新教材人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程-2022新高考一轮复习课件

3.1椭圆3.2双曲线P513.3抛物线P90直线与圆锥曲线P126第三章圆锥曲线的方程课标要求1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.3.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质,并能灵活运用.备考指导椭圆是高考中特别重要的内容,每年必考,甚至在解答题和客观题型中同时出现.关于椭圆的解答题具有较强的综合性,客观题为中等难度.在近几年的高考中,椭圆的考查方式越来越灵活.本节要注意椭圆的生成过程和实际应用问题,常用的方法有定义法、公式法、代入法、待定系数法、点差法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.【知识筛查】

1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.温馨提示若F1,F2为两个定点,点M满足|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数,则有如下结论:(1)若a>c,则点M的轨迹为椭圆;(2)若a=c,则点M的轨迹为线段;(3)若a<c,则点M的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质

问题思考(1)点和椭圆的位置关系有几种?如何判断?(2)直线与椭圆的位置关系有几种?如何判断?直线与椭圆的位置关系有三种:相离、相切、相交.判断方法为联立直线方程与椭圆方程,若消元后所得一元二次方程的判别式为Δ,则①直线与椭圆相离⇔Δ<0.②直线与椭圆相切⇔Δ=0.③直线与椭圆相交⇔Δ>0.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).(

)(4)椭圆的离心率e越大,椭圆越圆;e越小,椭圆越扁.(

)(5)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(

)√×√×√CB由题意及椭圆的定义可得,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a.∵|AB|=|AF1|+|BF1|,∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8,解得a=2.故选B.ACD设椭圆的左焦点为F',因为|AF'|=|BF|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=6,故A正确;△ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,因为|AF|+|BF|=6,|AB|∈(0,6),所以△ABF的周长的取值范围为(6,12),故B错误;能力形成点1椭圆的定义及应用C(2)一动圆与圆A:x2+y2+6x+5=0及圆B:x2+y2-6x-91=0都内切,则动圆圆心的轨迹是(

)A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆A由已知得圆A的标准方程为(x+3)2+y2=4,圆B的标准方程为(x-3)2+y2=100.设动圆的半径为r,动圆圆心为P,因为动圆与圆A及圆B都内切,所以|PA|=r-2,PB=10-r.所以|PA|+|PB|=8>|AB|=6.所以动圆圆心的轨迹为椭圆.(3)设F1,F2分别为椭圆

的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|-|PF1|的最小值为

.

-5由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|=10-|PF2|.则|PM|-|PF1|=|PM|-(10-|PF2|)=|PM|+|PF2|-10≥|MF2|-10,当且仅当点P在线段MF2上时取等号.故|PM|-|PF1|≥5-10=-5,即|PM|-|PF1|的最小值为-5.解题心得1.椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.有时需要结合椭圆的定义和余弦定理,求解关于焦点三角形的周长和面积的问题.对点训练1(1)如图,一圆形纸片的圆心为O,半径为R,F为圆内一定点,M为圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后复原,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹为(

)A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线 D.圆A由题意知,CD是线段MF的垂直平分线,∴|PM|=|PF|,|OF|<R,∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|.∴点P的轨迹为椭圆.C(3)已知点P为椭圆

上一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=4和(x-3)2+y2=1上的动点,则|PM|+|PN|的取值范围为

.

[7,13]依题意,椭圆

的左、右两个焦点分别为圆(x+3)2+y2=4和(x-3)2+y2=1的圆心,因此(|PM|+|PN|)max=2×5+3=13,(|PM|+|PN|)min=2×5-3=7.故|PM|+|PN|的取值范围为[7,13].能力形成点2椭圆的标准方程命题角度1用定义法求椭圆的标准方程D(2)在△ABC中,点A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是(

)A由已知得|AC|+|BC|=18-8=10>8,则顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,不包含x轴上的两点.命题角度2用待定系数法求椭圆的标准方程解题心得1.求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.2.利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a>|F1F2|,同时也要明确椭圆标准方程的形式;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.对点训练2(1)已知点A(-1,0),B是圆F:x2+y2-2x-11=0上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,则动点P的轨迹方程为(

)D(2)如图,已知椭圆C的中心为原点O,

为椭圆C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为(

)C(3)已知一个椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,焦点F1,F2在x轴上,

为该椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则该椭圆方程为

.

