河南省洛阳市第二外国语学校高三高考数学闯关密练特训《指数与指数函数新》试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2-4指数与指数函数1。函数f（x)＝（a2－1）x在R上是减函数，则a的取值范围是（）A．|a|>1 B．｜a|<2C．｜a｜<eq\r(2） D．1<｜a｜〈eq\r（2)［答案]D[解析]由题意知，0〈a2－1<1，∴1<a2〈2,∴1〈|a|〈eq\r(2)。2．(文)若指数函数y＝ax的反函数的图象经过点(2,－1）,则a等于()A.eq\f(1，2）B．2C．3D．10［答案]A［解析］运用原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则函数y＝ax过点(－1,2），故选A。(理)(2011·山东文,3）若点(a,9）在函数y＝3x的图象上，则taneq\f（aπ，6)的值为(）A．0 B.eq\f(\r(3)，3）C．1 D.eq\r（3)[答案］D[解析］由点(a,9）在函数y＝3x图象上知3a即a＝2，所以taneq\f(aπ,6)＝taneq\f(π,3)＝eq\r（3）。3．(2012·北京文，5)函数f（x）＝xeq\s\up15（\f(1,2）)－（eq\f（1，2）)x的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3［答案］B[解析］函数f(x）＝xeq\s\up15（\f（1,2))－(eq\f(1，2))x的零点个数即为方程xeq\s\up15(\f(1,2))＝(eq\f(1，2))x的实根个数，在平面直角坐标系中画出函数y＝xeq\s\up15（\f（1，2))和y＝（eq\f(1，2））x的图象，易得交点个数为1个．[点评］本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象．4．(文）在同一平面直角坐标系中,函数f(x)＝2x＋1与g（x）＝21－x的图象关于(）A．原点对称 B．x轴对称C．y轴对称 D．直线y＝x对称［答案]C［解析］y＝2x＋1的图象关于y轴对称的曲线对应函数为y＝21－x，故选C.（理)（2011·聊城模拟）若函数y＝2|1－x｜＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（)A．m≤－1 B．－1≤m<0C．m≥1 D．0〈m≤1［答案]A[解析]∵|1－x｜∈［0，＋∞）,∴2|1－x｜∈[1，＋∞),欲使函数y＝2|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，应有m≤－1。5．（文）(2011·浙江省台州市模拟)若函数f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x,x<1，,\r（x－1），x≥1，））且f（a）〉1，则实数a的取值范围是（）A．(0,1) B．(2，＋∞）C．（0，1)∪(2,＋∞) D．（1，＋∞)[答案］C[解析］由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a〈1，，2a>1，))得0<a<1,由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a≥1，，\r（a－1）〉1,））得a>2,所以实数a的取值范围是（0,1）∪(2，＋∞）．(理）函数y＝|2x－1｜在区间（k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是()A．(－1，＋∞） B．（－∞,1）C．（－1，1） D．(0，2)[答案］C［解析]由于函数y＝｜2x－1｜在(－∞，0）内单调递减,在（0，＋∞)内单调递增，而函数在区间（k－1,k＋1)内不单调,所以有k－1<0〈k＋1，解得－1<k〈1。6．f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)))xx≥4，，fx＋1x<4。))则f（2＋log23)的值为（）A。eq\f（1,3） B。eq\f(1,6）C.eq\f（1，12) D.eq\f（1,24）［答案］D[解析]∵1<log23〈2,∴3<2＋log23〈4,∴f(2＋log23)＝f（3＋log23)7．（文)(2011·青岛模拟）若定义运算a*b＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（aa〈b，,ba≥b，））则函数f（x）＝3x＊3－x的值域是________．[答案］(0,1］［解析]由a＊b的定义知，f(x）取y＝3x与y＝3－x的值中的较小的，∴0<f(x)≤1.（理）(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中,若f(x）＝2x，g(x)＝x2，则h（3）的值等于________．[答案]9[解析］由程序框图可知，h(x)的值取f(x)与g（x）的值中较大的，∵f（3）＝23＝8,g(3）＝32＝9,9〉8，∴h（3）＝9。8．