都是27的立方根D．

5．面积为20的正方形的边长为a，则a的值在（）

A．3和之间B．和4之间C．4和之间D．和5之间

6．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A．B．C．D．

7．如图，在数轴上表示实数的点可能是（）

A．点AB．点BC．点CD．点D

8．有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的y等于（）

A．B．8C．2D．

9．已知，，且，则的值为（）

A．8B．5C．D．

10．对于实数a、b，定义的含义为：当时，；当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的值为（）

A．1B．2C．3D．4

二、填空题（共32分）

11．写出一个大小在之间的无理数：．

12．的平方根是．

13．的立方根是．

14．的相反数为．

15．若的小数部分是m，则．

16．若，，，则．

17．定义一种运算：对于任意实数，都有，则的值为．

18．有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第2023个数是．

三、解答题（共58分）

19．（6分）把下列各实数填在相应的大括号内

，，，0，，，，（两个1之间依次多1个0）

整数{}；

分数{}；

无理数{}．

20．（6分）计算：．

21．（8分）求下列各式中的值：

(1)；

(2)．

22．（8分）已知的立方根是2，的平方根是．

(1)求a、b的值；

(2)求的平方根．

23．（9分）【阅读材料】

∵，即，

∴．

∴的整数部分为1．

∴的小数部分为．

【解决问题】

(1)填空：的整数部分是_________；小数部分是_________；

(2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值．

24．（9分）阅读下列解题过程：

第1个等式：．

第2个等式：．

第3个等式：．

……

(1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________．

(2)利用这一规律计算：．

25．（12分）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．

例如：如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．

例如：对连续求根整数次，这时候结果为

(1)仿照以上方法计算：___________；___________；

(2)若，写出满足题意的的整数值___________；

(3)对100连续求根整数，___________次之后结果为1；

(4)计算：．

参考答案

1．C

【分析】一个正数的平方等于a，这个正数是a的算术平方根，根据定义解答．

【详解】解：∵，

∴9的算术平方根是3，

故选：C．

【点睛】此题考查了算术平方根的定义，正确理解定义是解题的关键．

2．C

【分析】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此即可得出答案．

【详解】解：在、、、、每两个之间依次多一个中，无理数有、、每两个之间依次多一个，共个．

故选：C．

【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．

3．D

【分析】直接利用算术平方根的性质分别化简得出答案．

【详解】解：A、，选项计算错误，故选项不符合题意；

B、，选项计算错误，故选项不符合题意；

C、，选项计算错误，故选项不符合题意；

D、，选项计算正确，故选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查算术平方根的性质的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键．

4．C

【分析】根据立方根的定义，逐个进行判断即可．

【详解】解：A、∵，∴的立方根是，故A正确，不符合题意；

B、，故B正确，不符合题意；

C、27的立方根是3，故C不正确，符合题意；

D、，故D正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要是考查了立方根，解题的关键是掌握立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．

5．C

【分析】根据正方形的面积公式求得的值，然后进行估算即可求得答案．

【详解】解：由题意可得，

，

，

，

，

即的值在4和之间，

故选：．

【点睛】本题考查无理数的估算，先估算出在哪两个连续整数之间是解题的关键．

6．C

【分析】根据实数，在数轴上对应点的位置，分别得到实数，的取值范围，据此即可一一判定．

【详解】解：由实数，在数轴上对应点的位置可知：，，

，，，，

故A、B、D错误，C正确，

故选：C．

【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的加减运算，绝对值的意义，准确判定出实数，的取值范围是解答本题的关键．

7．B

【分析】先估算的取值范围，进而可确定所对应的点．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴表示实数的点可能是点B．

故选B．

【点睛】本题考查了实数与数轴，以及无理数的估算，估算出的取值范围是解答本题的关键．

8．A

【分析】根据程序进行计算即可．

【详解】解：输入时，取算术平方根为，是有理数，

输入时，取算术平方根为，是无理数，输出，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，根据程序设计进行计算是解题的关键．

9．C

【分析】已知即可得到，根据即可求得，再根据可以得到：，同号，即可确定，的值，求得的值．

【详解】解：，

，

，同号．

，或，

当，时，；

当，时，．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了绝对值，平方根的计算，根据，同号确定，的值是解决本题的关键．

10．C

【分析】根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值即可．

【详解】解：∵，．

∴，．

∵a，b是两个连续的正整数．，，

∴，．

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查新定义下的实数运算、代数式求值、无理数的估算，理解新定义，正确求出a、b是解答的关键．

11．（答案不唯一）

【分析】设这个无理数为，则，则，然后选择一个开方开不尽的数即可．

【详解】解，设这个无理数为，

则根据题意得，

∴，

∴均满足题意，

当时，

这个无理数为，

故答案为：（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了无理数的估算，读懂题意，能准确得出一个无理数所处的整数范围是解本题的关键．

12．

【分析】根据求一个数的平方根的计算方法即可求解．

【详解】解：的平方根表示为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查平方根的计算方法，掌握求一个数的平方根的运算是解题的关键．

13．

【分析】根据立方根的定义即可求解．

【详解】解：∵，

∴的立方根是；

故答案为：．

【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键．

14．/

【分析】根据相反数的定义进行求解即可．

【详解】解：由题意知，的相反数为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了相反数的定义．解题的关键在于熟练掌握：一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．

15．/

【分析】估算无理数的大小，得到，即可得出答案．

【详解】解：，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．

16．

【分析】根据立方根的性质即可求解．

【详解】解：，

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．

17．

【分析】根据题目所给的定义得到，据此求解即可．

【详解】解：∵，

∴

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．

18．

【分析】分别找出符号、分子、分母的规律即可求解．

【详解】解：根据题意可知：每个分式的符号规律是负、正、负、正……，

分子的规律是、、、……，即、、、……，

分母的规律是2、4、8、16、32……即、、、、……，

故第2023个数是，

故答案为：．

【点睛】考查了算术平方根及数字规律问题，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义和正确找出数字规律．

19．，0；，，；，，

【分析】直接利用整数以及分数、无理数的定义得出答案．

【详解】解：，，，

整数{，0}；

分数{，，，}；

无理数{，，1.1010010001…}；

故答案为：，0；，，；，，．

【点睛】本题主要考查实数的分类，熟练掌握整数、分数、无理数的定义是解决本题的关键．

20．

【分析】根据实数的混合计算法则求解即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

21．(1)

(2)

【分析】（1）先求得，然后依据平方根的性质求解即可；

（2）依据立方根的性质求解即可．

【详解】（1）解：

即，

∴，

∴；

（2）解：，

，

．

【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．

22．(1)，

(2)

【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出与的值即可；

（2）把与的值代入计算即可求出所求．

【详解】（1）解：的立方根是2，的平方根是，

，

解得：，；

（2）当，时，，

则36的平方根是．

【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

23．(1)9；

(2)21

【分析】（1）先估算出的取值范围，进而可求出的整数部分和小数部分；

（2）先估算出的取值范围，进而可求出的取值范围，然后求出a和b的值即可求解．

【详解】（1）∵，

∴，

∴的整数部分是9；小数部分是．

故答案为：9；；

（2）∵，

∴，

∵是的整数部分，是的小数部分，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了估算无理数的大小，在确定形如（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根．

24．(1)

(2)

【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；

（2）原式变形后，仿照上式得出结果即可．

【详解】（1）解：根据题意得：

∴第4个等式为：；

故答案为：；

（2）

．

【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

25．(1)

(2)

(3)3

(4)625

【分析】（