能力形成点3椭圆的几何性质命题角度1求离心率的值(或取值范围)例4

(1)已知O为椭圆C的中心,F为椭圆C的一个焦点,点M在椭圆C外,,经过点M的直线l与椭圆C的一个交点为N,△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形,则椭圆C的离心率为(

)B命题角度2求参数的值(或取值范围)例5

设A,B是椭圆C:长轴的两个端点,若椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(

)A解题心得1.求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系.对点训练3DB由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,当且仅当直线l与x轴垂直时,等号成立.能力形成点4直线与椭圆的位置关系(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆过椭圆M的右顶点C,求△ABC面积的最大值.解题心得1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简成一元二次方程,再应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.2.设斜率为k(k≠0)的直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),对点训练4(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过定点(1,0),求实数k的取值范围.思想方法——设而不求之点差法在椭圆中的应用答案:B解题心得点差法具有不等价性,使用时要注意直线和圆锥曲线是否有交点.有些题目从题干中就很容易判断这一条件是否满足,如典例2;但有些则没有明确这一条件,要注意检验或说明.3.2双曲线课标要求1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程.3.掌握双曲线的定义、标准方程及简单几何性质,并能解决有关问题.备考指导双曲线是高考命题的重点,考查频率很高,一般出现在选择题或填空题中,为中等难度.在近几年高考中,双曲线的考查方式越来越灵活.本节要注意双曲线的生成过程和实际应用问题,常用的方法有定义法、公式法、代入法、待定系数法、点差法、设而不求法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.【知识筛查】

1.双曲线定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.温馨提示若F1,F2为两个定点,点M满足||MF1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且a>0,c>0,则有如下结论:(1)当2a<|F1F2|时,点M的轨迹是双曲线;(2)当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是两条射线;(3)当2a>|F1F2|时,点M的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质

问题思考方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是什么?若A>0,B<0,则方程Ax2+By2=1表示焦点在x轴上的双曲线;若A<0,B>0,则方程Ax2+By2=1表示焦点在y轴上的双曲线,故Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是AB<0.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F1(0,5),F2(0,-5)的距离之差的绝对值等于10的点的轨迹是双曲线.(

)××√√√2.(多选)已知双曲线(λ≠0),则不因λ改变而变化的是(

)A.渐近线方程 B.顶点坐标C.离心率 D.焦距3.已知方程

表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(

)ACA能力形成点1双曲线的定义例1

(1)平面内有两个定点F1,F2和一个动点M,设有p:||MF1|-|MF2||是定值,q:点M的轨迹是双曲线,则p是q的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B当||MF1|-|MF2||是定值时,动点M的轨迹不一定是双曲线.当点M的轨迹是双曲线时,一定能得到||MF1|-|MF2||是定值.因此p是q的必要不充分条件.(2)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=

.

拓展延伸本例(2)中,若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2的面积是多少?解题心得1.理解双曲线的定义,注意关键点“距离的差的绝对值为非零常数”,既要明确是距离的差的绝对值,又要明确这一非零常数的取值限制.2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,建立与|PF1|·|PF2|的联系.对点训练1(1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(

)A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆B如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,因为N为MF1的中点,O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,所以|PM|=|PF1|.所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|=4.由双曲线的定义可得点P的轨迹是双曲线.(2)设双曲线

的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是

.

能力形成点2双曲线的标准方程A(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为

.

设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A,B,则|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2<|C1C2|=6,所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支.又a=1,c=3,则b2=8.解题心得求双曲线标准方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法.①当双曲线的焦点位置不确定时,设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0);对点训练2D能力形成点3双曲线的几何性质命题角度1求离心率的值或取值范围DC命题角度2与渐近线有关的问题例4

(1)(2020全国Ⅱ,理8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为(

)A.4 B.8 C.16 D.32B(2)已知F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小的内角为30°,则双曲线C的渐近线方程是(

)A2.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的取值范围问题,先要充分利用渐近线,对双曲线与直线的交点情况进行分析,再利用三角形或不等式知识解决问题.对点训练3AABCD2能力形成点4直线与双曲线的位置关系(1)求双曲线C的标准方程;(2)过点Q(1,1)的直线l与双曲线C交于M,N两点,且点Q恰好为线段MN的中点,求线段MN的长度.解题心得直线与双曲线的位置关系的判断方法和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似,但在联立直线方程与双曲线方程消元后,应注意二次项系数是否为0.对于中点弦问题常用“点差法”.高频小考点——高考中双曲线的离心率问题答案:C解题心得1.求双曲线的离心率的值或取值范围,解答思路的关键是建立关于a,b,c的等式或不等式,然后转化为关于离心率e的关系式.2.求双曲线的离心率的值或取值范围的具体方法:(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.3.求解双曲线的离心率问题可以结合双曲线的几何性质,利用已学的平面几何和三角形的知识搭建起所涉及量的长度或角度的关系.3.3抛物线课标要求1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程.3.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程,并能解决相关问题.备考指导抛物线是高考的重点内容,考查频率很高,一般出现在选择题或填空题中,中等难度.在近几年高考中,抛物线的考查主要侧重于定义、方程、几何性质等,有时和向量、不等式、函数等内容结合.本节常用的方法有定义法、代入法、待定系数法,考查的题目常利用抛物线的定义进行转化.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.【知识筛查】