若函数f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（1，x），x〈0，，\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))）x，x≥0。)）则不等式｜f（x)｜≥eq\f(1,3）的解集为________．［答案］［－3,1］[解析］f（x)的图象如图．|f（x）|≥eq\f(1,3）⇒f（x）≥eq\f(1，3)或f（x)≤－eq\f(1，3).∴eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)）)x≥eq\f(1，3）或eq\f（1，x)≤－eq\f(1，3)∴0≤x≤1或－3≤x〈0，∴解集为｛x｜－3≤x≤1｝．9．定义区间[x1，x2］的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x｜的定义域为［a，b]，值域为[1，9］，则区间［a，b]的长度的最大值为______，最小值为______．[答案］42［解析］由3｜x｜＝1得x＝0，由3｜x｜＝9得x＝±2,故f(x)＝3｜x|的值域为［1，9]时，其定义域可以为[0,2］，［－2，0]，[－2,2］及［－2，m],0≤m≤2或［n,2]，－2≤n≤0都可以,故区间[a，b］的最大长度为4，最小长度为2.10．（文)已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，1)时，f(x)＝eq\f（2x,4x＋1).（1）求f（x）在(－1，1）上的解析式;(2）证明:f（x)在（0,1）上是减函数．［解析］（1）∵f（x)是R上的奇函数,∴f(0）＝0，又当x∈(－1,0）时,－x∈（0,1），∴f(－x)＝eq\f(2－x，4－x＋1）＝eq\f(2x,1＋4x），∵f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝－eq\f(2x，1＋4x），∴f（x)在（－1，1)上的解析式为f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（2x,4x＋1）x∈0,1，,－\f(2x，4x＋1)x∈－1,0，,0x＝0。)）（2）当x∈（0，1）时，f（x)＝eq\f（2x，4x＋1).设0<x1<x2〈1，则f(x1)－f(x2)＝eq\f（2x1，4x1＋1）－eq\f(2x2,4x2＋1）＝eq\f（2x2－2x12x1＋x2－1，4x1＋14x2＋1)，∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0,∴f(x1)－f(x2)〉0，即f（x1）〉f（x2）,故f（x）在（0,1)上是减函数．(理）已知f(x）＝eq\f(a,a2－1）（ax－a－x)（a〉0且a≠1)．（1)判断f（x）的奇偶性;(2）讨论f(x）的单调性；（3）当x∈［－1，1]时，f（x)≥b恒成立，求b的取值范围．［分析]（1)判断奇偶性应先求定义域后计算f（－x）,看是否等于f（x)(或－f(x))；（2)可用单调性定义,也可用导数判断f（x)的单调性；(3）b≤f（x)恒成立，只要b≤f(x)min，由f（x）的单调性可求f(x)min.［解析］(1）函数定义域为R,关于原点对称．又因为f（－x)＝eq\f（a,a2－1)(a－x－ax)＝－f（x)，所以f(x）为奇函数．（2）当a〉1时,a2－1〉0,y＝ax为增函数,y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数,所以f（x)为增函数．当0〈a<1时,a2－1〈0,y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．故当a>0，且a≠1时,f(x）在定义域内单调递增．（3)由(2)知f(x)在R上是增函数,∴在区间［－1,1］上为增函数，∴f(－1）≤f(x)≤f（1），∴f（x）min＝f（－1)＝eq\f(a，a2－1)（a－1－a）＝eq\f（a,a2－1)·eq\f(1－a2,a）＝－1。∴要使f（x）≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1］。能力拓展提升11.（文）(2012·四川文）函数y＝ax－a(a〉0，且a≠1）的图象可能是（)［答案]C［解析］根据函数y＝ax－a过定点（1,0），排除A、B、D选项，得C项正确．（理)函数f(x)＝1＋log2x与g（x）＝2－x＋1在同一直角坐标系内的图象大致是()[分析]函数f(x）＝1＋log2x的图象可由函数y＝log2x的图象变换得到；函数y＝2－x＋1可由函数y＝（eq\f(1,2）)x的图象变换得到．［答案］C[解析］f（x）＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的;g（x)＝2－x＋1＝(eq\f（1，2））x－1的图象可由y＝（eq\f(1,2）)x的图象向右平移一个单位长度得到．［点评]幂、指、对函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质,掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图．