2025届高三数学一轮总复习 第二章 第十二讲 导数与函数的极值、最值

第十二讲导数与函数的极值、最值第二章函数、导数及其应用1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).1.函数的极值

(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.

(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

注意：极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数自变量x的取值，不是点的坐标.2.函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【名师点睛】(1)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值.(2)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.

考点一利用导数解决函数的极值问题考向1根据函数图象求极值问题[例1](2023年番禺区校级期中)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图2-12-1，则下列结论正确的是()图2-12-1A.x＝1是f(x)的极小值点B.f(－2)＞f(－1)C.函数f(x)在(－1，1)上有极大值D.函数f(x)有3个极值点解析：由y＝f′(x)的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)单调递增；当x∈(－3，－1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)单调递减.

所以f(－2)＞f(－1)，x＝－3是f(x)的极大值点，故B正确；

当x∈(－1，1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在(－1，1)上没有极大值，且x＝1不是f(x)的极小值点，故A，C错误.

因为x＝－1是f(x)的极小值点，x＝－3是f(x)的极大值点，x＝1不是f(x)的极值点，所以f(x)有2个极值点，故D错误.故选B.答案：B

【题后反思】由图象判断函数y＝f(x)的极值时，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.考向2求已知函数的极值[例2]已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值.解：因为

f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，

且f(x)的定义域为{x|x>0}. ①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值.【题后反思】利用导数研究函数极值问题的一般流程考向3已知函数极值求参数的值或范围所以实数a的取值范围为(－9，0)∪(0，1).答案：(－9，0)∪(0，1)【题后反思】

(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)某点的导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

【考法全练】

1.(考向1)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数g(x)＝(log3x－1)f′(x)的部分图象如图2-12-2所示，则下列说法中正确的是()A.f(x)有极小值f(6)，极大值f(1)B.f(x)有极小值f(6)，极大值f(10)C.f(x)有极小值f(1)，极大值f(3)和f(10)D.f(x)有极小值f(1)，极大值f(10)图2-12-2解析：观察题图可知，当0＜x＜1时，g(x)＞0，log3x－1＜0，则f′(x)＜0；当1＜x＜3时，g(x)＜0，log3x－1＜0，则f′(x)＞0；当3＜x＜10时，g(x)≥0，log3x－1＞0，则f′(x)≥0；当x＞10时，g(x)＜0，log3x－1＞0，则f′(x)＜0.

综上所述，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，10)上单调递增，在(10，＋∞)上单调递减，所以f(x)有极小值f(1)，极大值f(10).故选D.答案：D则f(x)的极大值为()A.－3B.1C.27D.－5∴f(x)＝x3＋3x2－9x.∴f′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1).∴当x＜－3或x＞1时，f′(x)＞0；当－3＜x＜1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，∴当x＝－3时，f(x)取得极大值27.故选C.答案：C)bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则实数a的取值范围为( A.(－1，0) B.(－1，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0，＋∞)①若a≥0，由f′(x)＝0，得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减.所以x＝1是f(x)的极大值点.综合①②，得a的取值范围是a＞－1.故选B.答案：B

考点二利用导数求函数的最值[例4]已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；

(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由.(2)满足题设条件的a，b存在.

①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝b＝－1，最大值为f(1)＝2－a＋b＝1，解得a＝0.

②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最大值为f(0)＝b＝1，最小值为f(1)＝2－a＋b＝－1，解得a＝4.

与0＜a＜3矛盾.

综上所述，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0，1]上的最小值为－1，最大值为1.【规律方法】

(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.

(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.

【变式训练】

(2023年青铜峡市校级期中)已知函数f(x)＝alnx＋bx2

在x＝1处取得极值2. (1)求a，b的值；由f′(x)＜0，可得x∈(0，1)，f(x)在(0，1)上单调递减，由f′(x)＞0，可得x∈(1，＋∞)，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在x＝1处取得极值，符合题意，∴a＝－4，b＝2.(2)由(1)有f(x)＝－4lnx＋2x2，x∈(0，＋∞)，由f′(x)＜0，可得x∈(0，1)，f(x)在(0，1)上单调递减，⊙利用导数研究生活中的优化问题利用导数研究生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题，结合实际问题作答.

[例5]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时，该蓄水池的体积