浙教版九年级上数学单元检测（一） （测试内容：二次函数）（含解析）

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（测试内容：二次函数）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确答案）

1．下列函数中，是二次函数的是（）

A．B．

C．D．

2．二次函数的图象的顶点坐标是（）

A．(3,2)B．(-3,2)C．(3,-2)D．(-3,-2)

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

x…－1013…

y…1343…

下列关于该二次函数的说法，错误的是()

A．当x＝4时，y＝1B．当x＜1时，y随x的增大而增大

C．当x＝1时，y有最大值4D．当0＜x＜3时，y＞3

4．抛物线的对称轴是，则b的值等于（）

A．6B．C．4D．

5．已知抛物线与x轴只有一个交点，则m的值是（）

A．2B．C．1D．

6．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（）

A．，B．，C．，D．，

7．将二次函数化为的形式，结果为（）

A．B．

C．D．

8．在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（）

A．B．C．D．

9．设二次函数是实数，则（）

A．当时，函数的最小值为B．当时，函数的最小值为

C．当时，函数的最小值为D．当时，函数的最小值为

10．如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（）

A．B．C．D．

二、填空题（每题4分，共32分）

11．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1的图象经过原点，则a的值为．

12．二次函数的最大值是．

13．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac0（填“＞”或“＝”或“＜”）．

14．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是．

15．抛物线与轴只有一个交点，则．

16．二次函数的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．

17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是m．

18．如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为．

三、解答题（38分）

19．（6分）已知二次函数

(1)求开口方向、对称轴及顶点坐标;

(2)当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大．

20．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出它的顶点坐标．

21．（6分）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．

(1)当时，比较m与n的大小，并说明理由；

(2)若对于，都有，求b的取值范围．

22．（8分）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．

(1)直接写出抛物线的函数表达式；

(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由

23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中点A的坐标为．

(1)写出C点的坐标______，B点的坐标______；

(2)若二次函数经过A，B，C三点，求该二次函数的解析式；

(3)在（2）条件下，在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．

24．（10分）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．

(1)函数的自变量x的取值范围是______；

(2)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______；

x…012…

y…30m1n03…

②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

(3)下列关于该函数的说法，错误的是（）

A．函数图象是轴对称图形；

B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大；

C．函数值y都是非负数；

D．若函数图象经过点与，则

(4)点与在函数图象上，且，则a与b的大小关系是______．

试卷第1页，共3页

试卷第1页，共3页

参考答案：

1．A

【分析】根据二次函数的定义，一般地，形如的函数叫做二次函数，逐一分析判断即可得出正确选项．

【详解】A、是二次函数，符合题意；

B、是一次函数，不合题意；

C、是反比例函数，不合题意；

D、不是二次函数，不合题意；

故选A．

【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是本题的关键．

2．A

【分析】由于二次函数y=a（x-b）2+c的顶点坐标为（b，c），由此即可求出抛物线的顶点坐标．

【详解】∵二次函数y=2（x-3）2+2，

∴其图象的顶点坐标为（3，2）．

故选A．

【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式求其顶点的坐标．

3．C

【分析】由表格图可知，拋物线的对称轴为直线x=，可判断A、C选项，由表格图特点可判断选项B、D．

【详解】解：A、由表格图可知，拋物线的对称轴为直线x==，所以当x＝4时，y＝1，故此选项正确，不符合题意；

B、由表格图可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不符合题意；

C、因为拋物线的对称轴为直线x=，所以当x＝1时，y不是最大值，故此选项错误，符合题意；

D、由表格图可知，当0＜x＜3时，y＞3，故此选项正确，不符合题意，

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是仔细观察表格数据确定出对称轴．

4．D

【分析】由对称轴公式可得到关于的方程，可求得答案．

【详解】解：，

抛物线对称轴为，

，

故选D．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即的对称轴为．

5．A

【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．

【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，

∴有两个相等的实数根，

∴，

解得．

故选A．

【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．决定抛物线与轴的交点个数．

6．B

【分析】直接根据图像求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标，

∵两个交点坐标分别为，，

∴方程的解为，，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．

7．A

【分析】先提取二次项系数1，再根据完全平方公式整理即可．

【详解】解：，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键．

8．C

【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．

【详解】解不等式组可得:，且

所以对称轴的取值范围在，

由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，

即根据增减性可得，

故选C．

【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．

9．A

【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．

【详解】解：令，则，

解得：，，

∴抛物线对称轴为直线

当时，抛物线对称轴为直线，

把代入，得，

∵

∴当，时，y有最小值，最小值为．

故A正确，B错误；

当时，抛物线对称轴为直线，

把代入，得，

∵

∴当，时，y有最小值，最小值为，

故C、D错误，

故选：A．

【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．

10．C

【分析】过点C作于D，连接，在中，，根据勾股定理逆定理得是直角三角形，即，则，可得，；根据得四边形是矩形，则，当最小时，即最小，当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，即可得．