12．(文）（2011·广州市综合测试）函数f（x）＝ex＋e－x(e为自然对数的底数）在（0，＋∞)上（)A．有极大值 B．有极小值C．是增函数 D．是减函数［答案]C[解析］设0〈x1<x2，则f（x2)－f（x1)＝ex2＋eq\f（1,ex2)－ex1－eq\f（1，ex1）＝（ex2－ex1)－eq\f（ex2－ex1，ex2ex1）＝(ex2－ex1）（1－eq\f（1,ex2ex1））〉0，所以函数f（x）＝ex＋e－x(e为自然对数的底数)在（0，＋∞）上是增函数．（理）（2011·大连模拟）已知函数f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，，ax－6，x>7.))若数列｛an}满足an＝f（n）（n∈N＊)，且｛an}是递增数列,则实数a的取值范围是（)A．［eq\f(9,4)，3) B．(eq\f（9,4）,3）C．(2,3） D．(1,3）［答案]C［解析]∵{an｝是递增数列,∴f(n)为单调增函数，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉1，,3－a〉0，,a8－6〉3－a×7－3，)）∴2<a〈3.13．（2011·陕西师大附中一模)设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a）＋eq\f（1，b）＝2，则m＝________.［答案]eq\r（10)[解析]∵2a＝5b＝m∴a＝log2m，b＝log5∴eq\f（1,a)＋eq\f(1，b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f（1,log5m）＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝eq\r(10）.14．(文）（2011·南通六校联考）已知a＝eq\f(\r（5)－1，2)，函数f(x)＝ax,若实数m、n满足f(m)〉f（n）,则m、n的大小关系为________．［答案]m〈n[解析］∵a＝eq\f（\r（5）－1,2)∈(0，1)，∴y＝ax是减函数，故am〉an⇒m<n。(理）已知eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f（\r（2),2)））9的展开式的第7项为eq\f(21,4),则x的值为________．［答案]－eq\f(1，3)［解析]T7＝Ceq\o\al(6,9）(2x）3·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2）,2))）6＝eq\f（21，2)×8x＝eq\f（21,4)，∴3x＝－1,∴x＝－eq\f(1，3）.15．(文)（2011·上海吴淞中学月考）已知函数f(x)＝eq\f（a·2x＋a－2,2x＋1)是奇函数．（1)求a的值；（2)判断函数f(x）的单调性，并用定义证明；(3）求函数的值域．［解析］(1)∵f(x)的定义域为R,且为奇函数．∴f(0）＝0,解得a＝1。(2)由(1）知,f（x)＝eq\f(2x－1,2x＋1）＝1－eq\f(2,2x＋1），∴f(x）为增函数．证明：任取x1，x2∈R，且x1〈x2。f(x1)－f(x2)＝1－eq\f（2，2x1＋1)－1＋eq\f(2，2x2＋1)＝eq\f（22x1－2x2,2x1＋12x2＋1），∵x1<x2，∴2x1－2x2〈0，且2x1＋1>0,2x2＋1>0.∴f（x1）－f(x2)〈0,即f(x1)〈f（x2)．∴f(x)为R上增函数．（3）令y＝eq\f(2x－1,2x＋1)，则2x＝eq\f（－1－y，y－1)，∵2x>0,∴eq\f（－1－y,y－1)〉0，∴－1〈y〈1.∴函数f（x)的值域为（－1,1）．（理)定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M〉0，都有|f（x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x）的上界．已知函数f(x）＝1＋a·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）））x＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，4))）x.（1）当a＝1时，求函数f(x）在(－∞，0）上的值域,并判断函数f（x)在(－∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；(2）若函数f(x)在［0，＋∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．[解析](1）当a＝1时，f(x）＝1＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）)）x＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，4)）)x.