1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.问题思考若定点F在定直线l上,则动点的轨迹是什么图形?过点F且与直线l垂直的直线.2.抛物线的标准方程与几何性质

抛物线中的常用结论:设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),AC,BD分别垂直于准线,垂足分别为C,D,如图所示,则⑤以AB为直径的圆与准线相切.⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切.⑦∠CFD=90°.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(

)(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(

)(4)已知过抛物线的焦点与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,则抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a.(

)(5)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线一定相切.(

)×××√×2.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|PQ|等于(

)A.9 B.8C.7 D.6B抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.3.已知抛物线的顶点为原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为

.

4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是

.

y2=-8x或x2=-y依题意,设抛物线方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).将点P(-2,-4)的坐标代入,分别得方程为y2=-8x或x2=-y.[-1,1]由已知得Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k≤1.能力形成点1抛物线的定义和标准方程命题角度1抛物线的定义及应用例1

(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(

)C(2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若点B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为

.

4如图,分别作PM,BQ与准线垂直,垂足分别为M,Q,则|PB|+|PF|=|PB|+|PM|≥|BQ|=4,当B,P,Q三点共线时,等号成立.故|PB|+|PF|的最小值为4.拓展延伸若将本例1(2)中点B的坐标改为(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为

.命题角度2抛物线的标准方程及应用例2

(1)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的标准方程为(

)A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16xC(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用.书上将直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若Rt△ABC的“勾”|AB|=3,“股”,则抛物线方程为(

)A.y2=2x B.y2=3x

C.y2=4x D.y2=6xB解题心得1.根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离可以相互转化.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于抛物线标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.对点训练1(1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,为该抛物线上一点,以M为圆心的圆与抛物线C的准线相切于点A,∠AMF=120°,则抛物线方程为(

)A.y2=2x B.y2=4x

C.y2=6x D.y2=8xCC能力形成点2抛物线的几何性质A(2)已知过抛物线C的焦点,且与抛物线C的对称轴垂直的直线l与抛物线C交于A,B两点,|AB|=12,P为抛物线C的准线上一点,则△ABP的面积为(

)A.18 B.24 C.36 D.48C解题心得在涉及抛物线的焦点、顶点、准线的问题中,要注意利用几何图形直观、形象地解题.涉及抛物线上的关键点时,应运用代入的技巧,从代数的角度进行定量分析.对点训练2(1)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P为l上一点,Q为直线PF与抛物线C的一个交点,若,则|QF|=(

)C(2)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦,与抛物线交于A,B两点,M为AB的中点,分别过A,B两点作抛物线的切线l1,l2相交于点P,△PAB常被称作阿基米德三角形.给出下列关于△PAB的结论:①点P必在抛物线的准线上;②AP⊥PB;③△PAB的面积的最小值为;④PF⊥AB;⑤PM平行于x轴.其中正确结论的个数是(

)A.2 B.3 C.4 D.5C能力形成点3直线与抛物线的关系例4

(多选)如图,过点P(2,0)作直线x=2和直线l:x=my+2(m>0)分别交抛物线y2=2x于点A,B和点C,D(其中点A,C位于x轴上方),直线AC,BD交于点Q,则下列说法正确的是(

)

A.C,D两点的纵坐标之积为-4B.点Q在定直线x=-2上C.点P与抛物线上各点的连线中,PA最短D.无论CD旋转到什么位置,始终有∠CQP=∠DQPAB当n2=2时,|PN|取得最小值,所以点P与抛物线上各点的连线中,PA不是最短,所以C错误.无论CD旋转到什么位置,|PA|=|PB|.但|QA|≠|QB|,所以不可能始终满足∠CQP=∠DQP,所以D错误.例5

已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在点A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若△ABN面积的最小值为4,求抛物线C的方程.解题心得1.直线与抛物线相交于两点问题可结合抛物线的定义及几何性质进行处理,必要时联立直线方程与抛物线方程来解决.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系,采用“设而不求”“整体代入”的解法,有时可以直接利用抛物线中的常用结论.对点训练3(1)过抛物线x=8y2的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则=

.

