2023年高考数学文一轮复习教案第12章12-2参数方程

12.2参数方程

【考试要求】

1.了解参数方程，了解参数的意义.

2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

【知识梳理】

1.参数方程和普通方程的互化

（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得

到普通方程.

（2）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数f的函数

\x=ft，

并且对于《的每一个允许值，由方程组所确定的点,"（x,力都在这条曲线上，那

Lr=gt,

么此方程就叫做这条曲线的参数方程.

2.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹普通方程参数方程

y-%=tano•（x-fx=Xo+tcoso

（t为参

直线[y=Jb+£sina

数）

2■22fx=rcos0,

圆♦+—（0为参数）

[y=rsin8

22{x=acosO,

椭圆1I力21\ci/U/\J）（。为参数）

[y=/?sinO

ix=2pt~,

抛物线y=2p^（p>o）\y=2pt（t为参数）

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

⑴参数方程厂一'1'中的"都是参数£的函数.（V）

[y=gt

f%=2cos9,

（2）方程IC（°为参数）表示以点（0,1）为圆心，以2为半径的圆・（J）

ly=l+2sin0

x=2cost,n

（3）已知椭圆的参数方程（1为参数），点"在椭圆上，对应参数方=三，点。为原

y=4smtJ

点，则直线的斜率为#.（X）

x=2cos0,

（4）参数方程，（〃为参数且"e0,]）表示的曲线为椭圆.（x）

y=5sin0

【教材题改编】

fx=2+sin2S,

1.将参数方程（6为参数）化为普通方程为（）

[y=sin0

A.y=x—2

B.y=x+2

C.y=x-2（2WxW3）

D.y=x+2（0WKD

答案C

解析代入法，将方程化为尸x-2,但xe⑵3],ye[0,1].

fx=­1+cos0,

2.曲线,“（6为参数）的对称中心（）

[y=2+sin0

A.在直线y=2x上

B.在直线y=-2x上

C.在直线尸x—l上

D.在直线y=x+l上

答案B

fx=­1+cos0,fcose=x+l,

解析由c,.。得.“c

[y=2+sin9[sin6=y-2.

所以（X+IT+CK-2）2=1.

曲线是以（-1,2）为圆心，1为半径的圆，

所以对称中心坐标为（一1,2）,在直线y=-2x上.

\x=fcosa,

3.己知直线/的参数方程是（1为参数），若/与圆/+/-4x+3=0交于4B

tsina

两点，且M例=/,则直线/的斜率为.

答案土噂

[x=teaso,

解析由小为参数），

[y=tsina

得/=日@11a,

设左=tana,得直线的方程为尸左x,

由三十/—4才+3=0,得（x—2尸+/=1,圆心坐标为（2,0）,半径为1,

・・・圆心到直线y=Ax的距离为

._\ABV1\2k\

12-^-=2=^+T，

得仁

题型一参数方程与普通方程的互化

例1(2021•全国乙卷)在直角坐标系*0y中，0c的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出0C的一个参数方程；

(2)过点尸(4,1)作OC的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两

条切线的极坐标方程.

解⑴因为。，的圆心为⑵D,半径为1，所以0c的参数方程为[[%n=+2+scoisn。0,(,为参

数).

(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x=4,此时圆心到直线距离为2>r,舍去;

当直线斜率存在时，设切线为尸在5—4)+1,即心Ly-44+l=0,

12A—1-4A+1

故即|2川=、1+六,

A/1+A2

4d=1+片，解得A=

故直线方程为尸算(x—4)+1或y=一算(x—4)+1.

故两条切线的极坐标方程为

psin。=半夕cos夕一^^+1或

Psin00cos

即°sin(夕+弓，=2一乎或osin(«+高=2+乎.

【教师备选】

在平面直角坐标系x%中，直线1的参数方程为《(2为参数)，以。为极

点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为0=

4cos0.