因为f（x)在（－∞，0）上递减，所以f（x)>f(0)＝3，即f（x)在（－∞，0)上的值域为（3，＋∞）．故不存在常数M〉0，使|f(x)|≤M成立．所以函数f(x）在(－∞，0）上不是有界函数．(2）由题意知，|f(x）｜≤3在［0,＋∞)上恒成立．∴－3≤f(x)≤3，即－4－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,4))）x≤a·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2))）x≤2－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，4）)）x,∴－4·2x－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）)）x≤a≤2·2x－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)））x在［0,＋∞）上恒成立，设2x＝t，h（t)＝－4t－eq\f(1,t），p（t)＝2t－eq\f（1，t），由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t1<t2,h(t1)－h（t2）＝eq\f(t2－t14t1t2－1，t1t2)>0p(t1）－p(t2）＝eq\f(t1－t22t1t2＋1，t1t2)<0所以h(t）在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞）上递增，h（t）在［1，＋∞）上的最大值为h（1)＝－5，p(t)在[1，＋∞）上的最小值为p（1）＝1，所以实数a的取值范围为[－5,1]．1．若关于x的方程｜ax－1｜＝2a(a〉0，a≠1）有两个不等实根，则aA．(0，1)∪(1,＋∞） B．(0，1)C．（1，＋∞) D．（0,eq\f(1,2))[答案]D[解析]若a>1，如图(1）为y＝|ax－1|的图象，与y＝2a显然没有两个交点；当0〈a<1时，如图(2)，要使y＝2a与y＝｜ax－1|的图象有两个交点，应有2a〈1，∴0<a<eq\f(1,2).2．设函数f（x）＝｜2x－1|的定义域和值域都是[a，b］（b>a），则a＋b等于(）A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]因为f（x)＝｜2x－1|的值域为[a，b]，所以b>a≥0,而函数f（x)＝|2x－1｜在[0,＋∞）内是单调递增函数,因此应有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（｜2a－1|＝a，，|2b－1｜＝b，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1，)）所以有a＋b＝1，选A。[点评]本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b>a≥0,从而避免了对a、b的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性,建立关于a、b的方程组求解．3．（2011·石家庄一中模拟)若函数y＝f(x)是函数y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数，其图象经过点（eq\r（a)，a),则f（x）＝()A．log2x B．logeq\s\do10（\f(1,2））xC。eq\f(1,2x) D．x2［答案]B[解析]函数y＝ax的反函数是f（x）＝logax，∵其图象经过点（eq\r(a），a)，∴a＝logaeq\r(a)，∴a＝eq\f（1，2)，∴f(x）＝logeq\s\do10(\f（1,2）)x。4．已知所有的点An(n，an)（n∈N*）都在函数y＝ax(a〉0,a≠1)的图象上,则a3＋a7与2a5A．a3＋a7〉2aB．a3＋a7〈2aC．a3＋a7＝2aD．a3＋a7与2a5的大小关系与a［答案]A[解析]因为所有的点An（n,an）(n∈N*)都在函数y＝ax（a〉0，a≠1）的图象上，所以有an＝an，故a3＋a7＝a3＋a7，由基本不等式得:a3＋a7>2eq\r（a3·a7)＝2eq\r（a10）＝2a5，∴a3＋a7〉2a5（因为a>0，a≠1,从而基本不等式的等号不成立）,故选A.5．（2011·山东济南一模)若实数x，y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是()A．0〈t≤2 B．0<t≤4C．2<t≤4 D．t≥4[答案]C［解析］由4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，得(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)．即t2－2·2x＋y＝2t，t2－2t＝2·2x＋y.又由2x＋2y≥2eq\r(2x＋y），得2x＋y≤eq\f（1,4)(2x＋2y)2,即2x＋y≤eq\f（1,4)t2。所以0〈t2－2t≤eq\f（1，2）t2.解得2〈t≤4.6．已知函数f（x）＝eq\b