【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接，

∵在中，，

∴，

∴是直角三角形，即，

∴，

∴，

∴；

∵，

∴四边形是矩形，

∴，

∴当最小时，即最小，

∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，

∴点E的坐标为，

故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，线段最短，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．

11．-1

【分析】将（0，0）代入y=（a-1）x2-x+a2-1即可得出a的值．

【详解】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1的图象经过原点，

∴a2-1=0，

∴a=±1，

∵a-1≠0，

∴a≠1，

∴a的值为-1．

故答案为-1．

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象过原点，可得出x=0时，y=0．

12．

【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．

【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：

二次函数开口向下，

顶点处取最大值，

即当时，最大值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．

13．＜

【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系．

【详解】解：∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，

∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＞0，

∴ac＜0．

故答案为＜．

【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．常数项c决定抛物线与y轴交点．

14．

【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．

【详解】解：∵，

∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，

∵分别位于抛物线对称轴的两侧，

假设点在对称轴的右侧，则，解得，

∴

∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，

∴

解得：

又∵，

∴

∴

解得：

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

15．9

【分析】根据抛物线与轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．

【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点，

∴

解得c=9．

故答案为：9．

【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则判别式；抛物线与x轴有一个交点，则判别式；抛物线与x轴没有交点，则判别式．

16．

【详解】解：连接BC与AO交于点D，

∵四边形OBAC为菱形

∴AO⊥BC，

∵∠OBA=120°

∴∠AOB=30°，

∵B的坐标为(1，)，

∴OA=2OD=2，BC=2BD=2，

∴菱形的面积=×AO×BC=×2×2=2.

故答案为：

考点：二次函数的性质

17．10

【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．

【详解】将y=0代入；

整理得：

（x-10）（x+2）=0

解得：x=10或x=-2（舍去）

∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．

故答案为：10

【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

18．

【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决问题．

【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），

∴x＝4时，y＝0，

∴BC＝4，

作FH⊥BC于H，当BD＝2时，BDEF的面积为3，

∵3＝2FH，

∴FH＝，

∵∠ABC＝60°，

∴BF＝＝，

∵DEAB，

∴AB＝2BF＝，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．

19．(1)开口向下，对称轴为：直线，顶点坐标为：；

(2)时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大．

【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可；

（2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可．

【详解】（1）解：，

∵，

∴抛物线的开口向下，

对称轴为：直线，顶点坐标为：；

（2）解：∵抛物线的开口向下，

∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大．

【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

20．见解析，顶点坐标为．

【分析】先分别求出取时，的值，再利用描点法画出函数的图象即可，然后将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得出它的顶点坐标．

【详解】解：对于二次函数，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

先描点，再将这些点用光滑的曲线连接起来可得函数的图象，如图所示：

将二次函数化成顶点式为，

则它的顶点坐标为．

【点睛】本题考查了画二次函数的图象、求二次函数的顶点坐标，熟练掌握描点法是解题关键．

21．(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知抛物线解析式为，将代入，即可求出m和n的值，再比较即可；

（2）由函数解析式可得出其对称轴为直线，且开口向上，从而得出在对称轴右侧，y随x的增大而增大．根据对于，都有，得出，当时，，即，从而可求出．由对于，都有，又可得出，两边平方并整理，得：，即得出，最后取其公共解即可．

【详解】（1）解：．

理由：当时，抛物线解析式为，点，

将代入，

得：，，

∴；

（2）解：∵该函数解析式为，

∴其图象开口向上，对称轴为直线，

∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．

∵，

∴点B在点A右侧．

∵对于，都有，

∴，

∴当时，，即，

解得：．

∵对于，都有，

∴，

两边平方，得：，

整理，得：，

∴．

综上可知．

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．

22．(1)

(2)存在，；

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求出抛物线的对称轴，即可得出，设直线的解析式为：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周长．

【详解】（1）将，，代入

得:,

解得:

所以抛物线的函数表达式：

（2）存在；∵抛物线的解析式为：，

∴抛物线的对称轴，，

∴，

设直线的解析式为：，

∵，

∴解得，

∴直线的解析式为：，

把代入直线的解析式，得，

∴；

∴

∴

【点睛】本题考查二次函数，利用待定系数法求出解析式是解题的关键，利用对称轴求出坐标是解（2）题的关键．

23．(1)；

(2)

(3)

【分析】（1）根据旋转的性质结合点A的坐标、的长度，即可找出的值，进而即可得出点B、C的坐标；

（2）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；

（3）根据抛物线的对称性可得知：连接交对称轴于点P，点P是所求的点．利用二次函数的性质可找出抛物线对称轴为直线，根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．

【详解】（1）解：∵绕原点O逆时针旋转得到，点A的坐标