(1)求曲线C的直角坐标方程及直线1的普通方程；

(2)将曲线。上的所有点的横坐标缩短为原来的去再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得

到曲线G,求曲线G上的点到直线1的距离的最小值.

解(1)曲线C的直角坐标方程为f+/=4x,

即(x—2)z+/=4.

直线1的普通方程为%-，+2m=0.

(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的看

得(2x—2尸+/=4,

即(X—1)2+^*=1,

再将所得曲线向左平移1个单位长度，

得曲线G：*+亍=1,

x=cos8,

则曲线G的参数方程为°(，为参数).

,y=2sin0

设曲线G上任一点P(cose,2sin。)，

则点尸到直线/的距离

Icos。-2sin夕+2加：

|2季一、/^sin夕+。|

=^

其中。满足sin。=一卓，cos。=邛^,

55

由三角函数知，

当sin(«+0)=1时，d取最小值手，

所以点P到直线1的距离的最小值为挈.

思维升华消去方程中的参数一般有三种方法

(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.

(2)利用三角恒等式消去参数.

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数.

\x=a—2t,

跟踪训练1已知直线1的参数方程为“为参数)，圆C的参数方程为

[y=-41

x=4cos0,

（0为参数）.

j=4sin6n

（1）求直线/和圆C的普通方程；

（2）若直线/与圆C有公共点，求实数a的取值范围.

解⑴直线/的普通方程为2a=0,

圆C的普通方程为*+7=16.

（2）因为直线/与圆C有公共点，

|—2«|

故圆C的圆心到直线1的距离占不常W4,

解得一2mWaW2乖.

即实数a的取值范围为[一2/，2琳].

题型二参数方程的应用

x=2cos0,

例2在直角坐标系x0中，曲线C的参数方程为八（。为参数），直线/的参数

y=4sin8

x=1+tcos

方程为，1为参数）.

y=2+tsina

⑴求。和/的直角坐标方程；

⑵若曲线。截直线/所得线段的中点坐标为（1,2）,求/的斜率.

[x=2cos0,

解（1）由曲线。的参数方程,（，为参数），

[y=4sin0

所以份即M=L

22

所以曲线c的直角坐标方程为!+N=1.

416

当cosoWO时，，的直角坐标方程为y=tana•^+2—tana,

当cos4=0时，/的直角坐标方程为x=l.

⑵将/的参数方程代入。的直角坐标方程，

整理得关于t的方程（l+3cos?a）r+4（2cosa+sina）f—8=0.①

因为曲线C截直线/所得线段的中点（1,2）在。内，

所以①有两个解，设为33则。+均=0.

42cos〃+sina

又由①得力十七=

l+3cos2a

故2cosa+sina=0,

于是直线/的斜率a=tana=-2.

【教师备选】

%=\/2cose,

（2022•安阳模拟）在平面直角坐标系x%中，曲线C的参数方程为V（，为参

,y=sin6

数），直线）过点Ml,0）且倾斜角为a.

（1）求出直线1的参数方程和曲线C的普通方程；

⑵若直线/与曲线。交于4方两点，且「7二力邛,求cos。的值.

，x

解（1）曲线。的参数方程[%=VA/2COS。（。为参数），转换为普通方程为不+/=91;

ly=sin02

x=1+2cosa,

直线/过点"（1,0）且倾斜角为%则参数方程为&为参数）.

,y=^sina

\x=1+tcosa,y

（2）把直线/的参数方程（1为参数）代入卷+/=1.

[y=tsma乙

得到（1+sir?a）/+21cosa—1=0,

g、iI2cosa

所以t1+t2=-1+sin2o,

力|sin-a（力和七分别为力和6对应的参数），

1京0,则3协异号？|I网一卜曲|1=1IA|—I加1=14+Mg

\MA\•\MB\J3

f|IfJl—|\MA\-\MB\I-丫3'

整理得%+周=|-1誉r/J=水〔*㈤=l+£°，

解得cosa—土喙.

