同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度课件

高等数学第十二讲1高等数学第十二讲1第九章第七节一、方向导数

二、梯度方向导数与梯度2第九章第七节一、方向导数二、梯度方向导数与梯度2一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l

(方向角为)存在下列极限:记作在一些实际问题中，需要研究函数在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数。3一、方向导数定义:若函数则称为函数在点P处沿方向l定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P可微,得故4定理:则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,证明:对于二元函数向角为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向5对于二元函数向角为,)的方向导数为特别:•当对于二元函数的方向导数存在，而＝不存在而偏导数不一定存在。例如：在点(0,0)处沿x轴的正向到点(1,0)处。6对于二元函数的方向导数存在，而＝不存在而偏导数不一定存在。例例1.求函数

在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解:向量l的方向余弦为7例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方指向B(3,－2,2)方向的方向导数是

.在点A(1,0,1)处沿点A例2.函数提示:则8指向B(3,－2,2)方向的方向导数是例3.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为9例3.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方解由方向导数的计算公式知例4

求函数10解由方向导数的计算公式知例4求函数10故11故11例5.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数12例5.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：一个函数在点沿着不同的方向的方向导数上不同的，13二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量141.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.2.梯度的几何意义15函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),称为函数f等高线的画法播放16等高线的画法播放16例如,17例如,173.梯度的基本运算公式183.梯度的基本运算公式18例1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性19例1.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有例2：求函数在点M（1，0，－1）处的最大方向导数。解：在点M（1，0，－1）处的最大方向导数为：同理;20例2：求函数在点M（1，0，－1）处的最大方向导数。解：在解由梯度计算公式得故例3求函数21解由梯度计算公式得故例3求函数21(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向

的夹角

.例4

已知函数22(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量在点M(1,1,1)处23曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(12424内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为25内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微梯度在方向l上的投影.262.梯度•三元函数在点处的梯度为•二