经济数学基础（第六版）（上册）课件 第6讲1.6函数的连续性

经济数学基础辅导第6讲顾静相1.6函数的连续性教学要求

理解函数在一点连续性的概念，初等函数的连续性；

了解闭区间上连续函数的性质；

会判别间断点的类型，会求连续函数的极限．连续函数的概念

定义1.17设函数

y=f

(x)

在点

x0

的某个邻域内有定义，如果当

x→x0时，函数

f(x)的极限存在，且等于

f(x)在点

x0处的函数值

f(x0)，即

，

则称函数

f(x)在点

x0处连续．

连续函数的概念结论:1．若函数

y=f

(x)在点

x0处连续，则

f(x)在点

x0处的极限一定存在；反之，若

f(x)在点

x0处的极限存在，则函数

f(x)在点

x0处不一定连续．2．若函数

y=f

(x)在点

x0处连续，在求x→x0时

f

(x)的极限，只需求出

f

(x)在点

x0处的函数值

f(x0)即可．

连续函数的概念结论:3．当函数

y=f

(x)在点

x0处连续时，有

．这个等式的成立意味着在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互相交换．

连续函数的概念

若函数

u=

(x)当

x→x0时极限存在且等于

u0，即而函数

y=f

(u)在点

u0处连续，则复合函数

y=f

[

(x)]当

x→x0时极限存在，且

．

定义1.18如果函数

y=f

(x)

在区间

(a,b)内任意一点都是连续，则称

f

(x)

在区间

(a,b)内连续．

若函数

y=f

(x)在区间

(a,b)内连续，且

，

，则称

f

(x)在闭区间

[a,b]上连续．连续函数的概念初等函数的连续性

定理1.4若函数

f(x)

与

g(x)

在点

x0

处连续，则这两个函数的和

f(x)+

g(x)

、差

f(x)g(x)、

积

f(x)

g(x)

、商

（当g(x0

)0时）在点

x0

处连续．

初等函数的连续性

定理1.4若函数

f(x)

与

g(x)

在点

x0

处连续，则这两个函数的和

f(x)+

g(x)

、差

f(x)g(x)、

积

f(x)

g(x)

、商

（当g(x0

)0时）在点

x0

处连续．

定理1.5

设函数

u=

(x)在点

x0

处连续，

y=f(u)

在点

u0

处连续，且

u0=

(x0)，则复合函数y=f[

(x)]

在点

x0处连续.

初等函数的连续性结论

基本初等函数在其定义域内都是连续函数．

由基本初等函数经过四则运算以及复合步骤所构成的初等函数在其定义区间内都是连续的．

因此，求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可．连续函数求极限的方法例1求．

连续函数求极限的方法例1求．

解因为是求有理分式的极限，由二项式的展开式得分子的最高次幂是

，分母的最高次幂是

，所以用公式（4.2

）得：

．

连续函数求极限的方法例2求．

连续函数求极限的方法例2求．

解因为

，所以不能利用商的极限运算法则，也不能利用（4.1）式求之．又因为

，所以可有理化，即分子、分母同乘

，得：连续函数求极限的方法例4求．

解因为

，所以不能利用商的极限运算法则，也不能利用（3.1）式求之．又因为

，所以可有理化，即分子、分母同乘

，得：连续函数求极限的方法解因式分解连续函数求极限的方法解因式分解函数的间断点定义1.19设函数

y=f

(x)

在点

x0

的某个邻域内有定义，如果y=f

(x)

在点

x0

处不连续，那么称点

x0为f

(x)

的间断点．

函数的间断点如果f

(x)

在点

x0

处有下列三种情况之一，则点

x0

是f

(x)

的一个间断点．

(1)在点

x0

处

f

(x)

没有定义；

(2)不存在；

(3)虽然存在，但

．

函数的连续性

例3考察函数

在点

x=

1

处的连续性．函数的连续性

例3考察函数

在点

x=

1

处的连续性．

解因为

在点

x=

1

处没有定义，所以x=

1是f(x)的一个间断点．函数的连续性

例3

讨论函数

在点

x=

1

处的连续性．

解因为

在点

x=

1

处没有定义，所以x=

1是f(x)的一个间断点．

又因为

所以点

x=

1称为f(x)的无穷间断点．函数的连续性

例4

讨论函数

在点

x=0

处的连续性．函数的连续性

例4

讨论函数

在点

x=0

处的连续性．

解虽然在点

x=0

处

f(x)

有定义，且

f(0)=0，但是在

x=0

处，

,

,即

f(x)

在

x=0

处左、右极限不相等，得f(x)

在

x=0

处极限不存在．所以

x=0

是

f(x)

的一个跳跃间断点．函数的连续性

解虽然在点

x=0

处

f(x)

有定义，且

f(0)=0，但是在

x=0

处，

,

,即

f(x)

在

x=0

处左、右极限不相等，得f(x)

在

x=0

处极限不存在．所以

x=0

是

f(x)

的一个跳跃间断点．函数的连续性

例5

讨论函数

在点

x=2

处的连续性．函数的连续性

例5

讨论函数

在点

x=2

处的连续性．

解虽然在点

x=2

处

f(x)

有定义，函数值f(2)=-4，而且在

x=2

处函数的极限

,存在，但是．所以

x=2

是

f(x)

的一个间断点．函数的连续性

例5

讨论函数

在点

x=2

处的连续性．

解由右图可知，x=2是

f(x)

的一个可去间断点．只要在点

x=2改变定义或补充定义，就可以使

在该点连续．闭区间上连续函数的性质定理1.6若函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值.

闭区间上连续函数的性质定理1.6若函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值.

如右图，

f(x)在[a,b]上连续，在点

x1处取得最小值m，在点

x2与点

b处取得最大值M．

闭区间上连续函数的性质定理1.7(介值定理)若函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续，

m和

M分别为

f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则对介于