思维升华（1）解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与

曲线的位置关系来解决.

\x=xo+at,

（2）对于形如小为参数），当a'+Z^Wl时，应先化为标准形式后才能利用力的几

[y—yo+bt

何意义解题.

X——1—t,

跟踪训练2在平面直角坐标系x0中，已知直线）的参数方程为,（亡为参数）.以

l.y=2+t

坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P2+P2sin20^2,

直线/与曲线C交于48两点.

（1）求直线1的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点/，的极坐标为,求|必|•阳的值.

解(1)1的普通方程为矛+了-1=0.

,/P2+P2sin2。=2,

；./+/+y=2,

即曲线，的直角坐标方程为*+y=i.

(2)方法一J)在直线/上,

1<

-2--2

直线1落(r'为参数),

-2-十2

代入曲线「的直角坐标方程得取邛V)+29+将)-2=0,

即I'2+孚'-1=0,

设48两点对应的参数分别为/”e2,则

5

(

\PA•\PB\=\t',|•t'2|=|txt'2|=-

fy=l-x,

方法二由〜-n消去人得3f—4x=0,

lr+2/=2,

,4

解得为=0,%

不妨设/(O,1),噂，一目，

题型三极坐标方程和参数方程的综合应用

例3(2021•全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线。的极坐标方程为夕=2*cos0.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)设点火的直角坐标为(1,0),"为C上的动点，点户满足力=/方/,写出尸的轨迹G的参数方

程，并判断C与C是否有公共点.

解⑴由P=2^2cos0,得p2=2^/2Pcos0,

即x+y=2-\[2x,

整理得(x—/尸+/=2.

(2)设)的坐标为(x,y),

贝(x—1,力，因为AP=y[^AM,

所以用餐

所以，得L乎+1,冬

因为材为c上的动点，

所以惇x*+lf)+(%2=2,

化简得(x+/一3尸+/=4,

即2点的轨迹。的方程为(x+/-3尸+/=4,

化成参数方程为

x=3+2cost—y[2,

(t为参数),

y=2sint

圆心。(3—/，0),c=2,

C(,yj2,0),广=业

因为13一小一小1〈2—木,所以C与G没有公共点.

【备选】

(2022•郑州模拟)在直角坐标系x0中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标

系，直线/的极坐标方程为。cos(，+5)=平，曲线C的极坐标方程为。"l+3sinz〃)=4.

(1)写出直线/和曲线C的直角坐标方程；

⑵已知点力(1,0),若直线/与曲线c交于只。两点，放的中点为独求“'北制的值•

解⑴因为直线/：0cos+彳卜堂，

故PCOS0—psin。-1=0,

即直线/的直角坐标方程为x—7-1=0,

因为曲线Gp2(l+3sin2^)=4,

则曲线，的直角坐标方程为z+4/=4,

即[+,=]

(2)点4(1,0)在直线/上,

设直线/的参数方程为〈&为参数）,

代入曲线C的直角坐标方程得

5F+2镜L6=0.

设尺0对应的参数分别为3t2,

则tltl=一）tlH-t-l=-r->

55

所以必对应的参数叁=，士”=一平,

思维升华参数方程和极坐标的综合应用

涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求

解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

跟踪训练3（2022•石嘴山模拟）在平面直角坐标系x0y中，曲线C的参数方程为

卜=l+cosa,

[y=sina

（。为参数），以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点4为曲线C上的动点，

点6在线段曲的延长线上且满足I。•|加|=8,点6的轨迹为C.

（1）求曲线C,C的极坐标方程；

（2）设点M的极坐标为（2,等），求△/8V面积的最小值.

fx=l+cosa,

解（1）由曲线G的参数方程为参数），

[y=sma

消去参数，可得普通方程为（x—即*+/-2才=0,

又由x=〃cos0,y=psin0,

代入可得曲线G的极坐标方程为P=2cose,

设点5的极坐标为（。，〃），点力点的极坐标为（。0，%）,

则|网=），|OA\—potPo=2cos瓢，夕=%,

因为IM•OB\=8,

所以P•夕0=8,

8

即7=2cos0,即pcos。=4,

所以曲线C的极坐标方程为0cos0=4.

