2022-2023学年天津长芦中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年天津长芦中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，函数y=f（x）图象的一条对称轴是x=﹣，则ω取得最小值时，函数f（x）的单调区间是（）A．[3kπ﹣，3kπ﹣]，k∈Z B．[3kπ﹣，3kπ﹣]，k∈ZC．[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z D．[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z参考答案：B【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的一个零点是x=，得出f（）=0，再根据直线x=﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，得出﹣ω﹣φ=+kπ，k∈Z；由此求出ω的最小值与对应φ的值，写出f（x），求出它的单调增区间即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx﹣φ）﹣1的一个零点是x=，∴f（）=2sin（ω﹣φ）﹣1=0，∴sin（ω﹣φ）=，∴ω﹣φ=+2kπ或ω﹣φ=π+2kπ，k∈Z；又直线x=﹣是函数f（x）图象的一条对称轴，∴﹣ω﹣φ=+kπ，k∈Z；又ω＞0，|φ|＜π，∴ω的最小值是，φ=，∴f（x）=2sin（x+）﹣1；令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+3kπ≤x≤﹣+3kπ，k∈Z；∴f（x）的单调增区间是[﹣+3kπ，﹣+3kπ]，k∈Z．故选：B．【点评】本题考查了正弦型三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．2.已知函数（,）在处取得最大值，则函数是（

）A．偶函数且它的图象关于点对称

B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点对称参考答案：略3.5名志原者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有

（A）150种 （B）180种

（C）200种 （D）280参考答案：A4.已知集合,,则(

)A． B． C． D．参考答案：C试题分析：因为，所以，故选C．考点：集合的交集运算．5.已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）A．4 B．4或﹣3 C．﹣3或﹣1 D．﹣3参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，把x1，x2看作方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值，注意检验．【解答】解：由y=x3﹣px2+3x，得y′=3x2﹣2px+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12﹣2px1+3，3x22﹣2px2+3，∵曲线C在A，B处的切线平行，∴3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3，令3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，∴x1，x2是方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，则x1+x2=p，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵===p﹣p3，而（）3﹣p（）2+3?=p3﹣p3+p=p﹣p3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2=p，知线段的中点为（p，（p﹣8）），∴﹣+p=p﹣p3，解得p=﹣1，﹣3或4．当p=﹣1时，y=x3+x2+3x的导数为y′=3x2+2x+3＞0恒成立，即函数为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去；p=﹣3，或4时，y=x3﹣px2+3x不单调，成立．故选：B．6.设复数，则下列各式错误的是

(A)

(B)

(C)

(D)是纯虚数参考答案：C7.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（

）A．65

B．184

C．183

D．176参考答案：B8.函数的图像大致为 (

).参考答案：A9.圆上的点到直线的距离的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．0参考答案：A略10.在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“第一次射击击中目标”，命题是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是A.

为真命题 B.

为真命题C.为真命题 D.

为真命题参考答案：A本题主要考查随机事件与对立事件、充分条件与必要条件，考查了逻辑推理能力.“两次射击中至少有一次没有击中目标”与“两次射击都击中目标”是对立事件，“两次射击都击中目标”是，因为题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题，所以是假命题，则

为真命题，故答案为A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得△构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

参考答案：略12.已知直线的参数方程为：，圆C的极坐标方程为，那么，直线l与圆C的位置关系是__________．参考答案：相交解析：直线l的直角坐标方程为，圆C的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，直线l与圆C的位置关系是相交．13.已知两个不相等的平面向量，()满足||＝2，且与－的夹角为120°，则||的最大值是

.参考答案：略14.已知直线l1：2x﹣2y+1=0，直线l2：x+by﹣3=0，若l1⊥l2，则b=

；若l1∥l2，则两直线间的距离为

．参考答案：1，．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】①由l1⊥l2，则﹣×=﹣1，解得b．②若l1∥l2，则﹣=﹣，解得b．利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：①∵l1⊥l2，则﹣×=﹣1，解得b=1．②若l1∥l2，则﹣=﹣，解得b=﹣1．∴两条直线方程分别为：x﹣y+=0，x﹣y﹣3=0．则两直线间的距离==．故答案为：1，．15.（04年全国卷Ⅱ文）已知a为实数，(x＋a)10展开式中x7的系数是－15，则a＝

参考答案：答案：－

16.已知函数，当变化时，恒成立，则实数的取值范围是___________．参考答案：17.在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若A=，a=，b=1，则c的值为．参考答案：2【考点】解三角形．【分析】直接利用正弦定理求出B，求出C，然后求解c即可．【解答】解：∵，∴，∴，∵a＞b，所以A＞B．角A、B、C是△ABC中的内角．∴，∴，∴．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣kx+1．求：（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．参考答案：解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣k．当k≤0时，f′（x）=﹣k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0，若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0，则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立，则f（）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1．考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：导数的综合应用．分析：（1）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），而f′（x）=﹣k．能求出函数f（x）的单调区间．（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围．解答：解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣k．当k≤0时，f′（x）=﹣k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0，若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0，则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立，则f（）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1．点评：本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．19.已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2．（1）求f（x）的单调区间；（2）当时，证明：存在x0∈（2，+∞），使；（3）若存在属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明：．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性得到，从而证明结论；（3）根据函数的单调性得到1≤α≤2≤β≤3，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由题意得函数f（x）=lnx﹣ax2的定义域为，当a≤0时，f'（x）＞0，则函数f（x）=lnx﹣ax2在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，x＞0，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，∴f（x）在上单调递增；在上单调递减，综上所述，结论是a≤0时，函数f（x）=lnx﹣ax2的单调增区间为（0，+∞）；a＞0时，函数f（x）=lnx﹣ax2的单调增区间为，单调减区间为．（2）证明：当时，函数f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，则，又f（x）在（2，+∞）上的值域为（﹣∞，f（2）），∴存在x0∈（2，+∞），使，综上所述，结论证明成立．（3）证明：f（α）=f（β），由（1）知，又β﹣α≥1，α，β∈[1，3]，所以1≤α≤2≤β≤3，所以，即，所以．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．20.定义在上的函数同时满足以下条件：①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②是偶函数；③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．(1)求函数＝的解析式；(2)设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<，求实数m的取值范围．.参考答案：略21.(本小题满分12分)设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)是否存在x0>0，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)由题知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋，∴g′(x)＝，令g′(x)＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.(2)g()＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则h′(x)＝－，当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()，当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g()，当x>1时，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g()．(3)满足条件的x0不存在．证明如下：证法一：假设存在x0>0，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立，即对任意x>0，有lnx<g(x0)<lnx＋(*)，但对上述x0，取x1＝eg(x0)时，有lnx1＝g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x0>0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立．证法二：假设存在x0>0，使