《数学分析(II)》课程教学大纲

《数学分析(II)》教学大纲【课程编号】BJ25102【课程类别】专业基础课【学分数】7【开设学期】2【学时数】110【适用专业】数学与应用数学，信息与计算科学【先修课程】先修课程：数学分析(I)，高等代数，解析几何一、课程性质与任务性质：本课程是高等院校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门重要基础课，对培养学生的数学素养和科学研究能力有着重要的意义，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程的阶梯。对数学与应用数学专业的学生来说，学习本课程也为深入理解中学数学打下必要的基础。

任务：本课程的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识。通过本课程的学习，应使学生：1

对极限的思想和方法有较深刻的认识，从而有助于培养学生的辩证唯物主义观点。2

正确理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用能力。3对数学与应用数学专业的学生来说，能应用数学分析的有关知识深入浅出地处理好中学教材。二、课程的基本要求1、正确理解以下概念和它们之间的联系函数、极限、连续、一致连续、实数集的确界、导数、微分、不定积分、定积分、偏导数、全微分、二重积分、三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分、两类广义积分的敛散性、数项级数的敛散性、函数列与函数项级数的一致收敛性。2、正确理解以下基本定理和公式，并能正确应用极限的主要定理、实数的基本定理、微分中值定理、泰勒定理、微积分基本定理、隐函数存在定理、一致连续与一致收敛性定理、格林公式、斯托克斯公式三、课程主要内容及学时分配第八章不定积分

[教学内容]：原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则，换元积分法，分部积分法，三角函数有理式的不定积分，几种无理函数的不定积分如

等，几种不能用初等函数表示的不定积分。[教学时数]：13学时。第九章定积分

[教学内容]：定积分的引入（曲边梯形面积与变力作功），定积分定义及几何意义，可积的必要条件，大和、小和及其性质，可积的充要条件，可积函数类——在闭区间上连续的函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数，定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质，积分第一中值定理、积分第二中值定理，微积分学基本定理，牛顿——莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法。[教学时数]：17学时。第十章定积分的应用

[教学内容]：简单平面图形面积，曲线的弧长与弧微分，曲率*，已知截面面积函数的立体体积，旋转体体积与侧面积，平均值，物理应用（压力、功、静力矩与重心等）。[教学时数]：13学时。第十一章反常积分

[教学内容]：无穷限积分概念，柯西准则，线性运算法则,比较原则，柯西判别法，阿贝尔判别法与狄利克判别法，绝对收敛，无穷限积分收敛性判别法。瑕积分概念，瑕积分收敛性判别法。[教学时数]：13学时。第十二章数项级数[教学内容]：数项级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛的基本性质，正项级数比较原则，比式判别法，根式判别法，一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱伯尼兹判别法，阿贝尔判别法与狄利克莱判别法，绝对收敛级数的重排定理，条件收敛级数的黎曼定理*，级数乘法*。[教学时数]：15学时。第十三章函数列与函数项级数[教学内容]：函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则，函数项级数维尔斯特拉斯优级数判别法，阿贝尔判别法与狄利克莱判别法，函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性，逐项可积性与逐项可微性。[教学时数]：13学时。第十四章幂级数

[教学内容]：阿贝尔第一定理，收敛半径与收敛区间，一致收敛性，连续性，逐项积分与逐项微分，幂级数四则运算，泰勒级数，泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开，近似计算，用幂级数定义正弦与余弦函数*，复变量的指数函数与欧拉公式*。[教学时数]：13学时。第十五章傅立叶级数

[教学内容]：三角级数，三角函数系的正交性，傅立叶级数，贝塞尔不等式，黎曼—勒贝格定理，傅立叶级数的部分和公式，按段光滑以2π为周期的函数的傅立叶级数，按段光滑以2L为周期的函数的傅立叶级数，一致收敛性定理*，傅立叶级数的逐项积分与逐项微分*，维尔斯特拉斯函数逼近定理*。[教学时数]：13学时。五、考核方式及成绩构成闭卷考试，平时占30%,考试占70%六、推荐教材与参考书目1授课教材:数学分析(上、下册)(第三版)，华东师范大学数学系，高等教育出版社,2001年。该教材是面向21世纪课程教材，普通高等教育“九五”国家教委重点教材，获国家优秀奖。2指导书目：(1)数学分析教程，常庚哲、史济怀，高等教育出版社，2003年。推荐理由：本书是“十五”国家级规划教材，书中对当代理论数学与应用数学中的分支作了纯数学分析的介绍。可供较为优秀的学生阅读，增加对数学分析的了解与兴趣。(2)数学分析习题精解(