8误区警示1——忽略抛物线中变量的取值范围致错典例1

设点A的坐标为(a,0)(a∈R),求曲线y2=4x上的点到点A的距离的最小值.解:设曲线上任意一点B(x,y)到点A的距离为d,则d2=(x-a)2+y2=x2-(2a-4)x+a2=[x-(a-2)]2+(4a-4).由题意知x∈[0,+∞),反思提升在求与抛物线有关的最值时,要充分利用抛物线所隐含的条件.本题容易忽略抛物线方程中x的取值范围,也容易忽略对参数a进行分类讨论.误区警示2——忽视抛物线方程的标准形式致错答案:D解题心得1.本题中易将抛物线C1的方程与方程y2=2px混淆,导致抛物线的焦点求解错误.2.本题中使用判别式解决相切问题计算量较大,容易出错,不如利用导数工具能简便快捷地求出结果.直线与圆锥曲线课标要求1.能从联立方程的角度理解直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系.2.会求有关圆锥曲线的弦长、过焦点的弦、中点弦等问题.3.能解决直线与圆锥曲线的综合性问题(定点、定值、最值、探索类问题).备考指导直线与圆锥曲线是高考中特别重要的内容,每年必考,尤其是直线与椭圆的解答题出现频率相当高.题目具有较强的综合性,该部分内容在客观题型中主要考查直线与圆锥曲线的关系及应用,有时与向量、不等式、函数等内容相融合.本节要注重通性通法的积累和应用,常用的方法有方程法、几何法、点差法、设而不求法等.要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.【知识筛查】

1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:没有公共点、仅有一个公共点、有两个不同的公共点.(2)从代数角度看,将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程,通过消元后所得方程解的情况来判断.设直线的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线的方程为f(x,y)=0.消去y后得ax2+bx+c=0.①若a=0,则当圆锥曲线为双曲线时,直线与双曲线的渐近线平行;当圆锥曲线为抛物线时,直线与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,则Δ=b2-4ac.当Δ>0时,直线与圆锥曲线相交于不同的两点;当Δ=0时,直线与圆锥曲线相切于一点;当Δ<0时,直线与圆锥曲线没有公共点.2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(2)当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接利用两点间的距离公式求解弦长.1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切.(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切.(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是两条切线和两条与渐近线平行的直线.(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个公共点,分别是一条切线和两条与渐近线平行的直线.(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点,分别是两条与渐近线平行的直线.3.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点,分别是一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个交点,为一条与对称轴平行或重合的直线.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点.(

)(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点.(

)(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是直线l与抛物线C只有一个公共点.(

)(4)若直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则弦长|AB|=.(

)(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点,则需满足直线l的方程与抛物线C的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式Δ>0.(

)√××√×2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(

)A.1条 B.2条

C.3条 D.4条3.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是(

)CDB5.已知倾斜角为60°的直线l经过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则弦|AB|=

.

16能力形成点1直线与圆锥曲线的位置关系例1

(1)若直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为(

)A.1 B.1或3 C.0 D.1或0DC(3)已知直线y=kx-k+1与椭圆x2+my2=3恒有公共点,则实数m的取值范围是_____________.

(0,1)∪(1,2]由题意可知直线恒过定点(1,1),且该点在椭圆内或在椭圆上,所以有1+m≤3,解得m≤2.因为方程x2+my2=3表示椭圆,所以m>0,且m≠1.所以0<m≤2,且m≠1.故实数m的取值范围为(0,1)∪(1,2].解题心得直线与圆锥曲线位置关系的判断方法用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,即用代数法研究几何问题,这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题.对点训练1A(2)已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x2-x1的最小值为(

)A能力形成点2圆锥曲线中的弦长、中点弦问题命题角度1弦长问题命题角度2中点弦问题例3

(1)已知双曲线C:(a>0,b>0),斜率为1的直线与双曲线C交于A,B两点,若线段AB的中点为(4,1),则双曲线C的渐近线方程为(

)B(2)已知P(1,1)为椭圆

内一定点,经过P引一条弦,使此弦被点P平分,则此弦所在的直线方程为

.

x+2y-3=0解题心得1.求弦长的方法及特殊情况(1)求弦长时可利用弦长公式,首先根据联立直线方程与圆锥曲线方程并消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后整体代入弦长公式求解.(2)注意两种特殊情况:直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直;直线过圆锥曲线的焦点.2.处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:即联立直线方程与圆锥曲线方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.对点训练2(1)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.①若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;②若|AB|=20,求直线l的方程.①求实数m的取值范围;②O为坐标原点,求△AOB面积的最大值.能力形成点3圆锥曲线中的定点或定值问题命题角度1定点问题例4

双曲线Γ:的左、右顶点分别为A1,A2,动直线l垂直于双曲线Γ的实轴,且交双曲线Γ于不同的两点M,N,直线A1N与直线A2M的交点为P.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)过点H(1,0)作轨迹C的两条互相垂直的弦DE,FG,证明:过两弦DE,FG中点的直线恒过定点.命题角度2定值问题例5

如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任意作一条直线与抛物线C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作抛物线C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2.证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.(2)解

依题意,切线l的斜率存在且不等于0.设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),将其代入x2=4y,得x2=4(ax+b)