(2)由题意，可得|。m=2,

则S^ABU=S4ml—0M\,|Xu—XA=]X2X4—2cos~«I=14—2cos'0,

即&,JS»=4—2cos20,

当cos29=1时，可得及蟀的最小值为2.

课时精练

(jy-之-t--/

1.(2020•全国HI)在直角坐标系X0中，曲线C的参数方程为，二(£为参数且

[y=2-3f+f

t#l),C与坐标轴交于48两点.

⑴求I制

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.

解(1)令x=0,则干+1—2=0,

解得Z=-2或2=1(舍去)，

则尸2+6+4=12,即4(0,12).

令y=0,则/-37+2=0,

解得t=2或t=1(舍去),

则x=2—2—4=—4,

即8(-4,0).

：.\AB\=yj0+42+12-02=4710.

(2)由(1)可矢口~=3,

U——4

则直线四的方程为尸3(x+4),

即3%-y+12=0.

由x=ocos0,y=psin〃可得，

直线力6的极坐标方程为3QCOS0—psin。+12=0.

2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线/的参数方程为

\x=tcosa,

(E为参数，。£[0,五))，曲线。的极坐标方程为"=4sin0.

[y=l+tsina

(1)写出曲线。的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线，相交于P,0两点，若闺|=标，求直线/的斜率.

解(l)：0=4sin0,

P2=4Psin0,

由=psin°=y,

得x+/=4y.

・・・曲线。的直角坐标方程为/+(y-2)2=4.

x—2cosa,

一.代入/+/=4y,

{y=l+fsino

整理得i2—2tsino-3=0,

设R。两点对应的参数分别为£”t2,

则t\~\~f2=2sina,t\ti~-3,

22

\PQ\=\t\—t2\=y]~tt+t2_—4ti^=^4sin+12=y[15,

ZH.#ni2n

得sinaa=77或a=—,

直线/的斜率为土

3.（2022•曲靖模拟）在平面直角坐标系x0中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

已知圆C的圆心的极坐标为

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）已知过点P（0,1）且倾斜角为。的直线/交圆C于46两点，^.\PA\+\PB\=VT1,求角a.

（。出，宁）的直角坐标为C（l,1）,圆C的半径片■,

解（1）圆心

则圆。的直角坐标方程为（才一1尸+。-1）2=3.

X—夕cos8,

将公式，代入(X—l)2+(y—1)2=3中,

[y=psin0

整理得圆。的极坐标方程为P2—2PCOS0—2psin6—1=0.

{x=tcosa,

⑵过点P（0,l）且倾斜角为a的直线/的参数方程为，.（亡是参数）,

y=l+fsin

代入圆。的直角坐标方程（x-l）2+（y—l）2=3中整理得r-2fcosa-2=0.

设交点力，8对应的参数分别为力，由根与系数的关系得右+£2=2COS*ti^2=—2<0,

则|掰+|朋=|力|+|t2\=|小一七|=，TT，

平方得（G+/2尸一4£尼=11,

则4cos,〃+8=11,

所以cosa=±%（0Wa〈n）,。或a=-7".

266

fx=4cos0+cosa,

4.（2022•宝鸡模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线G的方程为。,

ly=3sm〃+sina

（〃WR,。为参数）.

（1）求曲线G的普通方程并说明曲线C的形状;

（2）以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为"sin«一丁=0,

求曲线C的对称中心到曲线G的距离的最大值.

fx=4cos〃+cosa,

解（1）由曲线G的方程{n,（«eR,。为参数）可知,

I尸3sin«+sina

x—4cos0—cosa,

.（"R，a为参数），

{y—3s