2022年河北省沧州市中捷高级中学高三数学理测试题含解析

2022年河北省沧州市中捷高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数z=，则z﹣|z|对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z===，∴z﹣|z|=﹣=+i对应的点所在的象限为第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．2.设复数，则的共轭复数（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D3.复数，则复数的虚部是（

）A. B. C. D.参考答案：C略4.某厂的某种产品的产量去年相对于前年的增长率为，今年相对于去年的增长率为，且．如果这种产品的产量在这两年中的平均增长率为x，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

设这种产品前年的产量为a，则今年的产量为，得，∴，∴．5.给出下列命题，其中错误的是（） A． 在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB B． 在锐角△ABC中，sinA＞cosB C． 把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象 D． 函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）最小正周期为π的充要条件是ω=2参考答案：考点： 命题的真假判断与应用．专题： 阅读型；三角函数的图像与性质．分析： 由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A；由锐角三角形中，两锐角之和大于90°，运用正弦函数的单调性，即可判断B；运用图象的左右平移，只对自变量x而言，再由诱导公式，即可判断C；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D．解答： 解：对于A．在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即由正弦定理有sinA＞sinB，故A正确；对于B．在锐角△ABC中，A+B＞，则A＞﹣B，由y=sinx在（0，）上递增，则sinA＞sin（﹣B）=cosB，故B正确；对于C．把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin（2x）=cos2x的图象，故C正确；对于D．函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）=2sin（ωx），最小正周期为π时，ω也可能为﹣2，故D错．故选D．点评： 本题考查三角函数的图象和性质，考查三角形的边角关系和正弦定理的运用，正弦函数的单调性，以及三角函数的图象平移规律，周期公式，属于中档题．6.已知等比数列{an}中，，前三项之和，则公比q的值为（

）A.1 B. C.1或 D.参考答案：C【分析】先验证合题意，时，利用等比数列的通项公式与求和公式列方程求解即可.【详解】等比数列中，，前三项之和，若，，，符合题意；若，则，解得，即公比的值为1或，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

7.已知集合，则等于（）A、

B、

C、

D、参考答案：D8.已知几何体三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（

）A．6π B．5π C．4π D．3π参考答案：B几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为，故选B．9.如图，四棱锥P-ABCD中AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点，P点轨迹为（

）A、圆

B、抛物线

C、不完整的圆

D、抛物线的一部分

参考答案：C解析：由直角三角形中的边角关系得2PA＝PB，即P到两定点A，B的距离的比值是定值，所以P的轨迹是一个圆，但P不能在底面上，所以是不完整的圆10.设底面为正三角形的直棱柱体积为V,那么表面积最小时,底面边长为(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则cosA=

．参考答案：因为，所以

12.等腰三角形底角的正切值为，则顶角的正切值等于

参考答案：13.高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为

．参考答案：20略14.如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E，则_______．参考答案：略15.在行列式中，元素a的代数余子式值为

．参考答案：-116.如右图所示的程序框图输出的结果是____________。参考答案：略17.已知，tanα=2，则=______________．参考答案：由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题共13分）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上是减函数，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）当时，，又，所以.又，所以所求切线方程为，即.所以曲线在点处的切线方程为.………6分（Ⅱ）因为，令，得或.………

8分当时，恒成立，不符合题意.……………9分当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则解得.……………

11分当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得.综上所述，实数的取值范围是或.

…………13分

略19.已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与C交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）若a=4，b=3，且ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1的方程为bx﹣ay=0，l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，证明：d12+d22=；（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意，直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，利用，可得x12=x22=，根据对称性，求出正方形的面积；（2）利用距离公式，结合d12+d22为定值，即可证明结论；（3）设出切线AC的方程与椭圆方程联立，分类讨论，即可求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）由题意，直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，设A（x1，y1），B（x2，y2）为方程组的解，可得x12=x22=，根据对称性，正方形的面积S=4x12=；（2）设l1的方程为y=kx（k≠0），l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），d12+d22=+=为定值，∴k=±，∴d12+d22=；（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），于是切线AC的方程为x0x+y0y=1A（x1，y1），C（x2，y2）为x0x+y0y=1与椭圆联立的方程（b2y02+a2x02）x2﹣2x0a2x+a2（1﹣b2y02）=0的解，①x0=0或y0=0时，ACBD为正方形，椭圆过点（1，1），∴+=1；②x0≠0且y0≠0时，x1x2=，同理y1y2=，∵ACBD为菱形，∴AO⊥CO，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∵x02+y02=1，∴a2+b2=a2b2，∴+=1．综上所述，+=1．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的图象如图，P是图象的最高点，Q是图象的最低点．且|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）?g（x）的最大值．参考答案：【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ的值，可得sin∠POQ，求出P的坐标可得A的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得y=f（x）的解析式．（Ⅱ）求出g（x）的解析式，化简h（x）=f（x）g（x）的解析式，再根据x的范围求出h（x）的值域，从而求得h（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）过P作x轴的垂线PM过Q作y轴的垂线QM，则由已知得|PM|=2，|PQ|=，由勾股定理得|QM求=3，∴T=6，又T=，∴ω=，∴函数y=f（x）的解析式：f（x）=sin（x+）；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sinx．函数h（x）=f（x）?g（x）=sin（x+）sinx=sin2x+sinxcosx=（1﹣cosx）+sinx=sin（x﹣）+．…当x∈[0，2]时，x∈[﹣，]，∴当x﹣=，即x=1时，hmax（x）=．21.(本小题满分12分）已知向量，，函数.（1）求函数的对称中心；（2）在中，分别是角的对边，且，且，求的取值范围.参考答案：（1）,=.

令得，，

函数的对称中心为.（2），是锐角，即：

=

22.如图，CD为△ABC外接圆的切线，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，AB的延长线交直线CD于点D，且BC?AE=DC?AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．参考答案：考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知条件得△AFE∽△CBD，从而∠AFE=∠CBD，又B，E，F，C四点共圆，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能证明CA是△ABC外接圆的直径．（Ⅱ）连结CE，由CE为B，E，F，C所共圆的直径，得CD=CE，由切线性质得AC⊥DC，由此能求出过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．解答： （1）证明：∵BC?AE=DC?AF，∴…又DC为圆的切线∴∠DCB=∠EAF…∴△AFE∽△CBD…∴∠AFE=∠CBD…又B，E，F，C四点共圆∴∠AFE=∠