基于矩量法的静电场平板电荷密度问题

基于矩量法的静电场平板电荷密度分布问题研究【摘要】开发独立自主知识产权的并行电磁计算软件，对典型的电磁场数值算法进行系列的并行化研究，无论是从解决工程问题出发，还是就提高复杂大型电磁计算能力的战略目标而言，都迫切需要。因此对典型数值方法的新技术以及其并行计算方法进行研究具有现实的、深远的意义本文主要是基于计算电磁学中的矩量法，对平板电荷密度的问题进行了数值计算及分析。本文讨论了在平板电荷密度问题的运算过程中怎样运用矩量法进行分析和计算。并且以给定边长及形状的平板电荷密度计算问题出发，对于不同形状的平板电荷计算问题简单的做了发散思考。关键词平板电荷密度，矩量法，计算电磁学MomentMethodofFlatchargedensityproblemAbstractParalleldevelopmentofindependentintellectualpropertyrightselectromagneticcalculationsoftware,foratypicalfamilyofelectromagneticfieldnumericalalgorithmsforparallelstudies,bothstartingfromsolvingengineeringproblems,ortoimprovetheabilityoflargeandcomplexelectromagneticcalculationsintermsofthestrategicobjectives,areurgentlyneeded.Therefore,numericalmethodsfortypicalnewtechnologyaswellasitsparallelcomputingmethodhaspractical,far-reachingsignificance.Thisarticleisbasedoncomputationalelectromagneticsmoments,thequestionontheflatchargedensityhasbeencalculatedandanalyzed.Discussedtheissueintheflatchargedensitycalculationprocesshowtousethemethodofmomentsforanalysisandcalculations.Andgivensidelengthandshapeofthetabletcomputingproblemsstartingthechargedensity,thechargeforthedifferentshapesoftabletcomputingproblemssimplydodivergentthinking.KeywordsFlatchargedensity,momentmethod,computationalelectromagnetics引言：1864年Maxwell在前人的理论（高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在）和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwell方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧，甚至无法求得解析解。20世纪60年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法发展起来，并得到广泛地应用，相对于经典电磁理论而言，数值方法受边界形状的约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混和方法日益受到人们的重视。[1]

本文主要介绍了如何运用矩量法解决平板电荷分布问题。1什么是矩量法：矩量法（MoM）是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法，对求解微分方程和积分方程均适用。由于求解过程中需要计算广义矩量，故得名。矩量法包括如下三个基本过程：

（1）离散化过程主要目的是将算子方程化为代数方程，具体步骤是：①在算子L定义域内适当的选择一组线性无关的基函数fn；②将待求函数f表示为该组基函数的线性组合；③利用算子的线性，将算子方程化为代数方程。

（2）取样检测过程主要目的是将求解代数方程的问题转化为求解矩阵方程的问题。基本步骤是：①在算子L的值域内适当的选择一组线性无关的权函数Wm；②将Wm与代数方程取内积进行N次抽样检验；③利用算子的线性和内积的性质，将N次抽样检验的内积方程化为矩阵方程。

（3）矩阵求逆过程。矩量法所做的工作是将积分方程化为差分方程,或将积分方程中积分化为有限求和,从而建立代数方程组,故它的主要工作量是用计算机求解代数方程组.所以,在矩量法求解代数方程组过程中,矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少,在很大程度上影响了计算的速度.如何尽可能的减少矩阵存储量,成为加速矩量法计算的关键。[2]2矩量法的基本原理：2.1矩量法的数学表述[3]：如果非齐次方程为：（1）式中L是线性算子，g为已知函数，f为未知函数，令，式中是系数，被称为展开函数或基函数。用L算子的线性便可以得到：（2）规定了一个适当的内积<f,g>,那么在L的值域内定义一个权函数或检验函数的集合，并对每个取式（1-2）的内积，则：（3）式中m=1,2,3，…。此方程组可以写成如下的矩阵形式（4）2.2权函数和基函数的选择：1.基函数与权函数的不同配合对待求物理场问题所学的计算工作量，以及所得解答是否符合要求等方面都将有不同的影响。2.如算子方程式积分方程，虽然分域基德数值稳定性较高，并且计算量也少，但其光滑性较差，对某些积分方程不适用。3.若积分方程中存在有待求函数的微分运算，则显然不能用脉冲函数作为基函数，但描述静电场问题的积分方程中，没有微分运算，对基函数没有这一限制。运用矩量法计算平板电荷密度：3.1设正方形导电板，边长为L，位于Z=0平面上，中心点如图所示，若导电板电位V0，试求导电板上的电荷分布及电容。[4]3.2.1首先分扳为N个均匀小块，并选基函数为分域脉冲函数。3.2.2代入边界的积分方程[5]：3.2.3选权函数：3.2.4求内积：3.2.5矩阵主角元素计算：1.m=n时，2.时，3.2.6矩阵方程：4计算程序及结果：4.1计算程序：clcclearL=4;%平板边长（为其他形状时另设）nx=16;%x方向划分格数ny=16;%y方向划分格数N=nx*ny;%总划分格数pi=3.14;di=8.85e-12;%介电常数dx=L/nx;%网格x方向间隔长度dy=L/ny;%网格y方向间隔长度ds=dx*dy;zmm=2*dx*log(1+sqrt(2))/pi/di;n=1;%basisg(1:N,1)=1;fori=1:nxxn=(i-0.5)*dx;forj=1:nyyn=(j-0.5)*dy;m=1;%weightedforii=1:nxxm=(ii-0.5)*dx;forjj=1:nyym=(jj-0.5)*dy;if(m==n)Z(m,n)=zmm;elseZ(m,n)=ds/sqrt((xm-xn)^2+(ym-yn)^2)/(4*pi*di);endm=m+1;endendn=n+1;endendxq=Z\g;areaq=reshape(xq,ny,nx);mesh(areaq)4.2计算结果：5结论：运用矩量法解决静电场中平板电荷密度问题是可行的，并且十分方便的。在计算过程中我们通过在物理模型