mmp 1 3 laplace transform dqlu cos shuLaplace变换法求解常微分方程时应用

PAGEPAGE3/ 1Lace变换的定12Lace变换的性2Lace变换的反Lace变换法求解常微分方程时的应引言引言上一节中,Fourier积分和Fourier变换f(x)在任一有限区间满足Dirichlet条件,−∞,∞)区间上绝对可ce变换.Fourier宽松ce变换.Fourier宽松§§6.1–6.3(90–104页已知某个物理量在初始时刻t=0时的值f(0),求解它在初始时刻之后的演化规律f(t). 它在初始时刻之前的值,我们并不感.f(t)=0,(t0),f(t)f(t)H(t),H(t)Heaviside函数.为了获得更宽松的变换条件,g(t)=exp(−σt)f(t),其中exp(−σt)是收敛因子,σg(t))

对可积.于是∞F[g(t)]=G(ω)

1

=1=1∞f()exp[–σ+ω)0[2]Fourier变换中,kx,PAGEPAGE7/Lace变σ+iωp,G(ω)f(p)/2π, f(p) f(t) (1)0上式右端的积分称为Lace积分.f(p)称f(t)的Lace变换函数,f(t)→f(p)的对应为Lace变换,记作L[f(t)].G(ω)Fourier g(t) G(ω) −∞

f(σ+iω)即f(t)

−∞

Lace逆变f(σ+iω)exp[(σ+σ+iω=p,dω=(1/i)dp.f(t)

1

σ+i∞σ−i∞

f(p) (2)σ称为Lace收敛横标(convergencef(p)又称为像函数,f(t)称为原函数,f(t)=L−1[fLace积分存在的充分条Lace变换中,积分存在的充分条件0t<∞任一有限区间上,除了有限个第一类间断点外,f(t)及其导数是处处连续的;存M>0σ0,∀t(0∞)|f(t<MPAGEPAGE10/例题给定函数,利用定义式,请阅读§6.1(91–92页PAGEPAGE9/ Lace变换的基本性线性定理L[c1f1(t)+c2f2(t)]=c1f1(p)+c2f (3)导数定理L[f′(t)]=pf(p)−fL[f′′(t)]=p2f(p)−pf(0)−f L[f (t)]=pf(p)− f(0)− f

(4)(5)—···−积分定理

(6)[∫

f f(τ 0

p (7)PAGEPAGE10/ 相似性定理L[f(ct)]

(cf c(频移)定理L[f(t−t0)]=exp(−pt0)f(位移)定理(7)卷积定理L[f1(t)∗f2(t)]=f1(p)f(7)卷积定理L[f1(t)∗f2(t)]=f1(p)f(8)PAGEPAGE11/**Lace变换的反,一性.原函数不连续,ceceLtnf

ndnfp ()]=

dnp([f(t)

∫ fpLace变换的反例 L

=L

[1

) —1p(p−

p− 1例

[exp(ωt)−1]ωL

p(p−

∫=1∗exp(ωt) exp(ωτ)dτ=0查表,PAGEPAGE13/**(4)(留数定理f(p)

f(t)p2+

1

∫σ+iσ−i

f(p)=±iω处有两个简单极点,计算留数(两种方式):R1=Res[f(p)

=

(p−

p2+=exp(iωt)2

R2=Res[f(p)exp(pt)]p=−iω

∂p(p2+

f(t)=R1+R2=**(5)Heavisidef(p)=P(p)/Q(p),P(p)Q(p)pQ(p)P(p),L−1

[ f

P(αk)

αkQ(p)=0的不同根 f(t)=L−1 p2−3p+2P(p)= Q(p)=(p−1)(p−f(t)

P(1) Q′(1)

+P(2)Q′(2)

e2t=2e2t−PAGEPAGE15/ 例题♠f(p),Lace变换的性质,求其原函数f习题f(p)=f(p)

2p+ p2−2p+请阅读§6.2(96–97页PAGEPAGE16/ 用Lace变换法PAGEPAGE17/习题 T′(t)+ω2T(t)=F(t),T(0)= tT(t) F(τ)exp[−ω2(t−τ)] (9)0 T′′(t)+ω2T(t)=F(t),T(0)= T′(0)= T(t)=ω

tF(τ)sin[ω