切线的证明-判定的运用课件

年级：九年级学科名称：数学直线与圆的位置关系——切线的判定

授课学校：

授课教师：授课学校：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

条件：(1)经过半径的外端；圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径；●O┐Al∵l⊥OA，OA为半径∴直线l是⊙O的切线数学语言表达经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。条件1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的直线是圆的切线（)3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）4.圆心与直线上一点的距离等于半径长,则此直线为圆的切线()5.过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．()×××OrlAOrlAOrlA判断正误●O┐Al×1.过半径的外端的直线是圆的切线（）×××O如何判定一条直线是已知圆的切线？切线的判定方法有三种：(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(定义法)(2)到圆心的距离等于半径的直线

是圆的切线；(3)过半径外端点且和半径垂直

的直线是圆的切线；(判定定理)(d=r数量关系法)如何判定一条直线是已知圆的切线？切线的判定方法有三种：(2)1、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（）A、0条B、1条C、2条D、3条D基础练习1、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB为直径,还需添加的条件是＿＿＿＿＿.使得EF是⊙O的切线。FECOBA2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB为直径OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明＿＿＿即可。证明：连结OC(如图)。∵OA＝OB,CA＝CB,∴AB⊥OC。又∵OC为半径

∴AB是⊙O的切线。例1.已知：直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB,CA=CB求证：直线AB是⊙O的切线。例题讲解（1）AB⊥OCOBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明例2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC，垂足为E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴OE是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。

例题讲解（2）例2.已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为例题1与例题2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED例题1与例题2的证法有何不同?OBACOABCED例3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线二.例题讲解AOBDC分析：欲证DC是⊙O的切线，由于直线CD与⊙O有公共点C，所以连接OC，易知△OCB为等边三角形，由CB=OB=BD可得△OCD是直角三角形。证明OC⊥CD即可，因为AB是直径，所以连接BC，例题讲解（3）例3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=O证明：连结OC、BC例3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线AOBDC∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°∵∠CAB=30°∴∠ABC=60°∵OB=OC，∴△BOC为等边三角形∴BC=OB=BD，即△BCD为等腰三角形又∵∠CBD=180°-∠ABC=120°∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°又∵点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线∴∠BCD=∠D=30°证明：连结OC、BC例3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB例3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线AOBDC点评：如果直线与圆有公共点，则连接该点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径。即

“连半径，证垂直”例3.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=O例4.如图，已知：PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：AC是⊙O的切线证明：连结OE，过O作OF⊥AC垂足为F点∵AB是⊙O的切线∴OE⊥AB(?)（圆的切线垂直于经过切点的半径）又∵AP是∠BAC的角平分线，OF⊥AC∴OF=OE（？）∴AC是⊙O的切线（？）点评：如果直线与圆未知公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径。即

“作垂直，证半径”F例4.如图，已知：PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，小结

相切是直线与圆的位置关系中最重要一种关系，切线的判定与性质是中考命题中一个曲线型证明必涉及的内容，一般7~10分.在解决有关圆的切线问题时，常常需要添加辅助线:1、已知直线是圆的切线，通常连过切点的半径，得这条半径垂直于切线；2、要证明一条直线是圆的切线：①如果直线经过圆上某一点，则需要连接这点和圆心得到辅助线半径，再证明所作半径垂直于这条直线，总结为：“已知公共点，连半径，证垂直”；②如果已知条件中直线与圆的公共点没有确定，那么应过圆心作直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径。总结为：“未知公共点，作垂直，证半径”。即：知切线，连半径，得垂直。小结相切是直线与圆的位置关系中最重要一种关系，当堂训练已知：如图，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，PA⊥AB，BC∥OP，求证：PC是⊙O的切线

分析：要证明PC是⊙O的切线，由于点C在⊙O上，只需连结OC，证明OC⊥PC即可，而PA⊥AB，故需证△PAO≌△PCO，得∠PCO=∠PAO=90°证明：连结OC∵BC∥OP∴∠1=∠2∠3=∠B又∵OC=OA，OP=OP∴△PAO≌△PCO（SAS）∵OB=OC∴∠1=∠B∴∠2=∠3∴∠PCO=∠PAO而PA⊥AB∴∠PCO=90°∴PC是⊙O的切线123当堂训练已知：如图，AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，PA⊥●O●P┓1、已知：P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连接PA、PB那么PA、PB是⊙O的切线吗？AB练习●O●P┓1、已知：P为⊙O外一点，以OP为2.如图,△ABC中，以AB为直径的⊙O交边BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP2.如图,△ABC中，以AB为直径的⊙O交边BC于P，BP证明：连结OP。∵OB=OA，BP=PC，∴OP∥AC。又∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。∴PE为⊙0的切线。2.如图,△ABC中，以AB为直径的⊙O交边BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP证明：连结OP。2.如图,△ABC中，以AB为直径的⊙O交边3.已知：如图，同心圆O，大圆的弦

AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．

求证：CD是小圆的切线．3.已知：如图，同心圆O，大圆的弦

AB=CD，且AB是小小结1.判定切线的方法有哪些？直线l

与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.证明圆的切线常用辅助线作法：⑴连半径，证垂直⑵作垂直，证半径l是圆的切线l是圆的切线判定定理(半径+垂直)小结1.判定切线的方法有哪些？直线l与圆有唯一公共点与圆1.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,∠BAD＝∠B＝30°,边BD交圆于点D。求证：BD是⊙O的切线O●ABCD1.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,O2.如图，在△ABC中∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED

求证：DE是⊙O的切线·OACBED2.如图，在△ABC中∠ABC=90°，以AB为直径的⊙3.如图，已知，AB是⊙O直径，BC⊥AB于B，⊙O的弦AD∥OC，求证：DC是⊙O的切线．DOBCA3.如图，已知，AB是⊙O直径，DOBCA4.如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的

⊙O交AB于D，过点D作DE⊥AC于点E，

交BC的延长线于点F．．CBODFEA∟求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线4.如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的CBOD5.已知:如图,梯形ABCD中，AD‖BC，